类比思想在实变函数课程讲解中的应用

摘要：实变函数是数学专业的一门重要基础课，在学生的学习体系中发挥着承上启下的作用。本文针对实变函数高度的抽象性、理解难度大等特点，探讨实变函数勒贝格积分教学中如何使用类比思想，主要从学习集合内容所体现的类比思想和勒贝格积分教学实例如何进行对比的流程两方面进行了讨论。采用多种课堂类比的形式，通过结构对比的方式加深学生对知识点的理解和接受度，培养学生分析、解决质疑的能力，从而达到培养创新人才的目的。

关键词：实变函数；类比思想；勒贝格积分；黎曼积分

1概述

实变函数这门课程是大学数学专业的必修课，是数学分析复变函数等课程的延续和拓展，也是泛函分析、概率论、调和分析、测度论和拓扑学等后继专业课程的基础。通过本课程的学习，学生不仅能够掌握Lebesgue积分理论，而且能够从更高的视角认识积分与微分。同时也为培养学生抽象的思维能力、分析问题和解决问题的能力，进一步钻研现代数学理论知识能力打下基础。但是学好这门课程并不容易，因为该课程涉及的概念多、理论性强、抽象性高，要求学生具备一定的抽象思维能力，而对于大部分学生而言，他们更倾向于形象思维。如果教师的教学方法比较单一，可能会使得部分学生失去学习该课程的兴趣，导致这部分学生的学习效果大打折扣。为了能够让学生学好这门课程，提高他们的学习效率，为后续的学习和工作打下坚实的基础，必须提升他们的学习兴趣，使学生喜欢上这门课程。在这个过程中，教师的教学方式起着重要的作用。

实变函数又是数学分析课程的继续、深化与推广，特别是可以解决Riemann积分的存在性、多重积分中积分次序的交换以及微积分基本定理成立的条件等数学分析中悬而未决的问题。基于实变函数在数学学习中的重要性及高度抽象性，以及课程理论知识晦涩、内容体系与数学分析高度相关度性，可以在课堂教学中采用多种对比的形式，通过联想对比的方式加深学生对知识点的理解和掌握。类比是借助相似事物的特征来联想刻画新事物的特征，类比的方法是以合情合理的思维方式诱发灵感、进行发明创造的主要源泉之一。在人类的发展进步中，无论是在理论知识方面还是在实际应用中都有类比的影子，类比的作用无处不在。同样，在一切数学探索发现中也离不开类比作用，它是发现数学真理的主要工具之一。类比思想的实质就是根据两个对象之间的相似，把信息从一个对象（类比物）转移给另一个对象（目标物）上去。在数学知识系统的各个分支之间也存在着许多彼此相似的现象，同时这些分支的完善发展几乎都用到了类比的思想。

2基于类比思想在集合内容教学中的探究

由于实变函数的积分是定义在集合上，因此先讨论集合，再讨论集合的“长度”，即测度。集合可分为有限集和无限集，空集和只含有限个多个元素的集合称为有限集，其余的称为无限集。空集所含元素个数为零，而非空有限集的典型特性应该是具有一个标志其元素个数的正整数，而确定这个正整数的方法是和正整数列某一截断{1，2，…，n}一一对应。根据有限集的性质来类比无限集的性质。有限集可以和正整数集合建立一对一的关系，那么无限集应该如何找对应关系呢？由于无限集又分为可数和不可数，因此这里找到了一种通用的定义就是双射，任意两个非空集合存在双射，则称其对等。对等这个概念对有限集、可数集、不可数集都适用。无限集合“个数”该如何定义呢？这里还是从对等出发来定义，若两个集合对等，则称它们有相同的基数。对有限集合来说，基数实际就是元素的个数。而对于无限集合来说，虽然元素的个数是无限的，但是通过基数这个概念可以比较元素的“多少”。无限集合和有限集合有一些类似性质，但同时无限集合又有哪些特殊的性质呢？比较典型的特点是一个无限集可以和它的一个真子集对等，这一性质正是无限集的特征，对有限集显然不成立，由此可见，有限集和无限集之间有着深刻的差异。例如，｛正整数全体｝～｛正偶数全体｝，这里只需令φ（x）=2x，其中x是正整数。再比如，大圆A和小圆B是两个同心圆周，则A～B，事实上若对A上每一点x与同心的圆心的连线与B相交且只交于一点。由于有限集与正整数列一段一一对应，那么所有无限集会不会都和自然数集N对等呢？事实并非如此，在无限集中有一部分和全体正整数所成的集合对等，称之为可数集合。不是可数的无限集合是不可数集合。通过这样的分类，揭示出无限集类中的“数量”级差异，可数与不可数是两个完全不同的数量级。例如，全体有理数Q成一可数集合。不可数集的元素个数也是无数多个，但多得让人无法数。例如全体实数所成集合R是一个不可数集合。这样可数集就是无限集中最简单、量级最低的集合。在有限集合中元素个数与某个正整数n对应，而在无限集中“个数”为无穷个，则用基数这个概念来表示多少。我们用a表示可数集的基数，用c表示全体实数的基数。那么问题来了，有没有基数大于c的集合呢？有没有最大的基数呢？下面的定理回答了这个问题：若M是任意一个集合，它的所有子集作成新的集合μ，则μ的基数大于等于M的基数。从而我们可知没有最大的基数。

通过有限集到可数集再到不可数集合，由此看出，事物的发展规律由“量”变到“质”变、由低级到高级、由简单到复杂的曲折前进的过程。通过类比的方式我们可以把原有的知识扩展，而且对新知识更加容易接受理解。从另外一角度实变函数论这门课程研究的主要对象是建立在集合论上的函数理论，前面接触的课程像实变函数和复变函数是分别建立在实数域和复数域上的理论。而实数域和复数域是特殊的集合，因此实变函数从定义域的角度推广到了一般的情形。

3基于类比思想的勒贝格积分教学实例展示

本部分内容选自教材《实变函数与泛函分析基础》高等教育出版社程其襄等编写。学生已经学习过数学分析的内容，对定积分和多变量积分已经比较熟悉。对于勒贝格积分的定义也可以仿效黎曼积分方式给出，教材中也是采用的这种导入方式。在实际教学中，本研究尝试利用两个概念结构上的相似性，采用类比法引入勒贝格积分的定义。具体操作如下：

3.1类比前的准备

这个过程就是帮助学生找到类比的“源问题”，即原有知识结构中的已经学过的内容。在这里可以把相关的知识点设计成回顾问答的形式，如：

（1）在数学分析课程中，我们学习过定积分的定义、相关性质及计算方法，哪位同学能回答出黎曼积分的定义？

（2）哪位同学能说出可积函数类有哪些？

学生表述完成后，教师可以加以点评补充，把黎曼积分概念展示给学生，重点把思路复习清楚，这是为下一步的类比的实施做准备。

3.2类比实施过程

这个过程由教师设置一些逐级深入的问题，帮助学生直观、快速、准确地找到“有效的类比条件”，从而实现由“旧”到“新”的类比。在这里可以设计如下铺垫和问题，我们今天要研究一种新的积分，叫做勒贝格积分。

（1）人们在清点不同面值的硬币的总面值时，你可以一叠竖着数，也可以一层层的横着数。如果说黎曼积分与竖着数再求和相似，那么勒贝格积分则可以和一层层的横着数再相加类似。那它们在定义上会不会有某种联系呢？

（2）我们能不能在黎曼积分的基础上得出勒贝格积分的定义呢？可以给学生一定的思考时间，之后进行提问。哪位同学可以尝试一下？如果学生不能够顺利准确地对照黎曼积分定义得到勒贝格积分的定义，则可以继续下一个问题进一步引导。

注意：设计的问题要有一定的顺序，使问题和问题之间有一定的逻辑层次和层层递进的关系，难易度跨度不能太大，否则就会使问题之间的跳跃性太强，增加学生思维上的难度，这就违背了类比思想教学的原则。在教学中，教师应根据课堂上学生反应的具体情况而随机应变，掌握好问题这个度，既要让学生不能有挫败感，又要能达到锻炼学生思维的目的。

（3）具体引入勒贝格积分的过程如下，建立勒贝格积分的基本思路和步骤是怎样呢？前面学习过建立函数f（x）在［a，b］上的黎曼积分的基本思路是：分割［a，b］为小区间，做积分和，取极限。对有界可测函数而言，勒贝格积分的基本思路也是如此。不同的是“横”着分割值域［m，M］，相应的定义域也被分割成小区间，但小区间不一定再是相邻的。于是与黎曼积分和

∑ni=1f（ξi）（xi-xi-1）

相应的是勒贝格积分和

∑ni=1yimE［yiyi+1］。

然后，当两种分割都越来越细的时候，两种积分和分别趋于黎曼积分和勒贝格积分。我们观察黎曼积分和与勒贝格积分和都是“窄”矩形面积之和，不同之处在于黎曼积分和小矩形是挨着的，而勒贝格积分和是按照函数值范围分散的。另外，黎曼积分要求函数有界，而可测函数不必有界，且积分区域也可以是无穷大测度，因此需要给出一种新的建立勒贝格积分的思路。

首先，由于曲边梯形的面积，当f（x）0时，它的面积值为0或者正；当f（x）

0时，它的面积值为0或者负。因此，一般函数f（x）所围成的曲边梯形的面积有正有负，积分值是面积值的代数和。这样一来，一旦可测函数是无界的且函数值可正可负，最后的积分值可能会出现∞-∞的不定式的情形。为了避免这种情况，第一步先研究非负函数的积分，进而推广到一般的情况。

其次，用黎曼积分计算由非负函数围成的曲边梯形的面积，实际上是用一列“阶梯函数”所围成的小矩形面积之和求极限，阶梯函数是分割区间［a，b］为小区间之后形成的。对于勒贝格积分，将以“可测集分割”加以取代，形成所谓的简单函数。将积分区域（区间［a，b］或一般的多维空间中的可测集E）分为两两不相交的可测子集Ei，在Ei上取值ci，构成一个函数φ（x）=∑ni=1ciχEi（x）。

这种非负简单函数的积分是首先要处理的对象，φ（x）在E上的勒贝格积分定义为

∫Eφ（x）dx=∑ni=1cimEi。

在定义非负简单函数的勒贝格积分之后，然后将进一步介绍非负可测函数的积分，最后讨论一般可测函数的勒贝格积分。f（x）是E上的一个非负可测函数，f（x）在E的勒贝格积分定义为E上的简单函数φ（x）积分的上确界，这里0f（x）；因此这样定义的勒贝格积分值为非负的，若积分值小于无穷大，则称f（x）在E上勒贝格可积。而对于一般可测函数的勒贝格积分则作如下规定：若f（x）为可测集E上的可测函数，令f+（x）=max{f（x），0}，f-（x）=max{-f（x），0}。

则f+和f-都是E上的非负可测函数，且f+（x）-f-（x）=f（x），f+（x）+f-（x）=f（x）。

若f+和f-在E上的积分至少有一个有限，则称f（x）在E上积分确定，它们积分的差为f（x）在E上的勒贝格积分，记作∫Ef（x）dx。若f+和f-在E上的积分都有限，则称f（x）在E上勒贝格可积，简称L可积。

勒贝格积分定义从非负简单函数开始到一般可测函数，从特殊到一般用循序渐进的方式给出了勒贝格积分的完整的定义。勒贝格积分类比黎曼积分定义一步步进行推广，那么这两种积分之间有什么关系呢？下面来讨论这个问题。

结论一：设f（x）是在［a，b］上的一个有界函数，若f（x）在［a，b］上R可积，则f（x）在［a，b］上L可积，且

（L）∫［a，b］f（x）dx=（R）∫baf（x）dx。

结论二：设f（x）是［a，∞）上的一个非负实函数，若对于任意的A＞a，f（x）在［a，A］上R可积且R反常积分（R）∫baf（x）dx收敛，则f（x）在［a，∞）上L可积且（L）∫［a，∞）f（x）dx=（R）∫∞af（x）dx。

注：在结论二中非负函数的条件不能省，因为在不限制函数正负的情况下勒贝格积分并不是黎曼反常积分的推广，这主要因为L积分是绝对收敛的积分而收敛的R反常积分并不一定绝对收敛。

例：令f（x）=sinxx，若x＞0，

1，若x=0，则f（x）在［0，∞）上连续，f（x）在［0，∞）上的R反常积分收敛且（R）∫∞0f（x）dx=π2，但是f（x）在［0，∞）上不是积分确定的，当然不是L可积分。

3.3类比结论的验证

勒贝格积分的定义是从黎曼积分定义的思路出发，结合可测函数的特点，巧妙地运用了类比的方式，一步一步得出勒贝格积分的定义的一般形式，使学生有一定的直观感知，并参与了公式的推导过程，既能激发学生的学习兴趣，又真正做到了自主探究的学习目的。根据勒贝格积分和黎曼积分之间的关系，教师可以举一些典型的例子，以区分两种积分差异，从而进一步加深对概念的理解和应用。例如，在R上的狄利克雷函数在有理数上取1，在无理数数点取0，则勒贝格积分为0，黎曼积分不存在。使用类比的教学方法，可以使学生对原有的知识得到巩固提高，同时能够降低掌握新知识的难度。

结语

实变函数课程虽然很抽象、很难学、很难教，但是在教学过程中使学生了解实变函数的形成和发展过程，理解从黎曼积分推广到勒贝格积分的方法，对比黎曼积分与勒贝格积分的联系与区别，这样不仅可以让学生学到新知识，还可以丰富学生发现问题、探索问题、解决问题进而获取新知识的思维方法。本文主要介绍了课堂中常使用类比式教学法的策略与方法，并用实变函数课程中勒贝格积分这个重要内容教学案例来呈现了类比式教学的流程，从给出定义及后面的一系列内容推广发现运用类比的方法给出新的积分非常自然流畅，并且具有良好的教学效果。

参考文献：

［1］程其襄，张奠宙，等.实变函数与泛函分析基础［M］.北京：高等教育出版社，2019.

［2］郑前前，杨文杰.基于比较融合的“实变函数”教学探究——以“对等与基数”为例［J］.科技风，2023（06）：139141.

［3］韩静.类比思想在高中数学教学中的应用研究［D］.南京师范大学，2011.

［4］盖云飞.基于类比思想的高中数学教学实践研究［D］.东北师范大学，2009.

［5］刘益波，夏顺友，汪少祖.实变函数探究式教学的策略与方法——以可测集性质教学为例［J］.贵州师范学院学报，2021，37（03）：7275.

［6］李雪华，李冱岸.“实变函数”课程混合式教学模式的探索与实践［J］.教育教学论坛，2022（12）：100103.

基金项目：本文系内蒙古自治区教育科学研究“十四五”规划项目（项目编号：NGJGH2021132）；内蒙古民族大学科学研究基金项目（NMDYB19058）

作者简介：孙志玲（1979—），女，汉族，内蒙古赤峰市人，博士，博士后，研究方向：函数空间的算子理论、高等数学教学教法研究。