综合训练（九）

20.为提升销量，某电商在其网店首页设置了一个“勇闯关，贏红包”的游戏小程序，其游戏规则如下：在网页上设置三个翻牌关卡，每个关卡翻牌结果只有两种： Pass （通过）与 Fail （失败），若买家通过这三关，则认为闯关成功；若三关均未通过或只通过三关中的一关，则游戏失败；若三关中恰好通过两关，则允许参加复活环节.复活环节有两个翻牌关卡，若两关均通过，也认为闯关成功，否则认为闯关失败.假定买家每一关通过的概率均为1/3，且各关卡之间是否通过相互独立.若闯关成功，则买家可赢得 50 元的购物红包.若闯关失败，则可获得 10 元红包，红包均可直抵在该网店购物的货款.某日有 8100 人参与了游戏且均在该网店消费.

（1）求某买家参加这个游戏闯关成功的概率；

（2）求该日所有买家所获红包总金额 X 的数学期望；

（3）假定该电商能从未中奖的买家的购物中平均获利 8 元/人，从中奖的买家的购物中平均获利 120元/人（均不含所发红包在内）.试从数学期望的角度判断该电商这一日通过游戏搞促销活动是否合算，并说明理由.