解决反比例函数问题的两条路径

我们知道，函数有两条腿，一条是几何，一条是代数。所以，我常常思考：解决反比例函数中各种问题的诀窍和方法是什么呢？结合下面这道例题，我将从这两条路径解答。

例 如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A、B都在反比例函数y=[kx]（xgt;0）的图像上。延长AB交y轴于点C，过点A作AD垂直于y轴于点D，连接BD并延长，交x轴于点E，连接CE。若AB=2BC，S△BCE=4.5。则k的值为" " " " " " 。

代数方法：

解：设B（a，[ka]）。根据题意，得A（3a， [k3a]），则D（0，[k3a]），还可以得知CD=[ka]。

设直线BD的函数表达式为y=nx+b。

于是我们可以联立方程组：

[ka=an+b，k3a=b。]

解得[n=2k3a2，b=k3a。]

所以y=[2k3a2]x+[k3a]。

所以当y=0时，x=- [a2]。

所以点E的坐标是（-[ a2]，0）。

△BCE的面积就可以用代数式表示，即[12]×[ka]（a+[a2]）=4.5，解得k=6。

几何方法：

解：连接AE。

因为AB=2BC，所以S△ABE=2S△BCE=9。

因为△ADE和△ADO同底等高，所以S△ADE=S△ADO。所以S△ABE=S△ABD+S△AED=S△ABD+S△ADO=9。再根据这两个三角形的底为AD，高为点B的纵坐标，列出代数式，就可以很容易得到k的值为6这一结果了。

在反比例函数解题过程中，我发现我们可以使用代数和几何两种方法有效解决问题，并且这两种思路似乎也可以推广到其他函数中。这就是探究的价值所在：似乎一切都互相关联，有章可循。

教师点评

蔡同学的经验分享告诉我们，在学习一个新知识时，要有质疑精神，对于教材上没有的内容，我们在课后要想办法探究，这样既能加深对知识点的理解，也能发散思维，让自己的数学学习更加得心应手。

（指导教师：张大伟）