一题多解提升思维一题多变发展素养

【摘要】2024年山东省枣庄市中考数学第23题是一道以二次函数综合问题为背景，注重考查考生的化归转化、由形悟质及数形结合能力的中考压轴题.在新一届初中毕业班复习教学中，选用该试题进行一题多解与一题多变的深度学习，以提升学生的数学思维能力为出发点，引导学生从不同视角切入，多层次挖掘试题内涵.通过一题多解开阔解题思路，提升数学思维能力，通过一题多变促进和发展数学素养.

【关键词】中考数学；一题多解；提升思维；一题多变；发展素养

二次函数历来是各地中考数学命题的重点和热点，且常考常新.2024年山东省枣庄市中考数学第23题就是一道二次函数的综合压轴试题，充分体现了知识与思维能力并重，方法与数学思想交融的命题特点.下面通过选用该试题进行一题多解与一题多变的“二次开发”训练，以促进思维能力的提升和数学素养的发展.

1试题呈现

在平面直角坐标系xOy中，点P（2，-3）在二次函数y=ax2+bx-3（a>0）的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线x=m.

（1）求m的值；

（2）若点Q（m，-4）在y=ax2+bx-3（a>0）的图象上，将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图象，当0≤x≤4时，求新的二次函数的最大值与最小值的和；

（3）设y=ax2+bx-3的图象与x轴交点为（x1，0），（x2，0）（x1<x2），若4<x2-x1<6，求a的取值范围.

2解法探究

首先来看第（1）小题的解法.

分析1把点P（2，-3）代入y=ax2+bx-3，得b=-2a，再由对称轴公式求解.

解法1根据题意，得a×22+b×2-3=-3，解得b=-2a，所以y=ax2-2ax-3，对称轴为x=--2a2a=1，故m=1.

分析2令x=0，得到y=-3，可知二次函数的图象与y轴的交点为T（0，-3），根据图象对称性，求解即可.

解法2对于y=ax2+bx-3，令x=0，则y=-3，所以二次函数的图象与y轴的交点为T（0，-3）.因为TP∥x轴，所以由图象对称性可知对称轴为x=1，故m=1.

点评第（1）小题主要考查二次函数图象的对称性.解法1重在“算”，把点P（2，-3）代入解析式，得到b=-2a；然后利用对称轴公式求出m，考查了待定系数法和对称轴公式的应用；解法2重在“形”，通过图象与y轴交点T的纵坐标与已知点P的纵坐标相等，可知TP∥x轴，然后利用对称性直接得到m，考查了数形结合思想的应用.

接着来看第（2）小题的解法.

分析把点Q代入y=ax2-2ax-3，求出a的值，代回解析式并配方为顶点式后进行平移，得到新的二次函数，最后结合图象利用二次函数的性质求得最值.

解由（1）知m=1，所以Q（1，-4）.

因为点Q（1，-4）在y=ax2-2ax-3的图象上，所以a-2a-3=-4，解得a=1.

所以y=x2-2x-3=（x-1）2-4.

将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为y=（x-1）2+1.[TPZJL-1.TIF;Z1*2，

如图1，因为0≤x≤4，所以最小值对应函数图象的顶点的纵坐标，最大值对应x=4时的函数值.当x=1时，y=（1-1）2+1=1，当x=4时，y=（4-1）2+1=10，所以新的二次函数的最大值与最小值的和为1+10=11.

点评第（2）小题主要考查对函数图象变换的理解和认识，考查二次函数的最值性质.由于是结合函数图象求解的，考查了运动变化观点和数形结合思想的应用.易错点在于没有结合图象，想当然地认为最大值和最小值分别在自变量范围的端点值处取得，从而导致错误.

下面重点来探究第（3）小题的解法.

分析1利用函数与方程的关系，把y=ax2-2ax-3的图象与x轴交点为（x1，0），（x2，0）转化为x1，x2为方程ax2-2ax-3=0的根，根据根与系数的关系得到x1+x2与x1x2，结合条件4<x2-x1<6，所以16<（x2-x1）2<36，即16<（x2+x1）2-4x1x2<36，再建立不等式组求解即可.

解法1因为y=ax2-2ax-3的图象与x轴交点为（x1，0），（x2，0），则x1，x2为方程ax2-2ax-3=0的根，所以x1+x2=2，x1x2=-3a.

因为4<x2-x1<6，所以16<（x2-x1）2<36，即16<（x2+x1）2-4x1x2<36，所以16<4-4×（-3[]a[SX）]）<36，

所以4<1+3a<9.

由4<1+3a，因为a>0，解得a<1；由1+3a<9，因为a>0，解得a>38.

故a的取值范围是38<a<1.

分析2把函数图象与x轴交点横坐标转化为方程的根后，利用求根公式得到x1，x2，代入4<x2-x1<6，再建立不等式组求解即可.

解法2因为y=ax2-2ax-3的图象与x轴交点为（x1，0），（x2，0），则x1，x2为方程ax2-2ax-3=0的根，所以由求根公式得x1=2a-4a2+12a2a=1-a2+3aa，x2=1+a2+3aa，所以x1+x2=2，x1x2=-3a.以下同解法1.

分析3设A（x1，0），B（x2，0），根据4<x2-x1<6，得4<AB<6，根据A，B关于直线x=1对称，结合图象，分别求出AB的两个临界位置的A，B的坐标，进而求出a的值即可.

解法3设A（x1，0），B（x2，0），根据4<x2-x1<6，得到4<AB<6，又A，B两点关于直线x=1对称.

①如图2，若AB=4，则A（-1，0），B（3，0），将A（-1，0）代入y=ax2-2ax-3

中，解得a=1.

②如图3，若AB=6，则A（-2，0），B（4，0），将A（-2，0）代入y=ax2-2ax-3

中，解得a=38.

故a的取值范围是38<a<1.

点评第（3）小题考查了函数与方程的转化，及利用知识构建方程或不等式解题的能力.解法1和解法2都是先将二次函数图象与x轴的交点转化为一元二次方程的根后，分别利用根与系数的关系或求根公式得到并代入4<x2-x1<6后，建立关于a的不等式组求解，体现了化归转化思想及模型化观念的运用；解法3考虑临界位置，结合图象推理求解，考查了根与系数的关系、求根公式等知识；考查了函数与方程的转化，利用临界值分析、讨论及结合函数图象分析、求解问题等方法技巧；考查了函数方程、数形结合、化归转化等数学思想，考查了综合运用知识分析和解决问题的能力.

3变式探究

若试题的其他条件不变，改变相应点的坐标和二次函数图象的开口方向，则有

变式3.1在平面直角坐标系xOy中，点P（2，3）在二次函数y=ax2+bx+3（a<0）的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线x=m.

（1）求m的值；

（2）若点Q（m，4）在y=ax2+bx+3（a<0）的图象上，将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图象，当0≤x≤4时，求新的二次函数的最大值与最小值的和；

（3）设y=ax2+bx+3的图象与x轴交点为（x1，0），（x2，0）（x1<x2），若4<x2-x1<6，求a的取值范围.

简解（1）m=1.

（2）由（1）知，-b2a=1，所以b=-2a.因为点Q（1，4）在y=ax2-2ax+3的图象上，解得a=-1.故y=-x2+2x+3=-x-12+4.

将图象向上平移5个单位长度，得到y=-（x-1）2+4+5=-x-12+9.

因为0≤x≤4，所以最大值对应函数图象顶点的纵坐标，最小值对应x=4时的函数值，当x=1时，y=9，当x=4时，y=0，所以新的二次函数的最大值与最小值的和为9+0=9.

（3）由题意知x1，x2为方程ax2-2ax+3=0的根，所以x1+x2=2，x1x2=3a，

因为4<x2-x1<6，所以16<（x2-x1）2<36，即16<（x1+x2）2-4x1x2<36，所以16<4-4×3[]a[SX）]<36，

所以4<1-3a<9.

由4<1-3a，因为a<0，解得a>-1；由1-3a<9，因为a<0，解得a<-38.

故a的取值范围是-1<a<-38.

点评变式3.1以改变二次函数图象的开口方向为切入点，以此促进了数学运算、几何直观、模型观念等素养的发展.

若试题的其他条件不变，改变（2）中的平移方向和（3）中x1，x2的范围，则有

变式3.2在平面直角坐标系xOy中，点P（2，-3）在二次函数y=ax2+bx-3（a>0）的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线x=m.

（1）求m的值；

（2）若点Q（m，-4）在y=ax2+bx-3（a>0）的图象上，将该二次函数的图象向右平移5个单位长度，得到新的二次函数的图象，当0≤x≤4时，求新的二次函数的最大值与最小值的和；

（3）设y=ax2+bx-3的图象与x轴交点为（x1，0），（x2，0）（x1<x2），若-1<x1<0<x2<4，求a的取值范围.

简解（1）m=1.

（2）y=x2-2x-3=（x-1）2-4，将图象向右平移5个单位长度，得y=（x-6）2-4，对称轴为x=6.

因为图象开口向上，所以当0≤x≤4时，在对称轴x=6的左侧，y随着x的增大而减小，所以最小值对应x=4时的函数值，最大值对应x=0时的函数值，当x=4时，y=0，当x=0时，y=32，所以新的二次函数的最大值与最小值的和为32+0=32.

（3）因为y=ax2-2ax-3图象开口向上，结合图象可知，当x=-1时，y=3a-3>0；当x=0时，y=-3<0；当x=4时，y=8a-3>0，则由3a-3>0，8a-3>0，解得a>1.

故a的取值范围是a>1.

点评变式3.2以改变函数图象的平移方向及x1，x2的范围条件为出发点，以此进一步促进数学运算、数学抽象、几何直观、模型观念等素养的发展.

若试题的其他条件不变，改变二次函数解析式的形式和图象的平移方向等，则有

变式3.3在平面直角坐标系xOy中，点P（2，-3）在函数y=ax2-2a|x|-3（a>0）的图象上，记该函数图象的对称轴为直线x=m.

（1）求m的值；

（2）若点Q（m+1，-4）在y=ax2-2a|x|-3（a>0）的图象上，将该函数的图象向右平移5个单位长度，得到新的二次函数的图象，当2≤x≤9时，求新的函数的最小值与最大值的和；

（3）设y=ax2-2a|x|-3的图象与x轴交点为（x1，0），（x2，0）（x1<x2），若4<x2-x1<6，求a的取值范围.

简解（1）设（x，y）是函数y=ax2-2a|x|-3（a>0）图象上的任意一点，则易知（-x，y）也是图象上的点，于是可知函数y=ax2-2a|x|-3（a>0）的图象关于y轴，即直线x=0对称，所以m=0.

（2）当x≥0时，y=ax2-2ax-3，当x<0时，y=ax2+2ax-3.

因为点Q（1，-4）在y=ax2-2a|x|-3（a>0）的图象上，代入y=ax2-2ax-3，解得a=1.所以当x≥0时，y=x2-2x-3=（x-1）2-4，当x<0时，y=x2+2x-3=（x+1）2-4，则函数图象如图4.

将图象向右平移5个单位长度，得到新的函数：当x≥5时，y=（x-5-1）2-4=（x-6）2-4;当x<5时，y=（x-5+1）2-4=（x-4）2-4，且新的函数的图象如图5.

因为2≤x≤9，所以由图5知，最小值对应x=4或x=6时的函数值，最大值对应x=9时的函数值，当x=4时，y=（4-4）2-4=-4，当x=9时，y=（9-6）2-4=5，所以新的函数的最小值与最大值的和为-4+5=1.

（3）由图4可知x1<0，x2>0，又因为a>0，所以由ax2+2ax-3=0，解得x1=-2a-4a2+12a2a=-1-a2+3aa=-1-1+3a；由ax2-2ax-3=0，解得x2=2a+4a2+12a2a=1+a2+3aa=1+1+3a.

又因为4<x2-x1<6，所以4<2+21+3a<6，即1<1+3a<2，所以1<1+3a<4.

由于1&lt;1+3a恒成立，所以a>0；由1+3a<4，因为a>0，解得a>1.

故a的取值范围是a>1.

点评变式3.3改变二次函数解析式的形式和二次函数图象的平移方向，以此为突破口，进一步促进数学抽象、数学运算、几何直观、模型观念、推理能力及应用意识和创新意识等素养的发展.

4教学启示

学好数学离不开解题，在解题教学中，若对典型试题就题论题、浅尝辄止，则是死水一潭；而重视试题的一题多解、一题多变，则能激活思维、提振士气[1].唯有如此，才能不断提升学生的思维能力，促进学生数学素养的形成和发展.

4.1着眼于一题多解提升思维能力

做题重在少而精，对于典型试题，重视引导学生从多角度切入，进行分析、思考，顺藤摸瓜、展开联想，努力发掘试题中丰富的思想内涵，通过寻求解决问题的不同路径求得最终结果.通过对典型试题的求解使学生学会举一反三，并在多角度思考、多方法求解中感悟解题的真谛，使定向思维变为多向思维，这样一来，既可以开阔学生的解题思路，又能使学生的思维始终处于一种灵动状态，进而使学生丰富和完善知识、方法的架构，达到提升学生数学思维能力的目的.

4.2立足于一题多变促进素养发展

一题多变最终目的是为了通过变化让学生掌握变化中的不变，能从不同方面、不同视角和不同情况来说明某一事物，从而概括出事物的一般属性.在数学解题教学中，立足于一题多变关注发展学生的数学素养，其实质就是落实数学的知识、方法、能力以及数学思想，既要深化已学的知识，又要把知识、技能和思想方法相联系、融合，直至转化为数学素养.

参考文献

[1]李寒．一道2023年抛物线高考题的解、变与推广[J]．数理化解题研究，2024（13）.19-24．

作者简介

邹金梁（1978—），男，山东泰安人，中小学一级教师;先后荣获泰山区教学能手，泰山区教学先进个人，泰山区教学优秀班主任，泰山区中考模拟试题命制一等奖，泰安市优质课一等奖，泰安市市级优课等荣誉，参与的市级课题的研究，并已结题;发表论文多篇.