基于主动型教学模式的数学分析教学改革方案

摘要：本文根据数学分析教学过程中的实际情况，提出三个主要问题，并据此提出基于主动型教学模式的教学改革方案。该方案可以让学生快速了解数学分析的知识架构，有效地培养学生学习积极性，提高学习主动性，以及增强知识点在实际问题上应用的广泛性。教学改革方案还借助Python软件解决教学过程中遇到的计算问题。

关键词：数学分析；教学改革；Python；主动型教学模式

数学分析是数学专业最重要的基础课之一，是整个数学体系的根基之一，主要包括一元极限理论、微分理论、积分理论和级数理论，以及多元极限理论、微分理论和积分理论等。这些理论几乎涵盖了后续课程涉及到的所有基础知识，如常微分方程中会涉及大量微分、积分和部分极限的知识，概率论会涉及无穷级数、一元积分和多元积分理论等。所以，学好数学分析是作为一名数学专业学生必备的基本功。但数学分析包含的概念、性质、定理以及证明往往又是最为抽象和复杂的，且前后章节之间的逻辑性又非常严谨，这使得学生在学习的过程中容易失去学习兴趣，进而可能无法顺利完成学习任务。目前，不断有教师尝试用较为新颖的方式去处理这些困难，达到了一定的效果。为了更好地激发学生学习的主动性，提高教学效率，扩大应用范围，本文针对课程特点和教学中存在的问题，提出基于主动型教学模式的教学改革方案（以下简称方案），结合Python软件，让学生更快速地建立知识架构、更准确地掌握基本知识、更灵活地应用知识，达到学以致用的目标。

一、数学分析课程的特点

数学分析更侧重介绍知识本身，目的是为后续课程提供理论支撑。这是数学分析的一个优势，它可以让数学学习变得更加纯粹。但同时也是该学科的一个劣势，它加大了学生使用所学的知识解决实际问题的难度。具体特点包括：

（一）知识点分布密集

数学分析的知识点分布是非常密集的。整个教学过程，课上需要讲授大量的知识点，占据了课上绝大多数的时间。因此，课上无法用较多的时间做大量的练习来巩固知识点。

（二）抽象的符号和较强的理论性

为保证理论的严谨性，数学分析几乎所有的理论都采用抽象的符号进行最一般性的描述。尽管在某些知识点的讲解过程中可以引入实际例子，比如速度是位移对时间的一阶导数等，但当涉及较大篇幅的性质、定理、证明等内容时，还是无法克服抽象符号和理论性强的困难。即使是一个简单的概念，也会形成了一个较强的、相对完整的理论体系，使得学生望而生畏，从心理上产生拒绝学习数学分析的情绪，更无从谈及学习的主动性了。

（三）模块化的教学方式

在教学过程中，较难摆脱一种模块化的教学方式，即某一部分理论的中后期是相对独立的。这种模块化的教学方式不仅体现在理论教学过程中，实际应用的理论也出现涉及知识点单一的局面。该方式可以很细致的讲授每一部分理论，但极其容易出现学生对知识点的割裂，做不到对整个体系的通览。

二、传统教学过程中存在的问题

基于以上学科特点，作者认为在教学过程中主要存在三个问题：无法快速构建知识体系、应用脱离实践、学生学习的主动性不高。

（一）无法快速构建知识体系

数学分析这门课程由于其自身的特点，使其并不适合大一学生自学。在传统教学过程中，大部分高等院校会采用三学期的时间完成整个数学分析的教学。以第一学期96学时为例，该学期的主要任务是完成实数与函数、一元极限与连续性、微分学和积分学四个主要部分的学习。以我校教学大纲为例，实数与函数8学时，一元极限与连续22学时，一元微分学36学时，一元积分学30学时。该过程虽然强调知识的严谨性和逻辑性，但进度较慢。学生需要花费大量的时间专注于完整地学习某一部分知识，极其容易忽略对数学分析的整体框架的把握，导致学生无法快速构建知识体系，不利于高效地激发学生的学习热情。这几年不断有教师尝试利用网络资源、数学建模、特殊模式等方式激发学生的学习兴趣，提高学习效率，取得了成效。但纵观整个教学过程，一定程度上还是很难摆脱传统教学模式产生无法快速构建知识体系的问题。

（二）应用脱离实践

虽然数学分析是一门重点阐述基础的课程，但在实践中的应用是非常广泛的。由于无法快速构建知识体系，学生对于知识点的应用逐渐形成了集中在比较经典的几个模型中的固定思维方式。比如提到导数，学生就会快速的联想到速度、斜率，再比如提到定积分的几何或物理含义，根据其维数不同，学生会联想到二维平面上某平面图形的面积、三维空间中某物体的体积、某物体的质量等。除此之外，可以说再无其它。这些应用虽然非常经典、简单直接、有利于学生去理解知识点的内涵，但缺乏综合性，不利于理解和掌握各理论之间的深层联系，更不利于学生主动发现一些较为复杂的、与理论交织较多的应用，进而逐渐形成知识应用脱离实践的局面。这种局面反过来又会影响学生的学习积极性。

（三）学习主动性不高

由于知识应用脱离实践的程度过高，虽然学生学到的知识越来越多，但其应用能力却没有得到相应的提升。学生对于知识的认知程度仅限于知识本身，以应付各种考试为目的，为了学而学，逐步形成纸上谈兵的局面，循环往复，严重打击学生学习的热情和主动性。所以自然而然地形成了被动型学习状态。这种状态一旦形成，很难改变。被动型学习不仅对于数学分析课程本身的学习是毫无益处的，而且对整个四年的学习，也有深远影响。

三、基于主动型教学模式的教学改革方案

针对以上特点和问题，本文提出主动型教学模式，即最大程度地充分发挥学生在学习过程中的主观作用，提高学生对知识点的应用能力，扩展应用范围，改善传统教学中存在的问题，达到学后能用、学后会用的目的。

为达成以上目标，首要任务是让学生快速建立数学分析的知识架构。以此为基础，建立主动型教学模式主要分为四个阶段：基本知识的讲解；实际应用例子的搜集、整理与优化；形成主动型学习模式；深化主动型学习模式。并在每一阶段采用不同的指标对学生进行综合性过程评价。

我校用三学期时间完成数学分析的整个教学任务，每学期预计开设96学时，采用教材为华东师范大学数学科学学院编写的《数学分析（第五版）》，其中第一、二学期重点完成该教材中全部计算问题和少量理论证明性问题，第三学期重点完成该教材的理论证明部分，尤其是一元函数的理论证明。本方案主要针对第一、二学期的教学任务。

（一）第一阶段：基本知识的讲解

这一阶段在第一学期完成，主要解决的问题是让学生在短时间内快速地对数学分析课程涉及的内容有初步了解，建立知识架构，解决知识点密集和理论性强的问题，有效改善知识点的严谨性和应用的及时性之间的矛盾关系。

1.总体安排

将数学分析的主体内容分为一元函数的极限、连续、微分和积分，多元函数的连续、微分、积分以及级数8各部分，每一部分预计用1-2学时（45分钟/学时）讲解基本概念和简单应用。这样在2-3周内，既让学生掌握了数学分析的基本知识架构，但又没有因为过多的理论学习打击学生的学习热情，为下一阶段的任务做好铺垫。

2.知识的深度和难度

总体上以了解知识点，掌握知识框架为目标。以数列极限部分为例，采用具体例子介绍数列的定义、数列极限的定义、以及语言，指明与误差之间的关系，并用其他例子巩固以上概念和关系即可，不介绍数列极限的性质（如唯一性、有界性、保号性等）、定理（如单调有界原理等）、证明等延伸内容。

评价指标：主要是学生的课堂表现。

（二）第二阶段：实际应用例子的搜集、整理与优化

这一阶段在第一学期完成，主要解决应用单一的问题，改善应用的局限性和广泛性之间的矛盾关系。

1.例子的搜集

在上一阶段完成的基础上，学生已对数学分析的知识架构有了大致了解。此时再将学生分组，搜集实际应用的例子就会达到事半功倍、有的放矢的效果。将学生分成4组，分别搜集近10年来物理、机械、经济、医疗（但不限于此）等领域的实际应用例子，鼓励学生搜集与我国国情和近年来前沿科学成果相关的例子。由于学生接触数学分析时间较短，所以这一步的任务重心是让学生在实际应用中发现涉及第一阶段知识点的例子。搜集的例子可以包含其他学科的知识，并不要求完全用到数学分析的知识，为问题的整理和优化做准备。学生可充分发挥互联网的重要作用，通过查阅文献、观看科普短视频等方式完成任务。每组以电子文件的方式提交大作业，其中包括word文档1（每个例子的出处、涉及的知识点和对知识点在例子中的处理应用方式）和支撑文件（引用文献、视频等源文件或网址）。

评价指标：搜集问题的数量、年份、涉及知识点的数量、大作业的完成度。

2.例子的整理

将第一步的所有例子统一编号，分发给每个组。要求学生按照知识点对例子进行分类整理。具体要求为：将所有例子按照知识点进行分类，一个例子可出现在不同的知识点组中；在同一个知识点组中，按照年份进行排列；补充例子中缺失的知识点；将以上内容形成word文档2。这样做的目的是让学生进一步巩固知识架构，也可以让学生了解知识点的应用发展过程。

评价指标：word文档2中三部分内容的完成度。

3.例子的优化

每组针对word文档2完成两次优化任务。在第一次优化任务中完成例子的筛选和补充，包括去除知识点重复、年份较早、应用较直接的例子；对缺失的知识点进行二次搜集，若学生无法完成二次搜集任务，可由教师提供具体例子；将筛选和补充后的例子进行二次整理。在第二次优化任务中，由学生和教师共同剔除掉每个例子中与数学分析关系较远的知识点（例如最优化解法等），提取关键知识点，并决定最终需要进一步讲解的知识点。最后将二次优化任务后的内容形成word文档3。

评价指标：例子的筛选和补充程度、覆盖知识点的全面性、二次搜集和整理的完成度。

（三）第三阶段：形成主动型学习模式

这一阶段和下一阶段将从第一学期开始一直持续到第二学期结束，主要改善学生学习的主动性和被动性的矛盾关系。

将剩余的学习时间分成8个周期，每个周期对应一部分知识，并设立具体的学习内容大纲。周期的具体时长可随着学习进度适当调整。在周期内，根据word文档3，每个小组分配一个例子（例子数量不足时，可分配同一个例子），并由教师根据例子提出新问题。由学生提出研究例子和解决问题时所需知识的学习需求，教师针对需求在课上进行对应知识的讲解，学生利用新知识继续研究和解决问题。循环往复，直到这一周期内的所有问题得以解决。若此时已经完成该部分学习大纲的要求，则进入第四阶段，并开展下一周期；若未完成，则单独开展理论教学直到完成该部分学习大纲要求为止。这个过程可以让学生达到学后能用，学后会用的效果。

同时，在上述过程中引入首要问题机制和竞争机制。首要问题机制是针对每个组负责解决的首个问题，即被分配的问题。竞争机制的启动契机是，组A解决完首要问题，且组B的首要问题尚未得到彻底解决，则组A可以与组B竞争解决组B的问题。两种机制同时启动，会更高效地促进学生形成主动学习习惯。

评价指标：首要问题的解决程度、所用时间、竞争问题的解决程度。

（四）第四阶段：深化主动型学习模式

这一阶段安排在每一周期完成理论学习大纲任务后进行，主要任务是借助数学软件通过编程实现求解数学问题。

前三个阶段顺利完成之后，已初步形成主动型学习模式。但这不是终点。数学理论应用较难的另外一个因素在于书本上的理论知识并不能有效地解决所有实际问题。比如对于定积分，并不是所有的定积分都可以通过理论方法求解。此时可以借助一些软件辅助完成解决实际问题。Python是一个目前较为流行的编程软件，它可以解决数学分析中的计算问题，且我校已开设Python课程配套学习进度。

此阶段主要用Python软件实现两部分内容。第一部分是用Python软件实现函数极限、导数和积分等运算问题，尤其是一些无法或较难从理论上完全求解的运算问题。第二部分是鼓励学生尝试用Python软件实现第三阶段问题的程序化。

评价指标：以命题的方式检验学生的程序熟练度、第三阶段问题的程序化完成度。

四、课程思政的建设

本方案的四个阶段分别涉及到四个不同层面的课程思政建设。第一阶段，抓主要矛盾，让学生逐步养成处理问题时首要任务是把握问题的主要矛盾的好习惯；第二阶段，搜集例子的过程中，学生可逐步了解我国近年各领域的发展状况，让学生了解我国国情，增强学生的民族自豪感和爱国热情；第三阶段，培养学生相互协作和团队配合精神，鼓励学生勇于挑战、敢于竞争；第四阶段，除了锻炼学生的动手能力之外，还可以锻炼学生遇到问题多思考的习惯，教会学生遇到不能解决的问题时，可以从另外一个侧面去思考并达到最优的解决方案。

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项目名称：2022年辽宁省教改优质资源建设与共享专项项目——基于互联网+的《数学分析》课程自主学习的线上线下新混合教学模式的研究（编号：0601048）

项目名称：大连大学2021年教学改革项目重点项目——数学类专业基础课教学模式的改革与实践

作者简介：于冉（1981—），男，山东肥城人，汉族，博士研究生，讲师，研究方向：数值计算；高旭彬（1986—），女，河北唐山人，汉族，博士研究生，教授，研究方向：生物数学。