微分几何的直观性、研究性教学

摘 要：微分几何研究空间曲线与曲面，研究对象复杂，目前课程没能提供几何直观分析，这导致实际课程教学比较抽象，学生难以把握一些基本概念、结论等；另外课程缺少研究性、探究性教与学。本文首先研究《微分几何》课程教学的直观性问题，针对课程中密切面、挠率和曲率线基本概念、空间曲线和曲面一点的邻近结构基本结论，给出具体实例，使用软件MATLAB编写程序，提供几何直观图像。其次，给出探究性教学案例。文中提供的程序、图像能增强教学的直观性，探究性案例有利于开展研究性教学。

关键词：微分几何; 直观教学;研究性教学；MATLAB

文献标识码： A 中图分类号： G642; O186.1

1 概述

微分几何不仅是现代数学重要的研究方向，它也有许多科学与实际应用，如极小曲面被应用在现代建筑外形设计上[1]，飞机等机器部件的设计研究离不开微分几何[2-3]，测地线理论被应用到大地测量等[4]；微分几何在自动控制、人工智能领域也应用广泛[5-10]；高斯-博内公式更可以帮助人们认识罗氏几何等，促进人们对非欧几何、现代几何学的理解[11]。

本科《微分几何》课程是一门重要的基础课，它承担传授微分几何基本概念、思想和方法的任务，不仅如此，它还是解析几何、高等代数、数学分析和常微分方程在其中广泛应用的学科，提高《微分几何》课程教学质量，可以促进学生综合知识与能力的提升。然而实际

教学使笔者感受到《微分几何》课程急需增强直观性、研究性教学，《微分几何》研究空间曲线与曲面，研究对象复杂，如果缺乏曲线、曲面等的直观图形，一些基本概念难以被真正理解；例如学生很难理解挠率概念，教师也不易描述它；另外学生也许能求出某曲面的曲率线，但是它在曲面的什么位置问题不易被回答，实际教学处于过于抽象的状态。如果能加强直观性、研究性教学，能使当前教学得到明显改观。目前关于《微分几何》直观教学、研究性教学成果很少见。文献[12]运用 Matlab 软件绘制了圆柱螺线、环面等空间图形，计算了椭圆和摆线的相对曲率，证明了双曲螺线的曲率和挠率相等，另外计算抛物面的第一基本量、第二基本量及法曲率和主曲率；文献[13]运用 Matlab绘制了球面、正螺面和麦比乌斯带等曲面，编程计算了向量函数的导数和极限，曲线弧长，曲线的曲率与挠率等。上述文献研究成果一定程度上加强了微分几何教学的直观性。本文首先深入探讨微分几何的直观教学问题，通过合理设计图形并用Matlab加以绘制，以揭示密切面、挠率、曲率线等概念本质，讲清空间曲线一点结构以及曲面一点的结构等重要内容，本文将给出相应的程序，为微分几何的直观教学提供帮助；另外给出研究性教学案例。

2 基本概念的直观教学

2.1密切面

设类的空间曲线，其一点处的密切面是与其最贴近的切平面。密切面由曲线的一阶及二级导数张成；也可以由曲线在该点的切向量和主法向量张成[ 14]。例1可以帮助我们理解密切面这一概念。

例1 设圆柱螺线，（1）绘制该曲线；（2）绘制点处的切线及密切面。

t=-1.5：0.2：2*pi;plot3（cos（t），sin（t），t，'r'）%画圆柱螺线

hold on;x=ones（1，size（t，2））;

plot3（x，t，t）%绘制圆柱螺线在点（1，0，0）处的切线

plot3（1，0，0，'b*'）

[X，Y]=meshgrid（-0.5：0.25：1）;%绘制圆柱螺线在点（1，0，0）处的密切面

Z=Y;mesh（X，Y，Z）

程序的运行结果如图1，从图1可以清楚地看到密切面与圆柱螺线的紧密贴合。

2.2 挠率

直观地讲，挠率就是曲线离开密切面的程度[14].图1清楚地显示了圆柱螺线在点离开密切面的程度，图1可以帮助我们理解挠率概念。

对于挠率的认识不能仅限于此，挠率还决定曲线一点邻近的结构。对于圆柱螺线来说，当挠率时是右旋的，螺距向上延伸；当挠率时是左旋的，螺距向下延伸，分别如图2_1、图2_2.

挠率也可以准确地计算。设类的空间曲线，挠率计算公式为[ 15]：

圆柱螺线的挠率是常数，例2程序用以说明这一结果。

例2 计算圆柱螺线在点处的挠率。

syms t;s=0;r=[cos（t），sin（t），t];r1=diff（r）;r1_1=subs（r1，'t'，s）;

r2=diff（r1）;r2_1=subs（r2，'t'，s）;r3=diff（r2）;r3_1=subs（r3，'t'，s）;

naolv=det（[r1_1;r2_1;r3_1]）/（norm（cross（r1_1，r2_1）））^2

运行结果：0.5.

2.3 曲率线

曲率线是曲面上的一条曲线，如果该曲线每点的切方向都是主方向，则该曲线是曲率线。曲率线应满足[1 5]：

曲面是否都存在曲率线？如果存在的话，如何画出曲率线？回答这些问题有助于理解曲率线概念。球面上每条曲线都是曲率线；对于圆柱面而言，经计算知道其曲纹坐标网是曲率线网，由水平圆和直母线组成，如图3.曲率线网常被选为坐标网，因为它具有较好的性质。

3 基本结论直观教学

3.1 空间曲线一点的邻近结构

本科的《微分几何》是局部微分几何，研究一点处曲线的基本性质。空间曲线在一点邻近的近似形状由该点的曲率和挠率完全决定，文献[14]还给出近似形状示意图。例3给出具体实例，说明这一结论。

例3 绘制圆柱螺线及其上点处的Frenet标架，并观察点处的曲线形状。

t=-1.5：0.2：2*pi;hold on

plot3（cos（t），sin（t），-t，'r'） ;plot3（1，0，0，'b*'）

[X，Y]=meshgrid（-0.5：0.25：1）; Z=-Y;mesh（X，Y，Z）

x=ones（1，size（t，2））;y=zeros（1，size（t，2））;

plot3（x，t，-t）%绘制圆柱螺线在点（1，0，0）处的切线

plot3（x，t，t）%绘制圆柱螺线在点（1，0，0）处的副法线

plot3（-t，y，y）%绘制圆柱螺线在点（1，0，0）处的主法线

3.2 空间曲面一点的邻近结构

在曲面论中，研究曲面一点邻近的结构是重要问题。文献[14]指出曲面椭圆点的高斯曲率，曲面沿所有方向都朝同一侧弯曲；曲面抛物点，除渐近方向外，一切法截线都朝的反向弯曲；当时，曲面点为双曲点，此点邻近曲面近似于马鞍面，此种情形复杂，下面给出例4予以说明。

例4设马鞍面，绘制该曲面及点处法截线的方向。

程序略，运行结果为如图4，在区域1曲面向下弯曲，在区域2曲面向上弯曲。

4 研究性教学案例

梅向明，黄敬之著《微分几何》第五版3.5节“曲面的主方向和曲率线”研究性教学案例如下。

（1）依据教材讲解主方向定义、推导主方向满足的方程；

（2）研究曲面任一点主方向的个数：非脐点处总有两个主方向，脐点处每一方向都是主方向；

（3）讲解主方向判定定理（罗德里格斯定理）及其证明；

（4）研究问题：给定一个主方向，如何寻找与之共轭的另一主方向？提示学生回想（3）中定理证明过程的第二部分；

（5）罗德里格斯定理应用部分：课堂探究两个问题，题1是对教材第75页14题条件做修改，如下：

题1：给出曲面上一条曲率线，设上每一点处的主法向量和曲面在该点处的法向量成定角，但不等于，则为平面曲线。

题2：探究教材第75页14题的逆命题是否成立。特例情形；对球面、圆柱面而言，题2结论是否正确？

课堂学生研究上述问题，原题留为作业。通过这个活动启发学生多思考问题，学会探究，进一步地深入理解所学的知识。

（6）学生课后思考：通过参数变换后选取曲率线网为曲纹坐标网的意义。提示学生预习3.6节，从中可以找到答案。

5 结论

目前《微分几何》课程的教学缺乏直观性、研究性，这妨碍了学生对基本概念、基本思想方法的理解与运用。本文解决《微分几何》课程教学的直观性、研究性问题，针对密切面、挠率及曲率线等基本概念、空间曲线和空间曲面在一点的邻近结构基本结论，利用MATLAB软件编写程序，提供几何图形；提供了研究性教学案例，较好地有重点地解决了实际教学中的迫切问题。

参考文献：

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[11] 彭家贵，陈卿.微分几何[M].北京：高等教育出版社，2004.

[12] 蔡姗姗. 基于 Matlab 的经典微分几何教学的探讨[J]. 普洱学院学报，2019，35（3）：30-33.

[13] 游明琳. 浅谈 Matlab 编程与微分几何简单算法的实现[J]. 高教学刊，2017（6）：92-93.

[14] 梅向明，黄敬之.微分几何[M].北京：高等教育出版社，2019.

基金项目：沈阳师范大学JG2021-YB094

作者简介： 景丽（1967年－），女，汉，辽宁沈阳人，沈阳师范大学副教授， 博士，研究方向：切换系统及多智能体系统的控制。