旋转三确定 缺一不唯一

根据图形旋转的概念可知，一个图形旋转后的结果是由旋转中心、旋转方向和旋转角决定的，三者缺一不可. 因此，在解决图形旋转问题时，同学们一定要明确如下三点： （1）旋转中心（是定点，还是动点）；（2）旋转方向（是逆时针，还是顺时针）；（3）旋转角（是具体数值，还是一个范围）. 如果三者中有一个不确定，那么旋转的结果就可能不唯一，这时同学们要注意分类思考，谨防漏解.

一、旋转中心不确定

例1 如图1，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形ABC中，CA = CB，∠C = 90°，过点B作射线BD⊥AB，垂足为B. 若点P在射线CB上移动，将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，画出图形，探究线段BA，BP，BE之间的数量关系，并说明理由.

解析：旋转中心P在射线CB上移动，位置不确定，因此分为两种情况，即P在线段BC上和P在线段CB的延长线上.

（1）当P在线段BC上时，过P作PM[⫽]AB，交AC于M，如图2，

∴∠MPC = ∠ABC = 45°，∴∠PMC = ∠MPC = 45°.

∴CP = CM.

∵CA = CB，∴AM = BP.

∵∠APE = 90°，∴∠EPB = ∠PAC = 90° - ∠APC.

∵∠AMP = ∠PBE = 135°，∴△APM≌△PEB，

∴PA = PE，PM = BE.

∵AB = [2]（AM + CM），PM = [2CM]，

∴AB = [2]BP + BE.

（2）当P在线段CB的延长线上时，

过P作PN⊥BC，交BE于N，如图3.

∵∠ABD = 90°，∠ABC = 45°，∴∠PBN = 45°，

∴△BPN是等腰直角三角形，∠ABP = 90° + 45° = 135°，

∴BP = NP，∴BN = [2]BP，∠PNB = 45°，

∴∠PNE = ∠ABP = 135°.

∵∠APE = ∠NPB = 90°，∴∠EPN = ∠APB，

∴△EPN ≌ △APB（ASA），∴EN = BA.

∵BE = EN + BN，∴BE = BA + [2]BP.

综上所述，线段BA，BP，BE之间的数量关系有两种情况：当P在线段BC上时，AB = [2]BP + BE；当P在线段CB的延长线上时，BE = BA + [2]BP.

二、旋转方向不确定

例2 如图4，△AOB中，OA = 4，OB = 6，AB = 2[7]，将△AOB绕原点O旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（ ）.

A. （4，2）或（-4，2）

B. （2[3]，-4）或（-2[3]，4）

C. （-2[3]，2）或（2[3]，-2）

D. （2，-2[3]）或（-2，2[3]）

解析：旋转中心和旋转角度已知，旋转方向未知，此时要分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况求解.

过点A作AH⊥OB于H，设OH = m，则BH = 6 - m.

∵AH2 = OA2 - OH2 = AB2 - BH2，∴42 - m2 = （2[7]）2 - （6 - m）2，

∴m = 2，∴AH = [42-22] = 2[3]，∴A（2，2[3]）.

若将△AOB绕原点O顺时针旋转90°，则旋转后点A的对应点A′（2[3]，-2）；若将△AOB绕原点O逆时针旋转90°，则旋转后点A的对应点A′（-2[3]，2）. 故选C.

三、旋转角度不确定

例3 在△ABC中，∠BAC = 90°，AB = AC，线段AB绕点A逆时针旋转至AD（AD不与AC重合），旋转角记为α，∠DAC的平分线AE与射线BD相交于点E，连接EC.

（1）如图5，当α = 20°时，∠AEB的度数是 .

（2）如图6，当0° lt; α lt; 90°时，求证：BD + 2CE = [2]AE.

（3）当0° lt; α lt; 180°，AE = 2CE时，请直接写出[BDED]的值.

解析：（1）∵线段AB绕点A逆时针旋转α至AD，α = 20°，

∴∠BAD = 20°，AB = AD，∴∠ADB = ∠ABD = 80°.

∵∠BAC = 90°，∴∠DAC = 70°.

∵AE平分∠DAC，∴∠DAE = 35°，

∴∠AEB = ∠ADB - ∠DAE = 80° - 35° = 45°. "故填45°.

（2）∵∠BAC = 90°，AB = AC，

∴将△ACE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，如图7.

∵AB = AC，AD = AB，∴AD = AC.

∵∠DAE = ∠CAE， AE = AE，∴△ADE ≌ △ACE（SAS），

∴∠DEA = ∠CEA，∠ADE = ∠ACE，DE = CE.

∵AB = AD，∴∠ABD = ∠ADB.

∵∠ADE + ∠ADB = 180°，∴∠ACE + ∠ABD = 180°.

∵∠ABF = ∠ACE，∴∠ABF + ∠ABD = 180°，

即点F，B，E在一条直线上.

∵∠EAF = ∠BAF + ∠BAE = ∠CAE + ∠BAE = ∠BAC = 90°，AE = AF，∴EF = [2]AE.

∵EF = BF + BD + DE = BD + 2CE，∴BD + 2CE = [2]AE.

（3）由于旋转角度不确定，导致满足“线段AB绕点A逆时针旋转至AD”时点D的位置有图6和图8两种情况，需要分类求解.

①当0° lt; α lt; 90°时，如图7，

由（2）可知BD + 2CE = [2]AE，CE = ED.

∵AE = 2CE，∴BD + 2ED = 2[2]ED，∴[BDED] = 2[2] - 2.

②当90° lt; α lt; 180°时，如图8，

同（2）可证△ADE ≌ △ACE（SAS），∴DE = CE，∠D = ∠ACE.

∵AB = AC = AD，∴∠ABD = ∠D = ∠ACE.

将△ACE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，易知点F在BD上，

∴△AEF是等腰直角三角形，∴EF = [2]AE，

∴BD = BF + DE + EF = 2ED + [2]AE.

∵AE = 2CE = 2ED，∴BD = 2ED + 2[2]ED，∴[BDED] = 2[2] + 2.

综上所述，[BDED]的值为2[2] - 2或2[2] + 2.

分层作业

难度系数：★★★ 解题时间：10分钟

1. 如图9中正方形CDEF绕某点P旋转后与正方形ABCD重合，这样的点P有多少个？（答案见第33页）

2. 如图10，在△ABC中，AB = AC，∠BAC = 30°，射线CP绕点C旋转，交射线AB于点D. 设∠ACD = α（0° lt; α lt; 75°）. 将△ACD沿CD折叠得△A'CD，射线CA'与射线AB交于点E. 若△A'DE是等腰三角形，求α. （答案见第33页）

（作者单位：江苏省兴化市兴东初级中学）