秋千自激振动摄动法与平均法分析

摘要：本文将荡秋千过程看作是变长度摆，利用合成运动的方法分析了摆的加速度并建立了相应的动力学方程，针对有无阻尼情况分别用摄动法和平均法求出了解析解，进而利用数值模拟的方法对方程进行了仿真并与两种解析解进行了对比，分析了不同方法的优劣及分析了其利用阻尼实现振动控制的条件。

关键词：荡秋千；自激振动；摄动法；平均法

中图分类号：O323文献标识码：A

荡秋千运动在我国已经有两千多年的历史，相传是春秋时期由少数民族传入中原。人们将荡秋千的方法总结为“高蹲低站”，即当秋千摆到最高点时迅速蹲下，而摆到最高点时快速站起。关于荡秋千问题的力学原理，武际可教授做了生动的描述［1］。而对于荡秋千现在普遍认为应该将其归入自激振动，刘延柱教授对其模型进行了分析［2］。此外，国内的一些学者对于荡秋千问题也进行了相关的研究［36］。

1基本模型分析

设摆线下端悬挂质量为m的小球，初始t=0时，θ=θ0、θt·=θt·0，摆线长度随位置变化，变化规律如图1所示，可表示为如下方程（摆长是摆角θ的函数）：

l（θ）=l0（1-ε·θ·sgn（θt·））（1）

其中：θ为摆动角度，l0为θ=0时摆长，ε为无量纲参量（控制摆长的小参数），θ·t表示对时间的导数，sgn（θt·）表示取θ·t的符号。

图1变长度摆图2加速度矢量图图3单摆受力图

在任意位置时，以小球为动点，建立随摆线一块摆动的坐标系（坐标系只随摆线相同规律转动，不沿摆长方向移动），则摆球加速度及受力如图2、图3所示，建立垂直于摆线的动力学方程：

m·{l0·θ¨t1-ε·θ·sgn（θt·）-2θ·2t·l0·ε·sgn（θt·）}=-m·g·sinθ（2）

整理后，并令p2=g/l0可得：

θ¨t+p2·sinθ-2θ·2t·ε·sgn（θt·）1-ε·θ·sgn（θt·）=0（3）

符号函数可表示为sgn（θt·）=θt·/θt·，当摆角比较小时sinθ≈θ，因为ε、θ均为小量，则上式化简为：

θ¨t+p2·θ=ε·f（θ，θt·）（4）

其中，f（θ，θt·）=2θt··θt·-p2·θ2·θt·/θt·，为非线性函数。

接下来考虑可能存在的阻尼的影响，假设阻尼的影响为小量和ε同阶，那么不妨假设阻尼cm=ε·c1，将其加入式（4）中，则非线性函数变为f（θ，θt·）=2θt··θt·-p2·θ2·θt·/θt·-c1·θt·。

2摄动法分析

首先将θ按ε的幂次展开：

θ=θ（0）+εθ（1）+ε2θ（2）+…（5）

初始条件为t=0时，θ（0）0=θ0，θ·（0）t0=θt·0；θ（n）0=0，θ·（n）t0=0，n1。

将式（5）代入式（4）并让同幂次ε合并，按有无阻尼可分别求解。

2.1无阻尼情

θ=a·cosφ（t）·［1±ε·a·cosφ（t）］（6）

θ·t=-a·p·sinφ（t）［1±2ε·a·cosφ（t）］（7）

φ（t）∈（kπ，（k+1）π），当k=0，2，4…时取负号，k=1，3，5…时取正号。

从式（6）可得振幅依调制函数随时间做小幅振荡，没有自激振动现象。

2.2有阻尼情况

θ=a·cosφ（t）·1-ε·c12·t±ε·a·cosφ（t）（8）

θ·t=-a·p·sinφ（t）1-ε·c12·t±2ε·a·cosφ（t）

-ε·c12·cosφ（t）（9）

φ（t）∈（kπ，（k+1）π），当k=0，2，4…时取负号，k=1，3，5…时取正号。

对比摄动法分析结果有阻尼情况相对于无阻尼情况只是在调制函数中增加了随时间减小的衰减项（跟阻尼大小有关），随着时间增加振幅逐渐减小，当t=t1=2ε·c1时，振幅最小；当t＞t1后，振幅开始增大。

3平均法分析

应用平均法方程对式（4）进行近似分析。当ε=0时，可得线性保守系统：

θ¨t+p2·θ=0（10）

其自由振动解为

θ=a·cos（p·t-φ），θt·=-a·p·sin（p·t-φ）（11）

其中a为振幅、φ为相位，当ε≠0且ε为小参数时，式（4）的解仍具有式（11）的形式，但是振幅和相位是缓慢变化的，则a、φ是时间t的函数。

3.1无阻尼情况

θ=πB1·π-2ε·pt·cos［p·t-B2］（12）

θt·=-πB1·π-2ε·pt·p·sin［p·t-B2］

+2πε·p（B1·π-2ε·pt）2·cos［p·t-B2］（13）

由初始条件并考虑到ε为小参数，可得B1、B2近似解：

B1=pθ·2t0+p2·θ20tanB2=θ·t0p·θ0（14）

3.2有阻尼情况

θ=πc1·4p-D1·eε·c1·t2-1·cos［p·t-D2］（15）

θt·=-πc14p-D1·eε·c1·t2-1·p·sin［p·t-D2］

+πc1ε·c12D1·eε·c1·t24p-D1·eε·c1·t2-2

·cos［p·t-D2］（16）

由初始条件并考虑到ε为小参数，则可以得到D1、D2的近似解：

tanD2=θt·0p·θ0D1=4p-πpc1p2·θ20+θ·2t0（17）

由以上分析可知当c1＞4πp2·θ20+θ·2t0时，阻尼起主要作用，振幅小幅衰减；当c1＜4πp2·θ20+θ·2t0时，自激起主要作用，振幅随时间小幅增大；当c1=4πp2·θ20+θ·2t0时进行等幅摆动，阻尼和自激效果抵消，称作临界阻尼ccr=4πp2·θ20+θ·2t0。

4仿真分析

取小参数ε=0.2，重力加速度g=9.8m/s2，摆长l0=098m；初始条件：θ0=0.1、θt0·=0；阻尼选三种情况：c1=［0.5ccr，ccr，2ccr］，ccr=4pθ0π。

仿真时间：

（1）平均法：无阻尼情况极限时间为t=B1·π2εpθ0=π0.04×10≈24.836s，大阻尼及临界阻尼情况不存在极限时间（大阻尼振幅衰减最后趋近于零，临界阻尼等幅振动），小阻尼情况极限时间为t=2ln4pD1c1ε=2ln20.5×0.2×410×0.1π=34.431s。

（2）摄动法：无阻尼情况下不存在极限时间，有阻尼情况为t＞t1=2ε·c1=［49.673，24.836，12.418］时，振幅开始增大，因为摄动法振幅均是先减小再增大，变化趋势相同。

因此仿真时间取t=24s，仿真步长tstep=0.01s。仿真结果如图4—图7所示，数值解采用虚线，摄动解采用点画线，平均法采用实线。从图上可以看出摄动法的解只有在开始的一段（一个周期内）误差较小，随着时间的增加误差越来越大。而平均法在整个过程都符合得比较好，并且平均法具有解析解的形式，便于分析问题的特征本质，比如前边的临界阻尼的获得，极限时间的获得等。

图4为无阻尼情况下微分方程的数值解、摄动解、平均法解的比较，从图中可以看出，由于摆长的变化导致自激振动的发生，并且振动幅度越来越大，直到问题发散。

图5为小阻尼情况下微分方程的数值解、摄动法解、平均法解的结果，从图中可以看出，当阻尼小于临界阻尼时，随着运动的进行，摆动的幅度逐步增大，但是增大的幅度比无阻尼时明显减小。说明阻尼消耗掉了一部分自激振动能量，但是由于阻尼比较小仍有一部分自激振动能量保留，导致摆动幅度持续增大。

图6为临界阻尼情况下微分方程的数值解、摄动法解、平均法解的对比。从图中可以看出，当阻尼取临界阻尼时，摆动的幅度不变，说明此时自激振动的能量正好被阻尼消耗掉，振动保持不变的幅度稳定摆动。

图7为大阻尼情况下微分方程的数值解、摄动法解、平均法解的结果。从图中可以看出，当阻尼大于临界阻尼时，摆动的幅度随时间持续减小，说明此时不只是自激振动的能量被阻尼消耗掉，还有一部分原有的振动能量被消耗掉，因此导致摆动幅度越来越小。

结语

由以上的分析可知，在较短的时间尺度上，对于变长度摆的自激振动问题，摄动法、平均法均能满足工程上的计算要求，但是摄动法分析过程相对简单，平均法分析过程稍显复杂；在长时间尺度上，摄动法随着时间的持续误差逐渐增大，而平均法一直符合很好。对于变长度摆自激振动问题的控制，可采用控制阻尼的方式实现。如果要消除自激振动的影响，保持稳定的振动，阻尼应选取在临界阻尼上；如果要控制自激振动使其衰减，则阻尼应大于临界阻尼，阻尼越大衰减越快；如果要控制自激振动的振动增加幅度，阻尼应小于临界阻尼，阻尼越小振动幅度增加越快。

此外，由于本文采用的是简化模型，没有考虑摆线的质量及各处的摩擦等与实际模型仍有差距。

参考文献：

［1］武际可.从荡秋千说开去——漫话共振［J］.力学与实践，2003，25（2）：7578.

［2］刘延柱.再谈荡秋千——兼谈自激振动［J］.力学与实践，2007（3）：9293.

［3］刘世清.秋千非线性参变共振的分析［J］.大学物理，2001，20（10）：1517.

［4］尤明庆.关于荡秋千力学原理的一个注记［J］.力学与实践，2010，32（03）：136.

［5］于凤军.用功能原理分析秋千的摆动与旋转［J］.大学物理，2016，35（02）：1416.

［6］杨百愚，王翠香，王斌科，等.秋千参数自激振动的数学模型与数值模拟［J］.大学物理，2020，39（01）：5356.

作者简介：赫万恒（1981—），男，汉族，河北正定人，硕士研究生，讲师，研究方向：振动控制方向。