一道直线与圆锥曲线综合题的多角度解读

［摘 要］文章从不同的视角对一道直线与圆锥曲线的综合题进行解读，以使学生从中感悟解题的真谛，提升思维品质。

［关键词］直线；圆锥曲线；综合题；解读

［中图分类号］ G633.6 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1674-6058（2024）26-0017-03

题不在多，而在于精。把一道好题弄懂、想全、做透，能达到“解一题，通一片”的效果。基于此，本文以一道直线与圆锥曲线的综合题为例，从不同的视角对其加以解读，以使学生从中感悟解题的真谛，提升思维品质。

一、试题呈现

已知双曲线[C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]经过点A（4[2]，3），且焦距是10。

（1）求曲线[C]的方程；

（2）已知点[B（42，-3）]，[D（22，0）]，[E]是线段[AB]上一点，直线[DE]与曲线[C]相交于[G]，[H]两点。求证：[GDGE=HDHE]。

二、解法探究

本题第（1）问属于基础题，只需根据题意列方程组求出[a]，[b]，即可得出曲线[C]的方程，主要考查待定系数法和方程思想。解法如下：

由题意可得[32a2-9b2=1 ]，[2c=10 ]，则由[32a2-9b2=1，2c=10，c2=a2+b2，]解得[a2=16]，[b2=9]，所以曲线[C]的方程为[x216-y29=1]。

本题的难点在于第（2）问，先画出示意图（如图1），求解时，需注意[A]和[B]的坐标[（42，3）]和[（42，-3）]，揭示两者间的位置关系，以及[D]，[E]，[H]，[G]四点共线的几何特征。根据[D]，[E]，[H]，[G]四点共线可知，要证[GDGE=HDHE]，即证：斜率相等、共线或[GD·HE=GE·DH]。本题第（2）问有多种证法，技巧性很强，能综合考查学生数学运算、直观想象、逻辑推理等数学学科核心素养。下面让我们带着问题来探究它的多种解法。

方法1：（联立法+韦达定理式法）

设[E（42，t）]，[G（x1，y1）]，[H（x2，y2）]，当[x=42]时，即[3216-y29=1]，解得[y=±3]，则[t<3]（这里请大家思考：为什么要求“[t<3]”？），又因为双曲线的渐近线方程为[y=±34x]，所以当直线[DE]与渐近线平行时，其和双曲线仅有一个交点，此时直线[DE]的方程为[y=±34（x-22）]，令[x=42]，则[y=±322]，故[t≠322]，则直线[DE]的方程为[y=t22（x-22）]（这里请大家思考：设定的依据是什么？），由[y=t22（x-22），x216-y29=1，]得[（9-2t2）x2+82t2x-16t2-144=0]，所以[x1+x2=82t22t2-9]，[x1x2=16t2+1442t2-9]。

[GD·HE-GE·DH]

[=（22-x1，-y1）（42-x2，t-y2）-（42-x1，t-y1）（x2-22，y2）]

[=2x1x2+2y1y2-62（x1+x2）-t（y1+y2）+32]

[=2+t24x1x2-324t2+62（x1+x2）+4t2+32]

[=4（t2+8）（t2+9）2t2-9-4t2（3t2+24）2t2-9+4t2+32=0]

（这里请大家思考：如何用好根与系数关系式？），所以[GD·HE=GE·DH]，所以[GDHEcos0=GEDHcos0]，即[GDGE=HDHE]。

说明：本题第（2）问不能直接计算长度，否则计算量过大，于是转化为证明向量数量积之间的关系，采取设[E（42，t）]，从而得到直线[DE]的方程，再使用经典的联立法，得到韦达定理式，然后证明[GD·HE-GE·DH=0]。

方法2：（反设直线联立法）

设直线[DE]的方程为[x=my+22]（请大家思考：这样设定的优点有哪些？），令[x=42]得[y=22m]，故[E42，22m]，设[G（x1，y1）]，[H（x2，y2）]，由[x=my+22，x216-y29=1，]得[（9m2-16）y2+362my-72=0]，则[y1+y2=-362m9m2-16]，[y1y2=-729m2-16]，①

要证[GDGE=HDHE]，只需证[y1y1-22m=y222m-y2]，即证[2m（y1+y2）=y1y2]，据①式易验证，此式成立，故[GDGE=HDHE]成立。

方法3：（设点不联立法）

设[G（x1，y1）]，[H（x2，y2）]，由[D，H，G]三点共线可得[y1x1-22=y2x2-22]（这里请大家思考：如何注意并用好对称性？），两边平方得[y21（x1-22）2=y22（x2-22）2]，②

又由[x2116-y219=1，x2216-y229=1，]得[y21=9x2116-1，y22=9x2216-1，]将其代入②式化简得[x1x2+16=32（x1+x2）]，

要证[GDGE=HDHE]，只证[x1-2242-x1=22-x242-x2]，即证[x1x2+16=32（x1+x2）]，故得证。

方法4：（设点不联立法）

设[G（x1，y1）]，[H（x2，y2）]，由[D，H，G]三点共线可得[y1x1-22=y2x2-22]，所以[x2y1-x1y2=22（y1-y2）]，又由[x2116-y219=1，x2216-y229=1，]得[x21=16y219+1，x22=16y229+1]要证[GDGE=HDHE]，只要证[y1-y2=42-x242-x1]，即证[x1y2+x2y1=42（y1+y2）]，③

[而x1y2+x2y1 =x21y22-x22y21x1y2-x2y1 =16y219+1y22-16y229+1y2122（y1-y2） =42（y1+y2），]

即③式成立，故[GDGE=HDHE]得证。

方法5：（三角万能公式换元不联立法）

设[G4·1+t211-t21，3·2t11-t21]，[H4·1+t221-t22，3·2t21-t22]（这里请大家注意：标准方程[x216-y29=1]与三角万能公式[sec2α-tan2α=1]的关联，利用三角万能公式表示[secα]，[tanα]），由[D]，[H]，[G]三点共线可得[3·2t11-t214·（1+t22）1-t21-22=3·2t21-t224·（1+t22）1-t22-22]，化简得[t1t2=3-22]④，要证[GDGE=HDHE]，只要证[yG-yH=42-xG42-xH]，即证[3·2t11-t21-3·2t21-t22=42-4·1+t211-t2142-4·1+t221-t22]，即证[-t1t2=42-4-（42+4）t2142-4-（42+4）t22]，即证[（42-4）（t1+t2）=（42+4）（t1+t2）t1t2]，即证[42-4=（42+4）t1t2]，⑤

将④式代入⑤式，成立，故[GDGE=HDHE]得证。

三、解后反思

一般而言，解决直线与圆锥曲线综合题的方法主要有以下三种：

（一）根与系数的关系法（主流方法）

设出动直线的方程并与圆锥曲线方程联立消元得到关于[x（y）]的一元二次方程，进而得出两根之和与两根之积，同时兼顾[Δ>0]或[Δ=0]的要求，利用两根之和与两根之积进行整体代换、整体变形而求解。

（二）多变量多参数联动变换法（圆曲不联立）

此种方法不联立方程消元求解，而是直接将所设出的点的坐标代入曲线（直线）的方程和题设中，得到若干个关于点的坐标与参数间的关系式，对这些关系式进行整体变形、整体代换而求解。如弦中点问题常用点差法处理，此种方法是对驾驭多变量多参数代数式的能力及变换技巧的考验。

（三）设点求点法

上述两种方法都采用了设而不求的策略。当问题中直线与曲线的交点易求时，可考虑直接求出点的坐标进行求解。

四、一点思考

数学题量无限，而学习时间有限。因此，为了提高学生的解题能力，教师在解题过程中必须注重选题的针对性和解题的有效性。基于此，笔者产生了以下几点思考：

（一）选好题

新高考年年创新，力求全面考查学生的能力素养。因此，精选试题尤为重要。作为教师，我们每日都能接触来自四面八方的各种资料中的试题，但不难发现，这些试题中大多含金量不高，有的仅是知识的简单拼凑，有的解法生硬嫁接，有的则过于繁难偏怪。若全盘接收，显然失之偏颇。因此，我们应对这些试题进行甄别，精心筛选整理，分类选优，优中取优。只有这样，才能实现“以一当十，以十当百，以百当千”，从而显著提升教学与学习的针对性和有效性。

（二）做对题

低层次重复训练和高强度无效训练，是当前数学教学中的两大“顽疾”。为了真正实现给学生减负并增效的目标，我们应着重引导学生做对题。而做对题的前提在于选对方法，这就要求我们引导学生从多个角度深入探究问题，以培养他们思维的灵活性和求异性。在探究过程中，应淡化对特殊方法技巧的依赖，追求本原性方法的掌握。同时，注意思维与表述的准确性和简洁性，以及解答的规范性，这些要素是提高解题有效性的重要保证。

（三）悟透题

知识在于积累，方法在于感悟。每解完一道题后，我们应彻底领悟其中蕴含的数学概念、原理和思想方法；反思解题中的易错点；感悟不同解法之间的区别与联系。通过反思与感悟，将整个解题过程内化为自身知识结构的一部分，进而达到“解一题，通一片”的学习效果。

（责任编辑 黄春香）