以一次函数为例，类比学习反比例函数

第十一章 反比例函数

领" 衔" 人：黄秀旺（正高级教师、江苏省特级教师）

组稿团队：江苏省南京市初中数学黄秀旺名师工作室

我们在八年级上学期学习了“一次函数”，了解到研究函数的一般思路以及基本方法。本学期我们学习了反比例函数，以后还会学习二次函数，如果我们能把握函数视角的“前后联系”，体会学习函数的共性，并以“一以贯之”的方式去探索和研究函数，将会事半功倍。

一、“反比例函数”的学习内容

回顾一次函数的学习内容，我们归纳出学习新函数大致包括以下内容：（1）函数的概念；（2）函数的图像与性质；（3）函数与方程、不等式之间的内在联系；（4）用函数解决实际问题。“反比例函数”的学习也是从以上几个方面展开的。了解了反比例函数的学习内容就相当于我们知道了“要到哪里去”，并且会对函数有一个整体性的认识。

二、“反比例函数”的学习路径与方法

我们除了知道了“要到哪里去”，还需要知道“怎么去”。所以，在这方面我们依然要联系一次函数。一次函数的概念是通过具体的实例经历归纳、抽象、概括等过程得到的，同样，反比例函数的概念也是经历以上过程得到的。

对于一次函数，我们先通过“点燃一支香，感受它的长度随着燃烧时间的变化而变化”的情境，直观感受一次函数的图像是一条直线，然后通过“列表、描点、连线”得到一次函数的图像（是一条直线）；同样，对于反比例函数，我们也是先通过反比例函数的表达式去描述函数的一些性质，然后通过“列表、描点、连线”得到反比例函数的图像，最后画出更多不同反比例函数的图像来归纳出它们的共性。

接下来，类似于一次函数，我们可以利用反比例函数的相关知识分析和解决一些简单的实际问题，体会到反比例函数也是刻画现实世界中数量关系的一种模型。

在学习一次函数时，我们体会到一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的内在联系，比如，教材中的一个问题：试根据一次函数y=2x+4的图像说出2x+4=0、2x+4＞0、2x+4＜0的解。我们就可以利用一次函数y=2x+4的图像，得到一元一次方程2x+4=0的解是x=-2，不等式2x+4＞0的解是x＞-2，不等式2x+4＜0的解是x＜-2。

那么，对于反比例函数，我们又该如何理解呢？我们以y=[6x]为例，如图1，点（3，2）在图像上，也就是说当x=3时，y=2，那么也可以理解为方程[6x]=2的解是x=3。同样，不等式[6x]＞2表示的是图像中点（3，2）的上方，对应的x的取值范围为x＜3，考虑反比例函数图像的特点，刚刚所提到的“点（3，2）的上方”，实际上是一条分支的上方，因此不等式[6x]＞2的解是0＜x＜3。显然，不等式[6x]＜2的解是x＞3或x＜0。因此，我们也可以类比一次函数与一次方程、一次不等式之间的联系，来体会反比例函数与相应的方程、不等式之间的联系，正所谓“一以贯之”。

总之，我们应善于运用类比的思想，展开对新知的学习与研究。以一次函数为例，类比学习反比例函数，形成对反比例函数的整体性认识，这样我们不仅能习得反比例函数的知识与探究方法，更能提高探究函数的能力，为后续研究其他未知的函数奠定基础。