海伦公式：从三角形到四边形

人教版数学教材八（下）“阅读与思考”《海伦-秦九韶公式》：如果一个三角形的三边长分别为a、 b、c，记p=

[12]（a+b+c），那么三角形的面积为

S=[p（p-a）（p-b）（p-c）]。" "①

这是古希腊几何学家海伦给出的三角形面积公式，在数学史上称为“海伦公式”。我国南宋时期数学家秦九韶也曾给出一个三角形的面积公式为

S=[14a2b2-a2+b2-c222]。②

两个公式形式不同，但有共同点，都是用三边表示面积。教材对公式②进行多次因式分解，最终推出公式①。所以，我们也把公式①称为“海伦-秦九韶公式”。

读完这篇材料，我有一个想法，三角形面积的海伦公式确实非常整齐，那么四边形也有类似的面积公式吗？

根据公式①的形式，我猜想：S=[p（p-a）（p-b）（p-c）（p-d）]（猜想1），其中p=[12]（a+b+c+d）。很快我就发现了问题，假设三角形的边长单位是米，面积单位应该是平方米，而通过猜想1计算的单位不是平方米。因此，猜想1不对。于是我便有了猜想2：

S=[（p-a）（p-b）（p-c）（p-d）]。 ③

这次应该是对的，当四边形的一边长d逐渐变小，最终变成0时，四边形就变成了三角形，公式③和公式①保持一致。比如，边长为3和4的矩形面积为12，用公式③计算：p=7，S=[（7-3）（7-3）（7-4）（7-4）]=4×3=12，猜对了。

矩形太特殊，如果是任意的四边形呢？我从等边三角形ABC出发，先构造一个凹四边形ABCD，其中点D是△ABC的中心，如图1。

设AB=2，延长CD交AB于点E，则DE⊥AB，容易计算CE=[3]，BD=2DE=[233]，3S△ABD=S△ABC=[3]，S凹ABCD=[23]S△ABC=[233]；用公式③计算：p=AB+AD=2+[233]，S凹ABCD=[433]。很诧异，两种方法计算的结果不一样，问题出在哪里呢？

对比发现，两次计算结果相差[233]，所以，如果把△ACD沿着AC翻折成△ACF，得到凸四边形ABCF，如图2，这个时候S凸ABCF=[433]。是不是公式③不适用于凹四边形，只适用于凸四边形呢？

我们把△ABC沿着AC翻折成△ACG，得到凸四边形ABCG，如图2，这个凸四边形是菱形，菱形的面积S=2S△ABC=2[3]。用公式③计算：p=4，S=4。

两次结果还是不一样，是不是公式③只适用于部分凸四边形呢？到底这一部分凸四边形有什么特殊性质呢？是不是也有一部分凹四边形也适用于公式③呢？我百思不得其解，只好请教数学老师了。老师说，公式③适用于圆内接四边形，圆的内容可以先自学。

“圆内接四边形面积公式”，正是我猜想的公式③，也叫海伦公式，但证明的方法用到了三角函数和余弦定理。我想，能不能用三角形面积的海伦公式推导圆内接四边形面积公式呢？

于是，我很自然地想到连接BD，把四边形分成两个三角形，如图3，这样就可以用海伦公式把四边形的面积转化为两个三角形面积的和。但很快就遇到一个问题，如何求BD呢？

换个思路。假设BA和CD不平行，延长BA、CD交于点E，这样四边形ABCD的面积就转化为两个三角形面积的差。试了试，计算异常复杂，困难重重，此路好像行不通。

我探究这一通，只是起源于一个想法，结果一路坎坷，最终也没能证明猜想的结论。虽然我认为我的思路可行，但是行不通，是我知识和能力有限呢，还是确实行不通？不过，这些都不影响我继续探究下去的决心。

教师点评

在学生心目中，老师解题一做就对。但事实上，解题就是不断试错的过程，这个探寻和尝试的过程非常重要。就像本文小作者的探究过程一样，看似一无所获，但已收获满满。

（指导教师：史占增）