由一道经典“母题”引发的若干思考

摘 要：通过对一道经典“母题”的深入思考，将题设及结论多方位、多视角地进行变式，把线段（比）、角、面积（比）等重要的几何元素及路径与最值等常见的几何问题融会贯通，深刻体现了转化与化归思想，促进了深度学习及深度教学的发生，使学生触类旁通，达到举一反三、事半功倍的教学效果.

关键词：一题多变；多题归一；转化与化归；深度教学

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1673-8284（2024）08-0058-06

引用格式：段广猛. 由一道经典“母题”引发的若干思考：谈数学中无处不在的“转化”［J］. 中国数学教育（初中版），2024（8）：58-62，64.

数学解题教学的本质是引导和帮助学生巩固知识技能，激活探究兴趣，培养思维品质，获取活动经验，习得数学思想，发现新的结论. 在解决一个问题后，应注重及时进行相应的拓展迁移和变式训练. 本文在一道经典“母题”的基础上进行多方位、多视角的深度思考，深入挖掘习题的功效，以达到“解一题、会一类、通一片”之效.

一、经典呈现

题目 如图1，已知二次函数[y =-34x+1x-4]的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，P为该图象在第一象限内的一点. 作PG⊥Ox于点G，交直线BC于点Q，求PQ的最大值.

二、变式拓展

这是一道经典的二次函数最值问题，可以采取设坐标法，建立二次函数模型来解决. 解题思路如下.

由题意，可知点[A-1，0]， [B4，0]， [C0，3]， 直线BC的解析式为y =[-34]x + 3，二次函数[y=-34x+1 ·]

[x-4]=[-34x2]+[94x]+ 3. 设点[Pt，-34t2+94t+3]，[Qt，-34t+3]，其中0 < t < 4，则PQ = yP - yQ =[-34]t2 +[94]t + 3 +[34]t - 3 = -[34]t2 + 3t =[-34t-22+3]. 故当t = 2时，PQ取得最大值，最大值为3.

以上解题思路体现了“主动设元，函数建模”的方法. 虽然问题看似已经解决，但是对其的深入思考与探究才刚刚开始.

转化在数学中无处不在. 笔者在这道“母题”的基础上，提出一些对相关“子题”的思考，以体现这种转化思想.

1. 关于面积转化的思考

变式1：如图2，已知二次函数[y =-34x+1x-4]的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，P为该图象在第一象限内的一点，连接PB，PC，求△PBC面积的最大值.

面积与线段之间的相互转化十分常见. 这里由“母题”中的线段最值问题自然联想到面积最值问题. 关于面积转化，给出如下三种常见的解题思路.

思路1（宽高法）：如图3，作PG⊥Ox于点G，交BC于点Q，过点C作CH⊥PQ于点H，则S△PBC = S△PQC + S△PQB =[12PQ · CH+12PQ · BG=12PQ · CH+BG=12PQ ·][OG+BG=12PQ · OB=2PQ]. 设点[Pt，-34t2+94t+3]，其中0 < t < 4. 由原题可知，当t = 2时，S△PBC取得最大值，最大值为6.

思路2（割补法）：如图4，设点[Pt，-34t2+94t+3]，其中0 < t < 4. 连接OP，则S△PBC = S四边形OBPC - S△OBC = S△OBP + S△OCP - S△OBC = 2[-34t2+94t+3]+[32]t - 6 = -[32]t2 + 6t = -[32][t-22]+ 6. 故当t = 2时，S△PBC取得最大值，最大值为6.

思路3（平移法）：如图5，过点P作BC的平行线l，当直线l与抛物线有且只有一个公共点P时，△PBC的面积最大. 可以设直线l的解析式为y = -[34]x + b. 将其与抛物线联立，可得[-34]x2 + [94]x + 3 =[-34]x + b，即[-34]x2 + 3x + 3 - b = 0. 令[Δ]= 9 + 3[3-b]= 18 - 3b = 0，解得b = 6. 则有[-34]x2 + 3x - 3 = 0，即x2 - 4x + 4 = 0. 所以[x-22=0]. 解得x = 2. 此时点P的坐标为[2， 92]，然后求此时△PBC的面积即可. 以下略.

【评析】以上三种思路是处理面积最值问题的常见方法. 思路1与思路2都属于割补策略. 思路1是将目标三角形沿着竖直线（或水平线）进行分割，将问题巧妙地迁移到“母题”上来，这也是有关面积的一个常见公式，即所谓的“宽高公式”；思路2是将目标三角形先补成一个四边形，再将四边形分割成另外两个含“水平边”（或“竖直边”）的三角形面积之和. 思路3可以理解为一种动态策略，即将直线BC向上平移，直至其与抛物线有且仅有一个公共点，此时得到的△PBC的面积最大. 至于求得点P的坐标后如何求得△PBC的面积，既可以采取前两种方法，也可以采取平移法等.

2. 关于距离转化的思考

变式2：如图6，已知二次函数[y =-34x+1x-4]的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，P为该图象在第一象限内的一点，作PH⊥BC于点H，求PH的最大值.

[图6][A][O][B][P][C][x][y] [H]

转化可以是线段与角之间的相互转化，也可以是线段与面积之间的相互转化，还可以是线段之间的相互转化. 总之，转化在数学中无处不在. 关于变式2的转化，给出如下两种解题思路.

思路1（定角定比）：如图7，作PG⊥Ox于点G，交BC于点Q. 易证cos∠1 = cos∠2 =[45]，即[PHPQ=45]. 故PH =[45]PQ. 设点[Pt，-34t2+94t+3]，其中0 < t < 4. 由原题可知，当t = 2时，PH取得最大值，最大值为[125].

思路2（面积转化）：如图8，连接PB，PC，则S△PBC =[12]BC·PH =[52]PH. 要使PH最大，只要使S△PBC最大，故变式1中的三种思路都可行. 以下略.

【评析】线段PH的长度可以看成点P到直线BC的距离，属于平面直角坐标系中的“斜距离”，其常规处理方法是“化斜为直”策略. 思路1通过构造横平、竖直辅助线，抓住不变角，利用比例式进行线段的转化，即所谓的“定角定比”；思路2通过构造三角形，将距离最值问题转化为面积最值问题（即变式1）进行求解.

在变式2的基础上，可以进一步提出如下系列追问.

追问1：在图7中，求线段HQ的最大值.

追问2：在图7中，求△PHQ周长的最大值.

追问3：在图7中，求△PHQ面积的最大值.

对于以上追问，只要抓住“定角定比”，均可将其转化到“母题”上去（即线段PQ的最值问题）.

3. 关于比值转化的思考

变式3：如图9，已知二次函数[y =-34x+1x-4]的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，P为该图象在第一象限内的一点，连接OP，交直线BC于点K，求[PKOK]的最大值.

对于几何中的转化，除了可以考虑线段、角、面积等元素之间的相互转化外，还经常涉及线段比值的相互转化. 关于变式3的比值转化，给出如下两种解题思路.

思路1（竖直转化）：如图10，作PG⊥Ox于点G，交BC于点Q. 易证△PQK ∽ △OCK，则[PKOK=PQOC=][PQ3]. 设点[Pt，-34t2+94t+3]，其中0 < t < 4. 由原题可知，当t = 2时，[PKOK]取得最大值，最大值为1.

思路2（水平转化）：如图11，过点P作x轴的平行线，交直线BC于点Q. 易证△PQK ∽ △OBK，则[PKOK=][PQOB=PQ4]. 设[Pt，-34t2+94t+3]，其中0 < t < 4，则[Qt2-3t，-34t2+94t+3]. 故PQ = xP - xQ = -t2 +4t = -[t-22+4]. 当t = 2时，PQ取得最大值，且最大值为4，从而得[PKOK]的最大值为1.

【评析】以上两种思路均是通过构造横平、竖直辅助线，利用“8”字型（或“A”字型）相似三角形转化线段之间的比，达到“化斜为直”之效. 通常情况下，思路1中的竖直（线段）转化比思路2中的水平（线段）转化更简便些，计算量更小些.

在此基础上，可以提出如下追问.

追问1：如图12，在原题的基础上，连接AP，交直线BC于点K，求[PKAK]的最大值.

该追问的处理方式与变式3如出一辙，紧紧围绕“化斜为直”策略解决问题. 如图13，过点A，P作y轴的平行线，分别交直线BC于点E，Q，PQ交x轴于点G. 易证[PKAK=PQAE]. 注意AE是一个定值，从而将问题再次转化到“母题”上来. 以下略.

若考虑到面积比与线段比之间的相互转化，可以进一步提出如下追问.

追问2：如图14，在原题的基础上，连接AP，交直线BC于点K，再连接AC，PC，求[S△PCKS△ACK]的最大值.

4. 关于路径与最值转化的思考

变式4：如图15，在原题的基础上，过点P作直线BC的平行线，交x轴于点M. 随着点P从点C出发沿着第一象限内的抛物线运动到点B，点M经过的路径长为 .

这是一个路径类的动点问题，关键的条件是平行，学生可以利用直尺动手操作，借助平移感知问题的合理性，从而发现动点M自起点B出发沿x轴先向右运动至最远处，然后向左直至到达点B才停下来，故点M经过的路径长等于线段BM的最大值的2倍. 只需要想办法求出BM的最大值即可. 图16给出了关于平行可以联想的主要方向.

由此，对于变式4给出如下五种解题思路.

思路1（平移法）：由题意，可设直线PM的解析式为y =[-34]x + b. 显然，当直线PM与抛物线有且只有一个公共点时，BM取得最大值. 将直线PM的解析式与抛物线的解析式联立，可得[-34]x2 +[94]x + 3 =[-34]x + b，即[-34]x2 +3x + 3 - b = 0. 令[Δ]= 9 + 3[3-b]= 0. 解得b = 6. 所以直线PM的解析式为y =[-34]x + 6. 令y = 0，可得[-34]x + 6 = 0. 解得x = 8. 故线段BM的最大值为8 - 4 = 4. 从而点M经过的路径长为8.

思路2（函数建模）：同思路1，可设直线PM的解析式为y =[-34]x + b，点[Pt，-34t2+94t+3]，其中0 < t < 4. 将点P的坐标代入直线PM的解析式，得[-34]t2 +[94]t + 3 =[-34]t + b. 则b =[-34]t2 + 3t + 3. 故直线PM的解析式为y =[-34]x -[34]t2 + 3t + 3. 令y = 0，可得xM = -t2 + 4t + 4. 则BM = xM - xB = -t2 + 4t = -[t-22+4]. 当t = 2时，BM取得最大值，最大值为4. 从而点M经过的路径长为8.

思路3（面积法）：如图17，连接CM，PB，PC.易证S△MBC = S△PBC. 要使BM最大，只要使S△MBC最大，即S△PBC最大. 从而将问题转化为变式1. 利用前述的三种思路均可求出此时点P的坐标，进而可以求出点M的坐标. 以下略.

思路4（斜直转化）：如图18，作BN⊥PM于点N，作PH⊥BC于点H. 易得sin∠BMN = sin∠OBC =[35]，即[BNBM=35]. 则BM =[53]BN. 易证四边形PNBH是矩形，故BN = PH，得BM =[53]PH. 要使BM最大，只要使PH最大，将问题转化为变式2，利用前述的几种思路均可求出PH的最大值，从而可得BM的最大值，以下略.

思路5（构造平行四边形）：如图19，过点P作x轴的平行线，交直线BC于点Q. 易证四边形BMPQ是平行四边形，则BM = PQ. 要使BM最大，只需PQ最大. 利用变式3中的思路2，借助设坐标法，可求得PQ的最大值为4，故BM的最大值也为4. 从而点M经过的路径长为8.

【评析】路径与最值问题常常可以相互转化. 在变式4中，先通过动手操作让学生直观感知，将动点M的路径长问题转化为线段BM的最大值问题. 然后借助平行联想，提供了五种常见的思考方向，并且同前面的“母题”及变式产生联系，再次演绎了转化的力量. 上述思路彼此交织，相互印证，如前两种思路都与平面直角坐标系中的解析思想有关，思路2与思路5都涉及“主动设元，函数建模”的思想方法，思路3的面积转化与思路4的斜、直转化也都有密切的联系等. 在解决问题的过程中，通过反复琢磨、层层比较，学生提升了解题技能，发展了几何直观、推理能力等数学核心素养.

三、几点思考

1. 转化与化归思想

数学思想是数学的灵魂，是解决问题的“航标灯”. 转化与化归是一种基本的数学思想，其作用在于可以把问题不断地进行相互转化，如将复杂的问题简单化，将不熟悉的问题熟悉化，将未知的问题已知化等. 著名数学家和教育家G.波利亚曾言，要不断变换你的问题，必须一再变化它，重新叙述它，变换它，直到最后成功地找到一些有用的东西为止. 可以说，转化思想是一切数学思想方法的核心，是解决问题的通性通法.

本文通过对一道“母题”的深入思考，从四个方面不断演变，提出了系列“子题”，而这些“子题”最终都可以转化到“母题”上来或者相互转化，进而使问题得以解决. 在这种转化和深入思考的过程中，教师引导学生将待解决的问题归结为已解决或比较容易解决的一类问题，然后拓展延伸、类比反思，从而提升其思维品质.

2. 一题多解与多题归一

解题教学中，对同一数学问题的多角度审视可以引发不同的联想，发现不同的解题路径，这样既有利于问题的解决，又能使思维的起点和过程都具有高度的灵活性，从而发现解题的捷径. 系统论指出，整体功能大于部分功能之和. 这启示我们，在数学教学中，要将“一题多解”“一题多变”“多解归一”“多题归一”等方法组成一个相互联系、相互作用的整体，从而加深学生对知识的巩固与深化，提高学生解题技能及分析问题、解决问题的能力，增强学生思维的灵活性、变通性和创新性.

本文以一道经典“母题”为背景，通过对题设及结论的诸多变化，使之变为更多有价值的、有新意的问题，使更多的知识与方法得到应用，从而获得“一题多练”“一题多得”的教学效果，激发学生思维的灵活性. 在每一个变式问题中提倡“一题多解”，鼓励学生从多角度、多途径寻求解决问题的方法，开拓解题思路，激活学生思维的发散性. 尤其是变式4，几乎将初中阶段关于平行的常见处理策略融于其中. 另外，上述四种变式对应的四个思考方向，最终都可以转化到“母题”上来，这种“多题归一”的训练是培养学生聚合性思维的重要途径. 有研究表明，任何一个创造的过程，都是发散性思维和聚合性思维的完美结合. 在教学中，教师可以将这些“型异质同”或“型近质同”的问题归类分析，引领学生探寻其本质特征，方能使学生触类旁通，达到举一反三、事半功倍的教学效果，从而真正摆脱“题海泛舟”的苦恼.

3. 深度学习与深度教学

文献［3］指出，深度学习是指在理解学习的基础上，学习者能够批判性地学习新的思想和事实，并将它们融入原有的认知结构中，能够在众多思想间进行联系，并能够将已有的知识迁移到新的情境中，作出决策和解决问题的学习. 学生的学离不开教师的教，深度教学与深度学习是相辅相成的. 教师的深度教学可以将学生的学习引向深入，学生的深度学习可以推动教师的教学向深度发展. 其核心问题是能否引起深入思考和深入探究. 能够引起深入思考和深入探究的教学就是深度教学，进行了深入思考和深入探究的学习就是深度学习. 如何促进深度教学与深度学习的发生，值得一线教师思考与实践.

本文通过对一道“母题”中基本图形结构的深度研究，多方位、多视角的变式重组与拓展迁移，将线段（比）、角、面积（比）等常见几何元素及路径与最值等常见问题融会贯通，启发学生在深入思考的过程中学会整合思路和深度挖掘，不断逼近问题的本质，从而促进深度教学，引发深度学习，让学生体悟具有普适性的数学思想和方法，进而形成一定的数学思维.

参考文献：

［1］徐成祥. 一道开放型函数题的教学与思考［J］. 中学数学教学参考（中询），2019（12）：44-47.

［2］牟庆生. 知其然、知其所以然、知何由以知其所以然：由2016年浙江理第19题引发的数学解题教学的思考［J］. 中学数学，2016（23）：51-53.

［3］何玲，黎加厚. 促进学生深度学习［J］. 现代教学，2005（5）：29-30.

［4］夏乾冬. 一题一课中渗透核心素养“三步曲”［J］. 中学数学教学参考（中旬），2019（12）：40-43.