初中数学单元小结课的主要结构与设计要点

编者按：单元小结是单元整体教学中的重要环节，其设计与实施直接关系到学生对知识的系统掌握与深化理解. 为了深入探讨单元小结课的有效教学策略，本期我们特别策划了“单元整体视角下的单元小结课”专题，集中刊出三篇文章，包括对单元小结课的主要结构与设计要点的思考，以及实践基础上的反思、评价等，对落实单元整体教学具有启发性. 希望这些研究能对广大读者有所启发，引发更广泛而深刻的相关讨论，产生更多的研究成果. 欢迎广大读者就“单元整体视角下的单元小结课”专题踊跃投稿，本刊将择优继续刊登.

摘 要：基于课例，对初中数学单元小结课的主要结构与设计要点进行研讨，提出一种单元小结课的主要结构，包括知识体系再建构、简单情境的技能练习、综合情境的问题解决、课堂小结，并对每部分的设计要点进行具体而深入的阐述.

关键词：单元小结课；知识体系；技能练习；问题解决

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1673-8284（2024）08-0004-06

引用格式：林祥华. 初中数学单元小结课的主要结构与设计要点：基于两节课例的研讨［J］. 中国数学教育（初中版），2024（8）：4-9.

单元小结课是教师普遍感到较难把握的课型. 单元小结课的设计之“难”是多方面的. 单元小结课的内容多、任务重，那么如何“温故”而不单调重复，甚至还要“知新”？如何考虑到不同水平学生的需要？同时，单元小结课不同于新课教学，新课教学有教材可以作为设计蓝本. 这些难点都需要教师自己把握.

为了探究较适宜、可操作的单元小结课的主要结构与设计要点，我们组织了一个教研团队开展基于课例的研讨活动.

一、活动程序

1. 第一次集中研讨

通过学习和讨论，对单元小结课的基本任务达成以下共识.

（1）回顾、梳理本单元知识. 重点是：核心知识的再理解，知识体系的再建构，对知识体系建构过程中蕴含的核心思想和一般观念的再领悟.

（2）复习、巩固本单元技能. 重点是：重要技能的复习与巩固，易错技能的纠正.

（3）提升关键能力. 重点是：以本单元内容为载体的关键能力的提升，核心思想、一般观念的迁移运用，综合运用本单元知识、技能、思想方法分析问题和解决问题的能力，最好还有发现问题并提出问题的机会.

2. 分头进行设计

结合教学进度，教研团队安排了两节九年级上学期的单元小结研讨课，如表1所示.

基于第一次集中研讨，两位执教教师根据各自的理解与思考分别进行教学设计，团队其他教师也对这两节课进行独立构思.

3. 第二次集中研讨

两位执教教师分别授课，团队其他教师观课、研讨，尝试提炼单元小结课的主要结构和设计要点，并对两节课提出优化设计的建议.

二、“圆”单元小结课

对于“圆”的单元小结课，执教教师A的教学设计思路是：将等腰三角形与圆进行叠加创设新的情境，以不同的叠加方式为主线设计问题，让学生探究叠加后的图形的特征. 在此过程中，关联等腰三角形的对称性来复习圆的有关性质，并有意识地引导学生探究圆中与弦有关的轴对称结构. 设计一道有难度且有梯度的例题来体现本单元的知识及本节课探究的与弦有关的轴对称结构，培养学生的几何直观及推理能力，达到让学生迁移运用所学知识的目的.

1. 复习定义，建立关联

问题1：圆是如何定义的？

追问1：圆被称为最美的平面图形. 你是如何理解圆的“美”的？

追问2：在数学学习中，我们常常将有共同特征的数学对象联系起来展开研究. 圆是轴对称图形，在学过的平面图形中，哪些图形也具有轴对称性？哪个最基本？说说你的想法.

追问3：如果将等腰三角形与圆进行关联，从图形要素的角度，你认为有哪些关联方式？

学情反馈：对圆的定义和前两个追问，学生都能高度参与，积极回答问题，但对追问3没有回应.

2. 互动探究，动态建构

问题2：以圆心为等腰三角形的顶点，如何快速画出等腰三角形？

问题3：如何用尺规作等腰三角形，使其三个顶点都在圆上？你是如何思考的？

问题4：通过前面的研究，我们发现圆及圆中任意一条弦所组成的图形具有轴对称性. 对于问题3中的图形，若仅留下圆中的两条弦使其与该圆构成轴对称图形，你认为应该留下哪两条弦？

学情反馈：对于以上问题，学生参与的热情较高，基本都能通过自己的观察和思考进行复习或探究. 但整个过程中，需要学生动手操作、思考的问题比较多，有的问题思维量大，导致学生思考、反馈的用时及教师分析讲解的用时都较多.

3. 例题精讲，变式练习

例 如图1，△ABC的三个顶点A，B，C在⊙O上.

（1）在⊙O上求作点D，使得△BAD ≌ △ABC. （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹.）

（2）在（1）的条件下，连接OA，OC，CD，若∠AOC = 120°，AB = a，CD = b，求BC的长（用含a，b的式子表示）.

第（1）小题需要先根据全等三角形与圆的轴对称性直观猜想点的位置，再通过推理明确作图方法. 第（2）小题需要整体观察图形，发现BC与AD这一组等弦（设交点为P）构成轴对称图形，进而猜想△PAB和△PCD是等边三角形，获得解题思路.

学情反馈：由于课堂上所剩时间不够充分，大多数学生只能完成第（1）小题. 执教教师A对第（1）小题进行了简单讲评，并很快地点拨了第（2）小题的解题思路，随后进入课堂小结. 原计划的与圆的对称性相关的两道变式练习题没能用上.

4. 课堂小结

问题5：本节课我们复习了哪些内容？如何体现圆的轴对称性在圆的各要素之间的关系？

问题6：我们是如何借助圆的轴对称性解决问题的？

学情反馈：在教师的追问和启发下，学生基本能回答上述问题. 其中，提到了要整体观察图形的结构特征，以及本节课提炼的与弦有关的轴对称结构.

三、“直线和圆的位置关系”单元小结课

对于“直线和圆的位置关系”单元小结课，执教教师B的教学设计思路是：先梳理类比点和圆的位置关系研究本单元内容的过程，再进行核心知识和技能的练习，最后以一道例题让学生综合运用本单元的知识和数形结合思想，并设计开放性的变式与追问，引导学生进一步感悟“位置变化中蕴含着数量（关系）的变化，特殊的数量关系蕴含着特殊的位置关系，反之亦然”.

1. 知识梳理，构建网络

问题1：本章我们学习了与圆有关的位置关系. 同学们回忆一下，我们研究了哪些内容？

追问1：在与圆有关的位置关系中，最简单的是什么图形和圆的位置关系？它有哪些情况？如何判断？

追问2：点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系这两者在研究思路、研究方法、研究结论上有怎样的关系？

师生活动：在复习直线和圆的位置关系后，学生进行了如下的技能练习. 在直角三角形中，已知两条直角边的长，判定以直角顶点为圆心的不同半径长的圆与斜边的位置关系. 教师追问：“为什么要过直角顶点作斜边的垂线段？两者的判定方法中的‘d’有何区别？”对部分学生在识别“d”上出现的错误进行辨析、纠正，执教教师B以问题“我们深入研究了哪一种位置关系？为什么？”引出对圆的切线的判定与性质的复习.

学情反馈：在追问2中，教师带领学生回忆“如何得到切线的判定”用时较多. 本环节的课堂氛围略显沉闷，但对于“两者的判定方法中‘d ’的区别”，学生回答问题的踊跃程度明显较高.

本环节中，随着师生互动，黑板上逐渐呈现了如图2所示的思维导图.

2. 例题精讲，变式迁移

例 如图3，在[▱ABCD]中，∠ABC = 70°，半径为r的⊙O经过A，B，D三点，[AD]的长是[πr2]，延长CB至点P，使得PB = AB. 试判断直线PA与⊙O的位置关系，并说明理由.

师生活动：在学生独立思考、交流展示的基础上，教师强调要紧扣“d与r的数量关系”的目标对条件进行转化，并对例题进行如下变式后再追问.

变式：直线和圆的位置关系中，相切是最为特殊的一种. 如果改变其中一个条件，使得直线PA与⊙O相切，可以怎样改？

追问1：关于∠ABC或∠AOD的度数的两种改法之间有联系吗？你能否发现一般性的结论？

追问2：当∠ABC和∠AOD之间满足什么样的数量关系时，直线PA与⊙O相切？

学情反馈：学生在改变条件时思维过于发散，教师用了较长时间引导学生逐一辨析. 没有学生自主发现“要使直线PA与⊙O相切，条件中的∠ABC和∠AOD之间要满足特殊的数量关系”. 在教师对追问2的明确启发之下，少数学生才回头思考. 但由于课堂所剩时间不足，教师直接进行题后总结：特殊的数量关系中蕴含着特殊的位置关系，反之亦然；而定量描述图形位置关系的方式是多元的，是可以相互转化的.

3. 课堂小结

问题2：在直线和圆的位置关系中，我们深入研究了哪一种情况？为什么？

问题3：我们学习了用圆心到直线的距离d和半径r之间的数量关系量化描述直线和圆的位置关系，在几何学习中，还有其他类似的内容吗？

问题4：位置关系和数量关系是几何研究的重要内容，你是怎样理解这两者之间的联系的？

学情反馈：学生回答问题的积极性较高. 但对于问题4，只有个别学生能说出“由特殊的位置关系可以联想到其中有特殊的数量关系，数量关系可以是线段长或角度的关系”.

四、课例研讨

1. 研讨内容

（1）比较两节课的结构及教学处理，分别评析两节课的亮点和有待改进之处，并提出修改建议.

（2）提炼比较适宜的单元小结课结构，基于该结构提出明确的设计要点.

2. 研讨结论

基于对两个课例的深度研讨，教研团队认为单元小结课可以分为四大部分，具体如下.

（1）知识体系再建构：互动探究，动态建构.

显然，单元小结课对知识的复习应该立足于知识体系而非零散的知识点.

所谓“再建构”，有两个层面的意义. 一是单元小结课对知识体系的建构是总览和概括性的，而新课学习时的建构是随着新知的学习经过多个课时不断推进的. 因此，单元小结课对知识体系及其育人价值的体现更清晰、完整，逻辑性更强. 二是建构活动的主体是学生，因此教师需要设计问题、活动等引导学生主动、自然地生成知识体系. 在这一点上，课例1中，执教教师A设计了等腰三角形与圆关联的新情境，穿插问题思考、作图操作、观察猜想、论证推理等探究活动，与课例2中学生单调回答问题的学习方式相比，课例1更能提高学生的学习积极性.

因此，知识体系再建构的过程最好能基于新情境. 设计这样的情境需要考虑以下三个方面.

一是情境要蕴含问题或活动任务，使学生在思考问题、完成活动的过程中经历知识体系的再建构. 例如，根据要求作图，而作图原理中蕴含了所学的知识、方法；根据已有的条件尝试提出问题，而提出问题的思路中蕴含了所学的知识或数学思想；等等. 显然，这样的问题或活动具有一定的思辨性和探究性，基于师生、生生互动，指向理解知识、感悟数学思想、掌握研究数学对象的一般思路，而不是传统的解题，因而也更能激发学生的学习兴趣.

二是情境要有自然生长性，能通过不断变式、追问，将知识体系再建构的全过程有逻辑地融合其中（根据内容特点和具体情况，情境也可以不止一个）. 当然，情境与再建构过程的融合应该是自然的，有助于学生理解知识本质的联系和方法的来龙去脉.

例如，课例1中，执教教师A通过将等腰三角形与圆叠加的方式进行关联，略显生硬，系列问题在反映本单元知识之间的内在联系上体现得不够充分，主线不够清晰. 事实上，两者之间进行关联的本质是：轴对称图形的性质是对称轴垂直平分任意一对对应点所连线段，由于等腰三角形是轴对称图形中的基本图形，能直观且集中反映图形的轴对称性，而对应点所连线段即为等腰三角形的底边. 在圆中，圆上任意两点都可以是一对对应点，这两点所连线段可以作为等腰三角形的底边，则对称轴是该条弦的垂直平分线，而当等腰三角形顶角的顶点是圆心或对称轴与圆的交点时比较特殊.

因此，建议教师在提出问题“在学过的平面图形中，哪些图形也具有轴对称性？哪个最基本？”之后，可以用问题“为什么等腰三角形最基本？”进行追问，通过轴对称的性质，揭示等腰三角形“基本”的意义所在. 再设计活动让学生在圆中作出能反映轴对称性的等腰三角形，并说明作图依据. 这样，就能体现等腰三角形是反映轴对称性的基本图形，借助等腰三角形的性质，从与新课学习不同的角度理解圆的轴对称性和其中蕴含的图形要素之间的关系，以及理解圆的定义与轴对称性之间的联系，从而使情境下的系列问题更有系统性和逻辑性，关注其核心和本质，削枝强干.

三是情境不宜复杂，否则易将学生的思维都牵制到解题上来，失去知识体系建构的载体功能，偏离重心. 事实上，能承载“再建构”任务的情境，越简单、灵动越好.

值得提出的是，课例2中，执教教师B在“再建构”过程中有动态形成的反映知识体系与核心思想的结构化板书，使学生有俯瞰的机会，效果更好. 当然，若在揭示位置关系的研究思路时，教师在板书的“数量关系”边标注“圆的要素（圆心、半径）与直线”，则更能直观地体现基于要素之间的关系研究图形关系的一般观念.

（2）简单情境的技能练习：复习巩固，反馈矫正.

在单元小结课中，若没有技能练习，没有核心知识的简单应用，对于一部分还需要夯实基础知识和基本技能的学生来说“不太友好”. 教师对技能练习的设计应关注单元的重要技能及其易错点. 事实上，学生在经历了整个单元的学习后，认知水平与对知识的理解逐渐加深，这个时候进行技能矫正是大有可为的.

技能练习可以在知识体系再建构完成后单独作为一个环节，也可以采用课例2中的方式，将知识体系建构分为若干模块，复习完每个模块即进行相应的技能练习. 当然，还可以将其融合在知识体系再建构中. 例如，情境中的问题或活动就是本单元的某个技能；在生成知识方法的情境中添加具体条件和设问，成为简单的技能练习；等等. 也可以根据具体情况选择不同的方式，使“双基”有机融合.

（3）综合情境的问题解决：典例精析，变式拓展.

学生通过一个单元的学习往往要完成“知识理解—技能掌握—能力素养发展”的过程. 单元小结课中需要有检验、发展学生能力素养的例题. 这样的例题通常有一定的思维挑战性，在有限的课堂时间内不能贪多堆砌，以免削减学生独立思考、教师析题揭示的时间，使例题的价值大打折扣. 这无疑对例题的设计提出了更高的要求.

一是例题要有所聚焦. 单元小结课的例题既要考虑综合性，又要聚焦本单元的核心知识和思想方法，能体现对本单元的关键能力或核心素养的考查. 甚至在适当的情况下，还可以考虑借助例题迁移本单元研究数学对象的一般观念. 例如，“直线与圆的位置关系”单元小结课中，教师可以设计例题让学生研究两边都与圆相交的角和圆的位置关系，从定义到判定（定量描述），基于图形要素的关系探究定量描述的方式.

二是例题情境要新、设问要活. 熟悉情境的问题往往考查的是学生的解题记忆，而在新情境中解决问题，没有现成的对策，需要学生理解情境，分析问题，探寻解决问题的思路，使学生经历独立的思维过程，积累思维经验.

设问是情境的重要组成部分，对例题的思维价值有很大影响. 例如，“证明点P在直线l上”有明确的方向性，但若改为“判断点P与直线l的位置关系”，显然对问题的分析能力要求更高；“证明AB = 2CD”有很强的暗示性，但若改为“探究线段AB与CD的数量关系”，显然后者的思维含量更高；“分别求选择三种方式获得成功的概率”有明确的指向性，但若改为“你认为选择哪种方式最合理？试说明理由”，或是“你先选出其中最合理的方式，并在此基础上提出一种改进方案，使得……”，则要求学生能在实际情境中知道用概率作出合理判断或决策，显然改后的问题对学生的能力素养要求更高. 总的来说，探究性、评价性、创造性的设问具有一定的开放性，对学生自己发现问题和提出问题、分析问题和解决问题的能力要求更高. 当然，设计开放性问题需要特别注意避免漫无目的或偏离重点的发散. 例如，课例2中，若将例题的变式“改变一个条件”改为“改变∠ABC，∠AOD其中一个角的度数”，则会使学生的思考更能集中到教师的设计意图上来.

三是例题要有引申或变式的余地. 课堂上考查学生能力的题不宜过多，否则情境切换，往往没有充分的时间让学生阅读和理解. 比较高效的做法是精心选择一道例题，挖掘这道例题中蕴含的思维引申拓展的价值，设计变式或追问，使学生在一个情境下经历思考的逐步进阶.

例题的变式设计需要与原题形成一定的思维逻辑，体现数学思考、数学发现的一种自然逻辑. 例如，对原题进行特殊化、一般化、类比联系等，使学生从中感悟研究和迁移的一般方法，未来也可以让学生独立思考，更重要的是让学生能基于一个问题的解决发现和提出有价值的新问题.

事实上，单元小结课的例题要能很好地承载“例”的功能. 往往很难找到现成的题目，通常需要根据教学目标、设计意图等对已有题目进行改编，有时甚至需要原创. 这对教师的命题能力有一定的要求.

需要注意的是，学生的“做”和教师的“析”对于充分发挥例题的价值缺一不可. 对于学生的思维难点，如何分析条件和设问，如何探求解决问题的思路等，都需要辅以结构化的析题板书充分呈现，引导学生反思、提炼，使学生有向、有序、有法和有据地进行思维活动.

例如，课例2中关于例题变式的教学，若能结合学生的回答设计结构化板书逐步呈现思维过程（如图4），学生则能自然地发现无论改变哪一个角的度数，都要使∠ABC = ∠AOD，从而感受到直线和圆的特殊位置关系中蕴含着两个角度之间特殊的数量关系，进一步引导学生尝试提出问题“当这两个角满足什么条件时，直线PA与⊙O是相交的？”甚至还可以先合理猜想角度之间的大小关系. 这样，使学生对核心思想的理解和知识的迁移运用就能水到渠成，得到落实.

（4）课堂小结：凝练概括，内化迁移.

单元小结课的课堂小结不仅是对本节课的小结，也是对本单元的概括总结，既要对本单元的知识体系及其蕴含的思想方法、一般观念进行凝练概括，又要尽可能基于一般观念提出后续可以研究的对象、内容、思路、方法，甚至可能的结论. 这样使单元小结课与单元引入形成呼应，让学生经历有过程、有结果、有生长的结构化学习过程. 例如，对于课例2的课堂小结，教师可以提出问题“我们学习了点和直线、直线和直线、点和圆、直线和圆的位置关系，积累了丰富的学习经验，那么要研究圆和圆的位置关系，你会研究哪些内容？如何研究？可能会有什么样的结论？”甚至可以让学生自己提出后续可以研究的内容. 这样的问题能触发学生的探究欲和创造力，体现知识整体性的价值和一般观念的强大力量.

虽然课堂小结的主体是学生，但是仍然需要教师通过问题来引导学生，尽量避免流于简单复述和空泛的名词. 例如，在提出问题“我们在研究直线和圆的位置关系中运用了什么数学思想？”之后，还应该再问：“你能举例说明我们怎么用数形结合思想研究直线和圆的位置关系吗？”甚至可以直接问：“你是如何理解数学思想在研究直线和圆的位置关系中的作用的？”当然，对于这样比较宏观的问题，如果学生回答起来有困难，可以通过追问给予适当的台阶或提示.

单元小结课的课堂小结问题内涵丰富，思想性强，涵盖的内容范围也比较大，学生很难仅靠在头脑中的复盘作出回答，教师通常需要借助板书帮助学生回顾和凝练. 因此，单元小结课的板书需要呈现什么、用什么方式呈现能做到结构清晰、简明易懂，是要经过精心设计的. 从这一点来看，那种“一个课件搞定一节课”“把一体机当黑板，把黑板当草稿”的教学方式显然与单元小结课的教学任务相去甚远.

五、结语

在研讨活动后，两位执教教师对教学设计进行了修改和再实践. 限于篇幅，本文不再赘述.

事实上，单元小结课的设计方式有很多，即使教研团队基于课例的研讨提出了一些结论或观点，也还有诸多问题需要后续进一步研究. 例如，如何设计单元小结课前测、课堂检测和课后作业？如何体现差异化教学，以满足不同水平学生的学习需求？各部分的设计要点能否通过实践研究使其可操作性更强？等等. 总的来说，对数学、学生、教学的理解是做好教学设计的重要前提. 高质量的实践和研讨是优化教学设计的有效途径.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022年版）［M］. 北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］曹才翰，章建跃. 中学数学教学概论：第3版［M］. 北京：北京师范大学出版，2012.