因式分解题型“秀”

一、结论探究型

例1 若k为任意整数，则（[2k+3]）2 - [4k2]的值总能（ ）.

A. 被2整除 B. 被3整除 C. 被5整除 D. 被7整除

解析：用平方差公式因式分解，得到乘积的形式，即可找到能被整除的数或式.

（[2k+3]）2 - [4k2] = （[2k+3+2k]）（[2k+3-2k]） [=3]（[4k+3]），

∵3（[4k+3]）能被3整除，∴（[2k+3]）2 - [4k2]的值总能被3整除.

故选B.

二、阅读理解型

例2 我们知道，两个奇数相加、相减的结果是偶数，两个偶数相加、相减的结果是偶数，一个奇数与一个偶数相加、相减的结果是奇数. 现有由[n]（[n≥2]）个正整数排成的一组数，记为[x1，x2，x3]…xn，任意改变它们的顺序后记作[y1，y2，y3]…yn，若P = （[x1-y1]）（[x2-y2]）（[x3-y3]）…（[xn-yn]），分析下列说法：①P可以为0；②当n是奇数时，P是偶数；③当n是偶数时，P是奇数. 其中正确的个数是（ ）.

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

解析：根据题意，当[xn=yn]时，[P=0]，则①正确. 当[n]是奇数时，两个奇数相加、相减的结果是偶数，两个偶数相加、相减的结果也是偶数，那么[P]中一定有一个偶数因数（[xn-yn]），所以[P]是偶数，则②正确. 当n是偶数时，由②可知，[P]中一定有一个偶数因数（[xn-yn]），所以[P]是偶数，则③错误. 故选C.

三、数形结合型

例3 我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理验证. 观察图1，[a2-1] = a（a - 1） +（[a-1]）=（[a-1]）（[a+1]）. 接下来，观察图2，通过类比思考，因式分解[a3-1=] ________= ________.

解析：观察图2可得两种计算方法：①三个长方体相加；②大正方体减去小正方体，按要求列出式子，即可解答.

将图2看作三个长方体相加时，可得：

a × a × （a - 1） + 1 × a × （a - 1） + 1 × 1 × （a - 1） = a2（a - 1） + a（a - 1） + （a - 1）

= （[a-1]）（[a2+a+1]）.

故应填[a2]（[a-1]） + [a]（[a-1]） + （[a-1]），（[a-1]）（[a2+a+1]）.

四、综合实践型

例4 八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将[2a-3ab-4+6b]因式分解.

【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：

解法一：原式 = （[2a-3ab]） - （[4-6b]） = a（[2-3b]） - 2（[2-3b]） = （[2-3b]）（[a-2]）.

解法二：原式 = （[2a-4]） - （[3ab-6b]） = 2（[a-2]） - 3b（[a-2]） = （[a-2]）（[2-3b]）.

【感悟】当遇到项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提取公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法. 分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用. （温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）

【类比】（1）请用分组分解法将[x2-a2+x+a]因式分解.

【挑战】（2）请用分组分解法将[ax+a2-2ab-bx+b2]因式分解.

【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理. 如图3，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形. 若直角三角形的两条直角边长分别是a和[b]（[agt;b]），斜边长是3，小正方形的面积是1. 根据以上信息，先将[a4-2a3b+2a2b2-2ab3+b4]因式分解，再求值.

解析：（1）直接将前两项和后两项分别组合，利用平方差公式分解后再提取公因式即可.

[x2-a2+x+a] = （[x2-a2]） + （[x+a]）

= （[x+a]）（[x-a]） + （[x+a]） = （[x+a]）（[x-a+1]）.

（2）先分组，利用完全平方公式和提取公因式法分解后，再提取公因式即可.

[ax+a2-2ab-bx+b2] = （[a2-2ab+b2]） + （[ax-bx]）

= （[a-b]）2 + x（[a-b]） = （[a-b]）（[a-b+x]）.

（3）分组后提取公因式，并利用完全平方公式分解因式，再由勾股定理及面积公式得到[a2+b2=9]，（[a-b]）2 = 1，运用整体思维易得答案.

[a4-2a3b+2a2b2-2ab3+b4] = （[a4+2a2b2+b4]） - （[2a3b+2ab3]）

= （[a2+b2]）2 - 2ab（[a2+b2]） = （[a2+b2]）（[a2-2ab+b2]）

= （[a2+b2]）（a - b）2 ，

根据题意得[a2+b2=9]，（a - b）2 = 1，∴原式[=9].

（作者单位：山东省枣庄市台儿庄区明远学校插花校区）