求二次根式中字母取值范围的两种方法

二次根式中的许多题目可归结为求字母的取值范围的问题，这样的问题如何解决呢？我结合平时的练习归纳为以下两种方法。

一、利用“双重非负性”求值

二次根式[a]（a≥0）具有“双重非负性”特点，即a是非负数，[a]是非负数。根据这一特点，我们便可以解决下面这道题：

求[x-4+4-x+8x+4]的值。 根据二次根式的“双重非负性”特点，[x]-4≥0，4-[x]≥0，可得[x]=4，x为±4。又因为x+4是分母，不能为0，所以x+4≠0，x≠-4，可以得出x=4。把x=4代入原式，求出式子的结果为[4-4+4-4+84+4]=[88]=1。

二、利用二次根式的性质求取值范围

二次根式有如下性质：[a2]=a（a≥0），[a2]=[a]，[a]·[b]=[ab]（a≥0，b≥0），[ab]=[ab]。运用这些性质可以解决下面这道题：

若等式[a3+2a2]=-a[a+2]成立，则字母a的取值范围为" " " " " "。

乍一看，这一题有些复杂，等式左边的被开方数竟然是a3+2a2。这时候，我们可以先将其化简，在被开方数中提取公因式a2，得[a3+a2]=[a2a+2]，再运用[a2]=[a]，[a]·[a+2]=-a[a+2]得到[a]=-a。进一步得出a≤0，再结合a+2≥0，可以得出-2≤a≤0。

在含有字母的二次根式中，我们常常通过二次根式的“双重非负性”特点和二次根式的性质求出字母的取值范围，从而进一步解决题目。

教师点评

我们在解决本章问题时，要建立隐含条件的观念。隐含条件是数学学习中的一种特有条件，它伴随着某种数学对象的出现而出现。二次根式的隐含条件是被开方数是非负的，二次根式也是非负的，即为小作者文中所述的“双重非负性”，本质上这种隐含条件是不等关系。因而，当看到二次根式这种对象的时候，就要想到不等关系。这种隐含关系常常会与分式的隐含关系、绝对值的隐含关系同时出现，敏锐发现并巧妙加以运用，就可以得出更进一步的结论。

（指导教师：刘玉兵）