探讨一类函数的性质及其应用

摘 要：首先讨论了初等函数在处的连续性和可微性，给出了定理1和定理2及其证明。其次讨论了函数在无穷远处的性质，给出定理3函数在上一致连续的充要条件，并在此基础上给出一个推论和两个性质。最后利用这些性质，探讨函数在不同领域的一些应用，给出相应三个定理并加以证明。其中包括函数一致连续性充分条件的讨论、函数在一点处四个Dini导数的任意性，以及函数在拓扑学中的一个应用。

关键词：三角函数 幂函数 初等函数 一致连续

中图分类号：O172 文献标识码：A

中图分类号：G64

On the Properties of a Class of Functions and Their Applications

FAN Wenqing

MinJiang Teachers College， Fuzhou， Fujian Province， 350108 China

Abstract：The paper begins with a discussion of the continuity and differentiability of elementary functions at ，giving Theorems 1 and 2 and their proofs. Next， the properties of functions at infinity are discussed， and Theorem 3 is given as a necessary and sufficient condition for their uniform continuity on ， based on which a corollary and two properties are given. Finally， these properties are used to explore some applications of the functions in different fields， giving the corresponding three theorems and their proofs. These include a discussion of sufficient conditions for uniform continuity， the arbitrariness of the four Dini numbers of a function at a point， and an application of function to topology.

Key Words： Trigonometric functions; Power functions; Elementary functions; Uniform continuity

初等函数是各类学科中最常用的函数族、幂函数和三角函数都是初等函数。常常使用幂函数复合三角函数，即在自变量上先作用三角函数再作用幂函数[]。而三角函数复合幂函数也有许多有趣的性质，本文研究形如的初等函数，并探讨它们在处以及在无穷远处的性质，最后给出这类函数的一些应用。

记，则在上有。

1 函数在处的性质

定理1 函数在上有定义且连续。补充定义

则在处有定义当且仅当或。

证明：幂函数和在上有定义，故在上连续。

（1）时，

极限存在当且仅当。

（2）时，，极限存在当且仅当。

（3）时， ①若，则；

②若，则取，得到，

取，得到，此时在处无定义。

综上所述，在处有定义当且仅当或。证毕。

定理2 时，函数在与上有定义。此时若 在处也有定义，则（函数在上连续）。

其中时；时，。

证明：时，幂函数和在与上有定义。

容易发现在处有定义时，，

故在处连续，。

（1）若，则可以展开成具有收敛半径的幂级数

故在上光滑；

（2）若，则，在上光滑。

（3）时，下面对非负整数使用数学归纳法证明：

①当时，具有阶导函数，，其中和为实系数多项

式，它们的最低次项次数的较小者为。

②当时，结论成立。

假设结论对成立，对于，

记， 。

注意到若的最低次项次数较小，则由于，的最低次项在中，次数为，的最低次项次数不小于。的最低次项次数较小时，同理可以证明的最低次项次数为，的最低次项次数不小于。

由可知，和为实系数多项式，且。

又有连续可知在处可导，。

故结论对于成立。

用数学归纳法，结论对均成立。

故。

而时，和之中出现了次数为的项，而。

类似于定理1，有，故。证毕。

2 函数在无穷远处的性质

定理3 函数在上一致连续当且仅当或。

证明：分类讨论

（1）时，，故在上一致连续。

（2），，时，

故在上有界，一致连续。

（3），，时，此时，

故在上有界，一致连续。

（4），，时，类似（2） ，此时 ，不一致连续。

（5），，时，取数使得、、，

取，则，

对充分大的，有。

此时对于，有。

由微分中值定理。

故此时不一致连续。

推论 时，函数在上一致连续，当且仅当。

证明：由定理1，定理3可知：

从这个推论可以看出即使，函数在上的“波动”依然很大，除去一些平凡的情况，会在0处或无穷处产生“震荡”。

性质1 无穷积分收敛当且仅当。

证明：时，。

由狄利克雷判别法[] 使无穷积分收敛，

而时，无穷积分不收敛。

（1）时，，积分收敛当且仅当。

（2）时， ，

积分收敛当且仅当。证毕。

在，或，时，在的无穷积分有非平凡的计算公式。性质2 。

证明：以复平面中原点为圆心，为半径的圆上取两点、，考虑以这两点为端点的扇形围道[]。

由Cauchy积分定理可知：，其中为两点、之间的圆弧。注意到：

，（Gauss积分）

得到，取虚部得到。

3 探讨函数的一些应用

首先给出函数的一个简单但十分重要的应用[]：

定理4 存在上的有界连续函数，它不一致连续。

证明：取，，。

此时由定理2可知，

由定理3可知不一致连续，证毕。

我们定义函数的四个Dini导数如下：

由定义可以看出：在处的左导数存在当且仅当与相等且为有限数，在处的上导数存在当且仅当与相等且为有限数，在处可导时，四个Dini导数均等于。

在一般情况下，这四个数不会相等。事实上，即使在附近连续，这四个数可以取到任意的值，有以下结论：

定理5 对任意的实数，，存在使其在0处的四个Dini导数分别为，，，。

证明：取 ，由定理1可知。

连通性是拓扑学中的重要概念，虽然在大多数情况下连通是一个直观的概念，但是对于一些复杂的图形连通性却很复杂。称一个拓扑空间是连通的，是指不能表示成两个不交开集的并；称一个拓扑空间是道路连通的，是指中任意两点，存在一条从到的道路，即存在连续映射使得[]。若拓扑空间道路连通则拓扑空间连通 []。本文的最后，给出函数在拓扑学中的一个应用。

定理6 存在连通但不道路连通的集合。

证明：考虑欧氏平面的子集。

为上连续函数的像集，由连通可知连通，从而的闭包也连通。

注意到，下面我们证明不道路连通。

假设存在一条从到的道路，

考虑有界闭集的最大数，当然且对于有。此时由连续性可知存在一列递减的数满足的横坐标为，故。数列发散，但是收敛，矛盾。

综上所述连通但不道路连通。

4 结语

总之，本文研究了初等函数在和无穷远处的性质。在这基础上，探讨了该函数在不同领域方面的应用，表明由幂函数与三角函数复合而成的初等函数有许多可研究的性质，通过研究该类函数的性质，还可探讨其在不同领域上的更多应用，说明研究这类函数是很有价值意义的。