巧用米勒定理解决一道中考模拟题

［摘 要］文章从“本手”到“妙手”，对2023年某道中考数学二模试题进行解法探究，并对米勒定理在最大张角问题中的应用进行拓展。

［关键词］米勒定理；最大张角问题；解法探究

［中图分类号］ G633.6 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1674-6058（2024）26-0005-03

因动点而产生的张角问题是初中数学的难点之一，这类问题考查的知识面广、综合性强、题型多、解法灵活，因此在近几年的各地模拟题中频频亮相。本文从“本手”到“妙手”，对2023年某道中考数学二模试题进行解法探究，并对米勒定理在最大张角问题中的应用进行拓展。

一、试题呈现与解法探究

[题1]如图1，在矩形[ABCD]中，[AB=3]，[AD=4]，点[E]，[F]分别是边[CD]，[BC]上的动点，且[∠AFE=90°]，当[DE]为 时，[∠AED]最大。

试题分析：本题以矩形、直角三角形以及双动点作为主要的命题背景和元素，其思维过程和运算过程既体现了转化与化归、数形结合等数学思想，又重点考查了学生的推理能力和运算能力，具有一定的难度和区分度，是一道很有“嚼头”的好题。

思路1：从边长入手

分析：在[Rt△ADE]中，[tan∠AED=ADDE=4DE]，当[∠AED]增大时，[4DE]也增大，因此题目转化为求[DE]的最小值，接下来只需围绕题目中的几何关系找到[DE]与其他边长的代数关系即可。

解法1（“本手”）：设[DE=y]，[CF=x]，∵矩形[ABCD]中，[AB=3]，[AD=4]，∴[CD=AB=3]，[BC=AD=4]，[∠B=∠C=90°]，

∴[CE=CD-DE=3-y]，[BF=BC-CF=4-x]，

∵[∠AFE=90°]，∴[∠AFB+∠CFE=90°]，

又∵[∠AFB+∠BAF=90°]，∴[∠BAF=∠CFE]，

∴[△ABF ]∽[△FCE]，

∴[ABCF=BFCE]，即[3x=4-x3-y]，整理得：[y=13（x-2）2+53]，[∴]当[x=2]时，[y]取最小值[53]；[Rt△ADE]中，[∠D=90°]，∴[tan∠AED=ADDE=4y]，要使[tan∠AED=ADDE]取最大值，即[∠AED]最大，[y]应取最小值[53]，即[DE=53]。

评注：解法1是标准答案的解法，其通过图形中的相似关系——[△ABF ]∽[△FCE]，寻找[DE]与[CF]的代数关系，思维量大，计算量小，对学生的几何直观素养、推理能力要求较高。

解法2（“本手”）：设[DE=y]，[CF=x]，[∵]矩形[ABCD]中，[AB=3]，[AD=4]，∴[CD=AB=3]，[BC=AD=4]，[∠B=∠C=90°]，∴[CE=CD-DE=3-y]，[BF=BC-CF=4-x]，在[Rt△ADE]中，[AE2=AD2+DE2=16+y2]，同理得[AF2=9+（4-x）2]，[EF2=x2+（3-y）2]，∵[∠AFE=90°]，∴[AE2=AF2+EF2]，即[16+y2=9+（4-x）2+x2+（3-y）2]，整理得[y=13（x-2）2+53]，后同解法1。

评注：解法2是纯代数运算的解法，在设出未知量[DE=y]，[CF=x]后，通过图中的直角，利用多组勾股定理代数式找到变量[y]与[x]的函数关系，思维量小，计算量大，对学生的运算能力要求较高。

思路2：从角度入手

在介绍解法3前，先给出圆外角和米勒定理的相关内容。

圆外角：如图2，像[∠P]这样顶点在圆外，两边都和圆相交的角叫作圆外角。

如图3，[∠P=∠ACB-∠PBC<∠ACB]，因此，对同一个圆而言，圆周角[>]圆外角。

米勒定理：如图4，已知[A]，[B]是[∠MON]的边[ON]上的两个定点，[C]是边[OM]上的一动点，当且仅当[△ABC]的外接圆与边[OM]相切于点[C]时，[∠ACB]最大。

证明：如图5，设[C]是边[OM]上不同于点[C]的任意一点，连接[AC]，[BC]，[BC]与[△ABC]的外接圆交于点[D]，在[△ABD]中，[∠ADB=∠ACB+∠CAD>∠ACB]，又[∠ADB=∠ACB]，[∠ACB>∠ACB]。

需要注意的是，在使用米勒定理处理解答题时需要证明。限于篇幅，本文在后续题目解答中不作证明。

解法3（“妙手”）：如图6，取[AE]的中点[O]，连接[OD]，[OF]，∵[∠AFE=∠ADE=90°]，∴[OA=OD=OE=OF]，∴[A]，[D]，[E]，[F]四点共圆，∴[∠AED=∠AFD]，由米勒定理可知，当[⊙O]与[BC]相切时，[∠AFD]的值最大，此时[OF]∥[CE]，[OF]∥[AB]，∴[F]为[BC]的中点，设[⊙O]的半径为[r]，[DE=x]，则[CE=3-x]，由[AB+CE2=OF]得[r=6-x2]，由[AE2=AD2+] [DE2]得[（2r）2=42+x2]，即[（6-x）2=16+x2]，解得[x=53]，即[DE=53]。

评注：解法3注意到[A]，[D]，[E]，[F]四点共圆，利用圆周角相等及米勒定理将条件转化为圆[⊙O]与[BC]相切，再通过梯形的中位线及勾股定理即可求出[DE]的长，运算量极少。

二、米勒定理的应用拓展

在近几年的中考数学试题和各地数学模拟题中，以米勒定理为背景的最大张角问题频频亮相。若能从题干中挖掘出其隐含的模型并应用米勒定理解题，则能够极大地降低思维量，并简化计算过程，使问题化繁为简。下面通过相关例题说明米勒定理的应用。

（一）米勒定理在坐标求解中的应用

[题2]如图7，已知点[A]，[B]的坐标分别是[（0，1）]，[（0，3）]，点[C]为[x]轴正半轴上一动点，当[∠ACB]最大时，点[C]的坐标是（ ）。

A. （2，0）

B. （[3，0]）

C. （[2，0]）

D. （[1，0]）

解：如图8，过[A]，[B]作[⊙P]，由米勒定理可知，当[⊙P]与[x]轴相切于点[C]时，[∠ACB]最大，连接[PA]，[PB]，[PC]，作[PH⊥y]轴于[H]，[∵]点[A]，[B]的坐标分别是（0，1），（0，3），∴[OA=1]，[AB=3-1=2]，∵[PH⊥AB]，∴[AH=BH=1]，∴[OH=2]，∵[⊙P]与[x]轴相切于点[C]，∴[PC⊥x]轴，[∴]四边形[PCOH]为矩形，∴[PC=OH=2]，∴[PA=2]，在[Rt△PAH]中，[PH=PA2-AH2=22-12=3]，∴点[C]的坐标为[（3，0）]。

评注：本题在应用米勒定理后，关键在于利用垂径定理、矩形性质和勾股定理求出点[C]的坐标。

（二）米勒定理在数学建模中的应用

[题3]如图9，某雕塑[MN]位于河段[OA]上，游客[P]在步道上由点[O]出发沿[OB]方向行走。已知[∠AOB=30°]，[MN=2OM=40]米，当观景视角[∠MPN]最大时，游客[P]行走的距离[OP]是 米。

解：如图10，取[MN]的中点[F]，过点[F]作[FE⊥OB]于[E]，以直径[MN]作[⊙F]，∵[MN][=2OM=40]，点[F]是[MN]的中点，∴[MF=FN=20]，[OF=40]，∵[∠AOB=30°]，[EF⊥OB]，∴[EF=20]，[OE=3EF=203]，∴[EF=MF]，∴[OB]是[⊙F]的切线，切点为[E]，由米勒定理知，当[P]，[E]重合时，观景视角[∠MPN]最大，此时[OP=203]。

评注：对于本题，若考生没有接触过米勒定理，将一筹莫展，即使解出也将费时费力。另外，本题在应用米勒定理后，还可以利用切割线定理快速求解，如[OP2=OM·ON=20×60=1200]，[OP=203]。

（三）米勒定理在二次函数问题中的应用

[题3]如图11，在平面直角坐标系中，[O]是坐标原点，抛物线[y=ax2+bx-3]与[x]轴交于[A（-1，0）]，[B（3，0）]，与[y]轴交于点[C]，其顶点为[D]。

（1）求抛物线的解析式。

（2）连接[BD]，[CD]，动点[Q]的坐标为[（m，1）]。[P]为抛物线上的一点，是否存在以[B]，[D]，[Q]，[P]为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点[P]，[Q]的坐标；若不存在，请说明理由。

（3）连接[OQ]，[CQ]，当[∠CQO]最大时，求出点[Q]的坐标。

解：（1）抛物线的解析式为[y=x2-2x-3]（过程略）。

（2）略。

（3）如图12，记[△OQC]的外心为[M]，则[M]在[OC]的垂直平分线[MN]上（设[MN]与[y]轴交于点[N]）。连接[OM]，[CM]，则[∠CQO=12∠CMO=∠OMN]，[MC=MO=MQ]，∴[sin∠CQO=sin∠OMN=ONOM]，[sin∠CQO]的值随着[OM]的增大而减小。∵[MO=MQ]，∴当[MQ]取最小值时，[sin∠CQO]最大，即[MQ]垂直于直线[y=1]时，[∠CQO]最大，此时[⊙M]与直线[y=1]相切，∴[MQ=NF=2.5]，[MN=OM2-ON2=2]，∴点[Q]的坐标为[（2，1）]。根据对称性，另一点[（-2，1）]也符合题意。综上，点[Q]的坐标为[（2，1）]或[（-2，1）]。

评注：本题第（3）问考查米勒定理的应用，当[⊙M]与直线[y=1]相切时，[∠CQO]最大，再利用垂径定理与勾股定理即可求出点[Q]的坐标。

在近几年的各类数学考试中，涉及动点和最值问题的试题屡见不鲜，且常考常新，数学教师应高度重视。在解答涉及动点和最值问题的试题时，学生由于对相关几何关系掌握不到位，导致丢分严重。如果教师能加强学生逻辑推理素养的培养，并总结出针对“最大张角”这类问题的相关解法，那么学生将能够迅速且正确地解决问题，从而有效提升他们的解题效率。

［ 参 考 文 献 ］

[1][2] 徐欣.基于变式教学的初中动点问题教学策略研究[D].重庆：重庆师范大学，2020.

[3] 杨焕荣.四边形中动点问题的求解[J].数学教学通讯，2012（13）：22-23.

（责任编辑 黄春香）