问题教学法与类比教学法在近世代数教学中的应用

摘 要：针对贵州民族大学数学与应用数学专业近世代数教学中存在的问题，结合教材的特点和自身的教学实践，谈谈在近世代数课程中开展问题教学法和类比教学法的必要性、基本框架和注意事项，并以环论为例简要展示问题教学法和类比教学法的开展过程。教学实践表明，问题教学和类比教学能调动学生学习的积极性和主动性，使其掌握近世代数的基本知识，并获得良好的教学效果。

关键词：近世代数;课堂教学;问题教学法;类比教学法;目的式教学

中图分类号：G642 文献标志码：A 文章编号：2096-000X（2024）27-0101-05

Abstract： In view of the existing problems in the teaching of Modern Algebra for the mathematics and applied mathematics major in Guizhou Minzu University， combining the characteristics of teaching text and our teaching practice， the necessity， basic framework and matters on taking problem-based and analogy teaching methods in Modern Algebra are discussed. And then， the implementation process of problem-based and analogy teaching methods are briefly showed by using ring theory as an example. The teaching practices show that problem-based and analogy teaching methods can arouse the enthusiasm and initiative of students， help them understand and master the basic knowledge， and obtain good teaching effects.

Keywords： Modern Algebra; classroom teaching; problem-based teaching method; analogical teaching method; purposive teaching

近世代数课程是普DpdnfoQa/pAjGF90SoFrRw==通高等院校数学与应用数学、信息与计算科学、计算机科学与技术等专业的基础课和必修课，是将数、向量、矩阵和张量等对象看作或抽象为群、环、除环和域等代数系统的元，以研究它们所具有的性质和所拥有的结构，且具有高度抽象性和公理化的一门学科。近年来，随着科学和工程技术的快速发展，越来越多的科研人员意识到从近世代数的观点和角度出发，利用近世代数的知识、方法和思想可以解决他们遇到的科学和工程技术问题。例如，Jia等[1-2]利用四元数除环的性质和结构研究图像处理中的图像修复问题;Hermann[3]给出了群论在量子力学中的应用;胡胜龙[4]利用群表示和环的长度对一致超图的张量谱理论进行了研究。

目前贵州民族大学（以下简称“我校”）近世代数课程选用的教材为张禾瑞先生于1978年修订的《近世代数基础》[5]。由于该教材没有从具体的实际问题出发引出所要阐述的概念和定义，也没有给出概念和定义后再给出实例进行展示，用于展示和验证引理、定理、推理等的实际例子较少，这让学生认为没有实际例子或很难找到实际例子与它们相对应[6]，这样就在无形中增加了该教材的抽象性。又由于我校招收的学生基本上来自贵州，他们的数学基础薄弱、抽象思维能力和逻辑思维能力较差，若让学生自己构造例子以验证近世代数中的基本概念或定义，他们又没有强的抽象能力和动手能力，又若教师在课堂教学时没有向学生演示能体现这些概念或定义的例子，这样就会导致学生理解近世代数的知识点很慢、很吃力，从而导致学生惧怕近世代数课程的学习。鉴于教材的特点和学生的数学基础及学习状态，需要对近世代数课程进行教学改革。因此，如何让学生对近世代数课程感兴趣，并让他们理解、领会和掌握近世代数的基本概念、基本知识、基本方法和基本技巧已成为任课教师和教育工作者必须思考的问题。

教材《近世代数基础》[5]虽然有一些不足之处（见文献[6]的第二节第（一）条），但其也有自身的优势，例如，教材对群论和环论知识点的编排具有对称性、平行性、可对比性和可提问性，这样的编排可以增加学生对群和环这两个代数系统的理解，从这个角度看，其作为近世代数课程的入门教材和经典教材是实至名归的。教师要多思考张禾瑞先生如此编排教材的原因，挖掘该教材的优点和可以用于提问和类比的知识点，形成自己的知识图谱和知识脉络，并结合学生的知识水平，设置让学生感兴趣的问题，进行问题教学和类比教学，以便提高学生学习的积极性，让学生早日掌握近世代数的知识脉络。

现就开展问题教学法和类比教学法的必要性、基本框架和注意事项谈谈自己的看法，并以环论为例进行演示，以便给其他教师在近世代数课程中遇到的类似问题作为参考，共同提高学生学习近世代数的积极性和教师的课堂教学质量和教学效果。

一 采用问题教学法和类比教学法进行近世代数教学的必要性、基本框架和注意事项

（一） 问题教学法和类比教学法是提高学生学习兴趣的有效方法

问题教学法是教师先将教材中的知识点形成一个个让学生感兴趣、互相关联且前后呼应的问题，然后教师引导并启发学生进行探究式和创造性学习，以激发学生探索问题、研究问题和解决问题的兴趣，并进行有目的的教学。赵婷[7]指出，问题教学法一般包括这四个环节：问题预设以驱动学生主动复习、提出反思性问题以驱动学生归纳总结、教师讲解以解答疑惑、创设系列问题以驱动学生实践应用。赵志兵[8]指出，在近世代数教学中教师应始终带着问题教，学生带着问题学，时间长了，学生会由被动问问题转变为主动问问题，这样学生的学习积极性就提高。李霞[9]指出，问题教学法是教师在充分了解学生的基础情况后，以教材为基准设置合理的问题，引导学生围绕设置的问题进行思考和讨论，与老师进行互动交流的一种教学方法，它符合大学生创新思维的培养要求。

联想与类比是运用已经掌握的知识、方法和解决问题的思路等来探索与之类似的问题，它是一种普遍的科学的思维方式，也是一种有效的教学手段[10]。文毅玲[11]指出，将讨论、联想、类比运用在教学中，将新概念、性质和解题方法等与熟知的类似知识进行联系比较，找出神似的地方，可以帮助学生快速深入理解本质规律，提高学习效率和教学质量。

我们在教学实践中是这样应用问题教学法和类比教学法的。课前，教师要形成该节内容的知识图谱，并进行问题设计。具体地，教师要将本节授课内容涉及到的概念、定义、引理、定理、推论、重点、疑难点、易错点和具有对比性的知识点等设计成环环相扣的一系列问题，并提前发给学生，给学生预留出独立思考的时间，让学生在课前预习和回顾课本内容、查资料，类比以前学过的相似知识点试着解答，以培养学生的创新性思维和探索的能力。课堂上，教师启发和引导学生类比之前学过的知识点分析和解决这些设计好的问题，以及学生临时提出的新问题，推动学生进行探究式和启发式自主学习，调动学生学习的积极性。课后，教师要求学生将本节提到的问题所涉及到的知识点形成知识图谱，记录在答疑本上，以便学生形成自己的知识脉络，早日将本章节内容融会贯通。

（二） 问题教学法和类比教学法符合近世代数课程内容的特点

近世代数主要研究群、环、除环和域这四种互不相同却又相互紧密联系的代数系统。群只有一种代数运算，叫做乘法，当然这里的乘法一般不是普通的乘法。环和域是含有两种运算的代数系统，这两种运算分别叫做加法和乘法，当然这里的加法和乘法一般不是普通的加法和乘法。环、除环和域对于加法运算构成交换加群，环对于乘法运算一般不构成群，除环的非零元对于乘法运算构成乘群，域的非零元对于乘法运算构成交换乘群。这就注定了群、环、除环和域之间有着相似之处，又有着各自的特点，因此在教学时要注意讲解它们之间的哪些知识点是相同的，哪些知识点是不同的。群论与环论的这些异同反映了近世代数课程的规律及其可以用类比的思想方法。在教学中教师要将它们进行类比教学，找出它们的这些异同，帮助学生形成知识脉络，让他们体验近世代数的奥秘和美感，让抽象的知识不再枯燥。

例如，在群论教学中，教师讲解的顺序依次为群的定义、群的同态、子群、子群的陪集、不变子群、商群、同态与不变子群;在环论教学中，教师讲解的顺序依次为环的定义、环的同态、子环、剩余类、理想、剩余类环、同态与理想。环论的性质、结论和研究方法与群论类似，但也有不同之处，这正是此课程的重点，因此教学时要突出对比群论与环论的异同，帮助学生进行类比性学习和记忆。

下面用图1和图2分别展示群论和环论的部分知识脉络，以便在教学中进行类比和对比。

（三） 采用问题教学法的注意事项

1 设计问题的难度要符合学生目前的认知水平

设计的问题太简单，学生不能深入思考，达不到让学生探索的目的，而问题太难，又使学生失去探索的兴趣和信心。因此，教师在设计问题时要尽量把复杂的问题进行简单化和分步化，使得设计出来的问题符合学生目前的数学基础、知识水平和探索能力，要让他们感受的到、看得见和摸得着，要让学生意识到他只要努努力、认真读读课本、再用他目前掌握的知识就应该能解决。只有设计出来的这样的问题，才能激发学生探索的欲望和潜力。

2 增加应用背景的提问

教师在设计问题时，要注意增加应用背景的提问，这就要求教师自己必须清楚该节课的知识点在哪个领域有重大的实际应用。教师了解这些应用后，可以让学生在课前查找这些应用背景，并了解这节课的知识点在这些应用背景中是如何应用的。在课堂教学时，教师让学生上讲台讲解这些知识，以便让他们认识到学习近世代数是有很大用处的，以此提高学生学习的积极性和主动性。

3 增加知识点的目的性提问，进行目的性教学，使学生知道学习该知识点的意图

教师在讲解完某个知识点后，要发出提问：我们为什么要学习这个知识点？近世代数中出现这个知识点的意图是什么？通过这样的提问可以回答学生经常提出的一个问题：学习这个知识点有什么用处？例如，在学习了“群的同态”后，教师可以提问：群的同态这一概念在群上有什么作用？为什么要考虑群的同态？之后教师要给学生讲解：学习“群的同态”的目的是可以随时把一个集合来同一个群进行比较，或者把两个群进行比较，以便了解群的性质并对群进行分类。又如，在学习了“变换群”后，教师可以提问：在群论中为什么要考虑变换群？教师可以回答：任何一个抽象群都能在变换群中找得到一个具体的实例与之对应，这样我们就不必害怕，我们构造的群是凭空想象出来的空中楼阁。再如，在学习完“群的同构”后，教师可以提问：若把同构的群看作是一样的，一共有几个含有4个元的群？教师这样可以回答：一共只存在两个阶是4的群，一个是模4的剩余类加群，一个是克莱因四元群，阶是4的其他群都与这两个群同构。教师可以继续回答：“同构”的精髓就是你只要了解这个群，与这个群同构的其他群也都了解了，它们有着相同的性质。通过目的性教学，学生会逐渐明白，我们为什么要学习近世代数。因此，教师在对知识点进行教学时，要告知学生学习这些知识点的目的，以及它们在群论中发挥着怎样的作用。

4 改革考核方式

采用问题教学法和对比教学法时，由于学生花费了很多精力去查找应用背景并学习和探索新知识，因此在考核阶段教师要增加查找资料和课堂回答问题等环节的考核成绩，降低试卷成绩的比例，以便调动学生学习的积极性和主动性。在考核时，建议采用考勤（占5%）、应用背景查找（占15%）、课堂问答（占15%）、知识脉络构建（占5%）、作业（占15%）、课程论文（占5%）和期末考试（占40%）等方式对学生进行综合考核。

二 问题教学法和类比教学法在近世代数教学中的应用——以环论举例

本节以教材[5]第三章第8节“剩余类环、同态与理想”为例，简要展示作者在课堂教学中开展问题教学法和类比教学法的过程，其中还用到第三章第5节和第7节等环论知识点。在学生初次学习这几节内容时，教师可以从中截取一些片段灵活运用。下面的演示过程也可以作为复习阶段教师串联第三章内容的框架。

教师在设计问题时，可以由中学阶段的知识点进行引入。这样做的好处是，学生感觉这个知识点很亲切，不那么突然，学生还可以进行对比，使问题可以从简到难、从具体到抽象地平稳过渡。例如，教师可以进行如下开场白：在中学阶段，给定一个数集X和一个对应法ϕ，自然地，我们想了解函数Y=ϕ（X）的形态。很自然地，教师可以向学生提出如下问题。

问题1：给定一个环R和一个同态满射ϕ，能否刻画象集合=ϕ（R）？它具有怎样的代数结构？

教师提出问题1后，可以让学生类比教材[5]第二章第4节“群的同态”中定理1的结论“若群G与非空集合同态，则也是群”，对问题1展开讨论并尝试进行回答。之后教师引导、讲解和串联涉及到的概念、定义、定理等基础知识，让学生体验其中涉及到的知识脉络。为了启发学生，进行创造性地探索，教师提出如下问题。

问题2：同态满射ϕ在环R上起什么作用？

在提出问题2后，教师引导和启发学生类比并利用教材[5]第二章第4节“群的同态”中定理1的证明方法和技巧，对问题2进行回答，并证明象集合=ϕ（R）也是一个环，R的零元的象是的零元，R的元a的负元的象是a的象的负元（即教材[5]第三章第5节定理1和定理2）。之后，教师作总结：在同态满射之下，环R的象是环。

在解决了问题2之后，教师还可以增加一些问题让学生思考。例如，若ϕ是同态映射，但不是满射，那么还是环吗？若ϕ是同构映射，R是整环（或，除环、域），那么是整环（或，除环、域）吗？

在解决了问题1和问题2后，教师可以让学生类比子群的定义和充要条件给出子环的定义和充要条件。通过这样的互动教学，教材[5]第三章第5节“子环、环的同态”的知识点就学习完了。之后，教师引导学生回顾子群和不变子群的定义以及充要条件，回顾同态满射的核的定义。然后，提出如下问题，让学生思考、讨论、举例和证明。

问题3：同态满射ϕ的核对于环R的加法和乘法运算是否构成子环？

教师引导并启发学生，让他们尝试回答问题3。首先，让学生类比教材[5]第二章第11节“同态与不变子群”定理2中的证明方法尝试给出证明：是R的子环。随后，教师让学生给出进一步的证明：对于加法运算，是R的不变子群。然后，教师让学生尝试给出更深入的证明：是R的理想。若学生是初学第三章第7节“理想”的话，教师可以先让学生按“理想”的定义证明“是R的子环”，并让学生体会和感受到这种特殊的子环和一般的子环有所不同;随后，教师指出这个特殊的子环叫作“理想”，然后教师让学生将“理想”与“不变子群”进行对比，分析它们之间的异同;最后，师生互动系统地学习教材[5]第三章第7节“理想”。在学生理解是R的理想后，为了引出的陪集，教师可设置如下问题，让学生思考和探索。

问题4：已知环R及其理想，仅就加法而言，R是群，是R的不变子群，那么的陪集[a]的元具有怎样的形式？

教师可以让学生类比教材[5]第二章第9节“子群的陪集”的内容，参考群论中陪集的构造方法后，尝试回答问题4。之后教师进行类比教学，明确的陪集[a]的具体形式：。之后教师由陪集引出环的分类，提出如下问题。

问题5：的所有陪集[a]，[b]，[c]，…是不是R的一个分类？若是，它依据怎样的等价关系？

教师可以让学生类比教材[5]第二章第9节中群的陪集和等价类的关系，让其尝试回答问题5并给出陪集[a]中两个元a和b之间的等价关系： 。在学生理解的所有陪集[a]，[b]，[c]，…作成R的一个分类后，教师指出这些类叫做模的剩余类。很自然地，教师可以提出下面的问题并让学生思考。

问题6：设S是由所有剩余类[a]，[b]，[c]，…作成的集合，即 ，那么能否构造两种代数运算下使S构成环？

教师启发学生类比商群的构造方法（见教材[5]第二章第10节定理3），尝试给出S的元间的两种代数运算[a]+[b]=[a+b]和[a][b]=[ab]，并引导学生证明：S在这两种代数运算下作成环。学生证明S是环后，教师指出环S在环论中被叫作环R的模的剩余类环（或商环），并用符号R/表示。随后，教师可以提出如下问题，让学生思考环R/与环R之间的关系。

问题7：环R与它的每一个商环R/同态吗？

类比于教材[5]第二章第11节定理1：群G和它的每一个商群G/N同态，教师让学生回答问题7并证明：一个环R与它的每一个商环R/同态。通过问题6和问题7，师生互动共同证明了教师[5]第三章第8节的定理1。随后，教师指出：由环R的一个理想可以推测环R的性质;利用理想可以得到商环R/，这样自然更容易推测R和的性质。

问题8：环R的象=ϕ（R）与商环R/同构吗？

教师可以让学生将问题8与教材[5]第二章第11节的定理2（即，群G的象集合与商群G/N同构）进行类比，尝试构造R/与之间的同构映射，并证明与R/同构，从而回答问题8。这时，师生通过互动一块学习、证明并掌握了教材[5]第三章第8节的定理2。

通过问题1—问题8，教师可以通过问题教学法和类比教学法，将第三章环论的大部分知识点串联了起来，并与第二章群论的大部分知识点进行了对比，让学生对每个知识点所起的重要作用和它们在群论和环论中的地位清晰地勾画出来。这时，学生也就形成了自己的知识脉络，即图1和图2。

三 结束语

从三年的教学实践来看，采用问题教学法和类比教学法后，大部分学生在课前能自主地预习课本内容、查找资料、思考提出的问题，在课堂上能较好地进行互动，在课后能记录、整理和理清章节内容的知识脉络，对近世代数学习的积极性和主动性以及独立思考问题的能力都有了显著地提高。因此，只要师生坚持教学改革的实践和探索，必能提升学生的知识水平和创新能力，提高近世代数课程的教学质量。

参考文献：

[1] JIA Z G， NG M K， SONG G J. Robust quaternion matrix completion with applications to image inpainting [J]. Numerical Linear Algebra with Applications， 2019，26（4）：e2245.

[2] JIA Z G. The Eigenvalue Problem of Quaternion Matrix： Structure-Preserving Algorithms and Applications [M].Beijing： Science Press， 2019.

[3] HERMANN W.群论与量子力学[M].涂泓，译.北京：高等教育出版社，2022.

[4] 胡胜龙.一致超图的张量谱理论初步[M].西安：西安电子科技大学出版社，2023.

[5] 张禾瑞.近世代数基础（修订本）[M].北京：高等教育出版社，1978.

[6] 桑彩丽.近世代数教学改革的实践与探索[J].牡丹江教育学院学报，2020（1）：67-69.

[7] 赵婷.问题驱动教学模式在抽象代数教学中的应用[J].高师理科学刊，2016，36（8）：71-74.

[8] 赵志兵.关于“近世代数”教改的探讨[J].合肥学院学报，2016，33（4）：123-126，130.

[9] 李霞.问题教学法在《马克思主义基本原理》教学中的运用[J].江汉石油职工大学学报，2023，36（4）：62-64.

[10] 尹正.联想类比在近世代数定理证明中的运用[J].教育教学论坛，2020（38）：262-263.

[11] 文毅玲.联想类比在近世代数教学中的运用[J].教育观察，2013，2（10）：57-59.

基金项目：贵州民族大学科研基金资助项目“民族高校近世代数课程教学改革的实践与探索”（无编号）;教育部办公厅2020年度国家级一流本科专业建设点项目“贵州民族大学数学与应用数学专业”（教高厅函〔2021〕7号）;贵州省教育厅贵州省高等学校教学内容和课程体系改革项目“基于基础学科深化建设背景下的《数学分析》教学改革研究”（无编号）;贵州省科技计划项目（课题）“磁共振成像中弥散张量特征值问题研究”（黔科合基础-ZK〔2021〕一般013）

第一作者简介：桑彩丽（1988-），女，汉族，河南新乡人，博士，副教授，硕士研究生导师。研究方向为数值代数与教学法。

*通信作者：赵建兴（1981-），男，汉族，山东济宁人，博士，教授，硕士研究生导师。研究方向为数值代数与教学法。