浅谈高等数学中巧用“数形结合”的几个实例

摘要：数与形是数学中最基本的研究对象，继初等数学中的数形结合，高等数学中的数形结合更是平常教学和解题中常用的一种思想与方法。在高等数学教学与解题中巧妙合理地运用数形结合的方法，可以恰到好处地衔接中学数学与高等数学之间的知识联系，帮助学生尽快从初等数学向高等数学过渡。充分合理使用数形结合的方法，有效分析教学和解题中遇见的问题，提高了高等数学的教学和解题效率，加深学生对知识的理解与记忆，又能培养学生“数”与“形”的认知能力与思维转换能力，为后续的专业课程的学习打下坚实的基础。

关键词：数形结合；高等数学；思维能力

数与形是数学中最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化——“以形助数”或“以数解形”。在高等数学解题过程中，巧妙地运用数形结合的方法与思想进行教学和解题时，会使复杂的内容变得通俗易懂，极大地提高教学效率和解题速率，加深学生对知识的掌握。本文就几种常用的“以形助数”的巧妙使用给出实例说明。

1在极限计算中的运用

极限是高等数学的敲门砖，很多同学被函数极限的计算弄得不知所措。合理使用数形结合的方法与技巧，会使解题思路变得清晰，及时掌握重难点。

1.1左右极限中数形结合的巧妙使用

例1：计算函数极限limx→∞e1x及limx→0e1x。

解析：利用“以形助数”，首先我们画出u=1x与y=eu的函数图形。

（1）首先，在图1中容易看出x→±∞时左右两边的图像都趋于0，即u→0，再观察图2，u→0时，y=eu→1，所以limx→∞e1x=1（见表1）。

1.2无穷小和无穷大中的数与形

在学习极限时会遇见一种利用“抓大头”思想的题型∞∞，大部分教师喜欢说“向0跑得快或慢，向∞跑得快或慢”等类似的话。学生初次听到这样的话其实并不是很理解，实际上就是函数中分子分母的增长速度不同，利用“以形助数”就一目了然了。

例2：求limx→+∞lnxx。

解析：这是∞∞型。利用洛必达法则：

limx→+∞lnxx=limx→+∞1x1=0

但是部分教师会直接说“分子分母同时向无穷跑，但分子比分母跑得慢，所以结果为0”。就从这句话而言，学生很难领悟到其表达的真正含义。这时只要在同一坐标系中画出y=x和y=lnx的图形进行对比即可。如图3，直观上就能对比出两个函数的增长情况。通过数与形之间的完美结合，就很轻易地解决了问题。

例3：函数f（x）=xe1x-1ln（x-1）2x（x-1）（x-2）在下列哪个区间内无界（）。

A.（-∞，0）B.（0，1）C.（1，2）D.（2，+∞）

解析：这是一个选择题，考查的实质就是判断端点处的极限是否存在。那如何快速判断出端点处的极限是否存在呢？

例如，计算limx→-∞xe1x-1ln（x-1）2x（x-1）（x-2）∞∞，如果用洛必达法则将很复杂。这时巧妙地选择数形结合的方法将很快对极限结果进行判断。首先，化简可得limx→-∞xe1x-1ln（x-1）2x（x-1）（x-2）=limx→-∞-e1x-1ln（x-1）2（x-1）（x-2）∞∞，其中利用函数图像可以分析x→-∞，e1x-1→1。同时x→-∞时，x2→+∞，从图4中可以看出ln（x-1）2增长速度比二次函数（x-1）（x-2）慢得多。即分母向无穷跑得快，所以limx→-∞xe1x-1ln（x-1）2x（x-1）（x-2）=0。

2微分中隐藏的数形结合的典型例题

2.1函数中不可导的点

学习导数时，会有一种判断函数在某一点处是否可导的题型。

例4：f（x）=x，在x=0处的可导性。

解：limh→0f（0+h）-f（0）h=limh→0h-0h=limh→0hh.

当h＜0时，hh=-1，故limh→0hh=-1；当h＞0时，hh=1，故limh→0hh=1；所以limh→0f（0+h）-f（0）h不存在，即函数f（x）=x在x=0处不可导.

x，x＞0，学生通过数形结合（图6）很快就能判断函数在x=0处不可导。无需再用定义判断，大大节省了时间。

2.2数形结合在数轴上的巧用

数形结合不一定总是局限于利用函数的图形和特性，比如在解题中巧妙地利用数轴，同样可以使解题思路清晰，达到目的。

例5：若函数φ（x）有二阶导数，且满足φ（2）＞φ（1），φ（2）＞∫32φ（x）dx，证明ξ∈（1，3），使得φ″（ξ）＜0。

证明：存在η∈［2，3］，使得∫32φ（x）dx=φ（η）（3-2），又φ（2）＞φ（η），故η∈（2，3］。

在［1，2］上，对φ（x）使用拉格朗日中值定理，有φ′（ξ1）=φ（2）-φ（1）2-1＞0，ξ1∈（1，2）；

在［2，η］上，对φ（x）使用拉格朗日中值定理，有φ′（ξ2）=φ（η）-φ（2）η-2＜0，ξ2∈（2，η）（2，3）；

在［ξ1，ξ2］上，对φ（x）使用拉格朗日中值定理，有φ″（ξ）=φ（ξ2）-φ（ξ1）ξ2-ξ1＜0，ξ∈（ξ1，ξ2）（2，3）。

注5：这是微分中值定理的一个应用，多次使用拉格朗日中值定理即可。在证明过程中，通过借助在数轴上描述相应点的位置，帮助我们更好地找到所需要的范围与取值，理清点之间的位置关系，使证明的思路有条有理，这也是数形结合的一种巧妙应用。

3积分学中的数与形

3.1积分学中随处可见的数形结合

例6：求不定积分∫1x2-a2dx（a＞0）。

解：利用三角换元x=asect，可解出∫1x2-a2dx=ln（sect+tant）+C，利用三角形（图6）得：sect=xa，tant=x2-a2a，所以原积分=lnxa+x2-a2a+C。

注6：为了把x换回去，就巧妙地利用了数形结合的方法，结合直角三角形的性质，直观又通俗易懂。学生很快就能接受这种做法，并应用到其他的三角换元中。

3.2其他可利用数形结合的题目类型

在定积分中数形结合的使用更是比比皆是，例如求曲线所围成的面积，区域D需要通过数与形来表示找到积分的上下限；曲线积分中的曲线路径；重积分中的空间立体图形等都利用了数形结合的思想与方法，从而快速确定积分所需要的量。

结语

数形结合的巧用既能达到事半功倍的解题效率，还能锻炼学生“数”与“形”之间的思维转换与衔接。在平时的教学与解题当中，一定还会发掘出更多巧妙使用数形结合的方法的地方，从而减轻学生学习和解题上的困扰。

参考文献：

［1］张建华.数形结合在高等数学教学中的应用探讨［J］.江西电力职业技术学院学报，2022，35（01）：5152+55.

［2］曹雅芳.浅谈数形结合思想在“高等数学”教学中的应用［J］.广东职业技术教育与研究，2021（05）：8587.

［3］李伟勋，王丹.数形结合思想在高等数学教学中的应用［J］.高师理科学刊，2020，40（11）：9497.

［4］同济大学数学系.高等数学（第七版上、下册）［M］.北京：高等教育出版社，2014.

作者简介：产丽凤（1991—），女，安徽安庆人，硕士，讲师，研究方向：数学物理，高等数学教育学。

*通讯作者：程春（1991—），男，安徽合肥人，博士，讲师，研究方向：非线性动力学。