道中考填空题的多维解析与教学启示

张正茂 赵立春 刘清清 卫德彬

【摘  要】  从命题意图和最优解法为出发点，探析2023年安徽省中考数学第14题，紧扣反比例函数的几何意义，多角度寻求解题思路以发展学生的关键能力，凸显单元教学理念对解题方法的启示与启发，从而提升学生的数学核心素养.

【关键词】  数形结合；关键能力；解题策略；核心素养

笔者与学生分享2023年安徽省中考压轴题填空题第14题时发现，学生解法繁琐且计算量大，没有充分利用反比例函数的几何意义.从中考命题者的意图来看，该题的解题过程可以进一步的优化.通过分析已知条件，观察求解结果的形式特点，利用数形结合，结合反比例函数的几何意义，多视角思考得到四种不同的方法，让学生学会分析问题和提出问题，体会分析问题、解决问题带来的数学成就感，同时为读者提供更加广阔的解题思路.

1  试题呈现

题目  （2023年安徽省中考题第14题）如图1，O是坐标原点，Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上，AB＝2，∠AOB＝30°，反比例函数y=kx（k＞0）的图象经过斜边OB的中点C.

（1）k＝    ；

（2）D为该反比例函数图象上的一点，若DB∥AC，则OB2-BD2的值为    .

图1

2  立意分析

从学习领域上看，本题是数与代数和图形与几何的综合；从数学核心素养上看，考查了几何直观、推理能力、运算能力、应用意识等；从学业要求上看，涉及到反比例函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、勾股定理.由此可看，该题知识跨度大，综合性强，属中考数学填空题型中的压轴题，具有一定的区分度.3  多维解析

对于第（1）小题，如图2，根据含30°直角三角形的三边的比1∶3∶2，AB=2，OA=23，求出A（23，0）、B（23，2）两点坐标，过C点作x轴的垂线段CE，垂足为E，C是中点，CE∥AB，则CE=1，OE=3，从而求出C（3，1），利用待定系数法求函数解析式或利用反比例函数的几何意义，容易得到k=3.图2

第（1）小题相对比较简单，而第（2）小题综合性强，有一定的难度，这也体现了安徽中考压轴题低起点、入口宽、层次分明的特点.笔者就第（2）小题的解法从以下四个维度寻找切入点或突破口.3.1  基于函数图象交点意义

由题目已知条件易得OB=4，所以OB2-BD2=42-BD2，因为在第（1）问中B（23，2）已求出，只需要求出D点坐标即可.如何求出D点坐标呢？观察图2不难发现D是线段BD与双曲线的交点.根据图象交点意义，由已知BD∥AC，则直线BD与AC的斜率相同且经过B点，求出BD所对应的一次函数解析式，然后与反比例函数解析式组成方程组，求解方程组，进而得出D点坐标，最后利用平面直角坐标系中两点之间距离公式即可求出BD2=12，于是OB2-BD2＝16-12＝4.

3.2  基于反比例函数意义

基于问题OB2-BD2是平方差的形式，可以考虑分解因式为（OB+BD）·（OB-BD），接着通过常见的线段截长补短，转化成为两条线段的乘积，最后设元、列式、找等量关系求解.即如图3，延长BD交x轴于点G，过D点作x轴垂线交OB的延长线于J点，垂足为H，过D点作y轴的垂线，垂足为I，交AB于F点.易证OB=BG，△BDJ为正三角形，得到BD=BJ，OB2-BD2=（OB+BD）·（OB-BD）=OJ·DG，设DG=x，BD=BJ=4-x，OJ=8-x，则（OB+BD）·（OB-BD）=（8-x）x，在Rt△BDF和Rt△DGH中，∠BDF=∠DGH=30°，所以DH=12x，HG=32x，所以OH=43-32x.值得注意的是：这里不需要求解x，而是通过反比例函数的几何意义，用x表示S矩形IOHD=DH·OH=12x·43-32x=k=3，将等式化简得到（8-x）x=4，即OB2-BD2=4.图3当然，也可以采用下面更为简洁的思路.

求OB2-BD2=42-BD2，只需要求BD2，则以BD为边构造含有30°的直角三角形，利用反比例函数的几何意义找等量关系求解.即如图4，过点D作y轴的垂线，垂足为I，交AB于点F.设FB=a，Rt△BDF中，∠BDF=30°，则BD=2a，DF=3a，OB2-BD2=42-BD2=16-（2a）2=16-4a2.而AF=DH=2-a，OH=OA+DF=23+3a，类似地，用a表示S矩形IOHD=DH·OH=（2-a）·（23+3a）=k=3，将等式化简得到：a2=3，即OB2-BD2=16-4a2=4.图43.3  基于相似三角形的性质

求OB2-BD2，构造以OC，OB，BD为边三个都含30°的相似直角三角形，通过反比例函数的几何意义，证明三个直角三角形之间关系，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求出OB2-BD2的值.即如图5，过D点作y轴的垂线，垂足为I，分别交OB，AB于M，F点.易证Rt△IOM≌Rt△HDG，S矩形IOHD=DH·OH=k=S梯形MOGD，而AB⊥OG，OA=AG，所以S梯形AFDG=12S梯形MOGD=12k=SRt△OCE，SRt△OAB=SRt△GAB，则SRt△OAB-SRt△OCE=SRt△GAB-S梯形AFDG，即S四边形ABCE=SRt△BDF，则SRt△OCE+SRt△BDF=SRt△OAB，且易证Rt△OCE∽Rt△DBF∽Rt△OAB，所以S△OCE∶S△AOB=OC2∶OB2，S△BDF∶S△AOB=BD2∶OB2，所以（S△OCE+S△BDF）∶S△AOB=（OC2+BD2）∶OB2，可以得到OC2+BD2=OB2，即OB2-BD2=OC2=4.图53.4  基于一般到特殊的辩证思维

如图6，这道题的命题背景就是延长OC，当点B在OC的延长线上运动到任何位置，作DB∥AC，与反比例函数图象交于点D，则OB2-BD2的值为定值.那就取特殊位置，将点B运动到与点C重合时，OB=OC，此时点D也与点B重合，则BD=0，则OB2-BD2=OC2=4，即可得到结果.由于篇幅原因，在此不作具体证明，证明略.图64  教学启示

4.1  追本溯源，挖掘图形本质，发展关键能力

在“反比例函数”一课中，将引导、帮助学生准确理解并掌握反比例函数基本内涵与几何意义作为教学目标.使得学生在准确绘制反比例函数图象的基础上，可以通过分析图象，掌握反比例函数的性质和几何意义，并尝试运用数学建模的方式解决反比例函数问题［1］.函数与几何相结合的题目比较灵活，学生解题时常常因为找不到合适的切入点而望而却步，这是因为缺乏这方面的关键能力.数形结合作为一种重要的思想方法，其在解决函数与几何图形综合问题中有着重要的应用［2］.挖掘图形的本质，运用数形结合的思想，通过几何图形的性质与代数数量关系之间的转化，设定合适的未知数，构建相应的数量关系.在教学中不仅要关注提高解题效率和对知识点的理解，也要重视发展学生处理函数与几何相结合问题的关键能力.

4.2  单元教学，凸显整体思想，学法解法一致性

单元教学的理念是教学要关注不同知识之间的横纵向联系，强调数学的整体性、数学思想方法的内在一致性，这种教学理念惯性于分析问题，也即是在解决问题中应该体现学法与解法的统一，学生在分析问题时也是整体的、俯视般审题.就本题而言，问题设置的知识背景是反比例函数，因此学生第一时间会回忆反比例函数的知识构架，从定义、图象、性质等逐一展现，结合已知信息自然会尝试利用反比例函数的几何意义解决问题，从而发现突破口，这体现了教学理念与解决问题方法的内在一致性.

4.3  探寻多解，培养学生思维，提升核心素养

罗增儒老师提倡基础知识要通过解题实践来消化、解题方法要通过解题实践来强化、思维素质要通过解题实践来优化.多角度思考和解决问题，有助于发展学生的思维，培养他们的创新意识和解题能力.当一个题目可能存在多种解法时，学生不仅要思考如何利用已知条件、相关知识和已有的数学活动经验，还要寻找不同的解题思路，拓展自己的思维空间.一题多解不仅有助于学生发现数学知识的内在联系与应用，加强对知识的深入理解，还可以更好地理解数学知识的本质.对于本题，学生在充分挖掘题目条件和图形特征后，将求OB2-BD2的值化归为反比例函数的几何意义.在解决问题的过程中，既可强化对基本图形的运用，又可加强不同知识点之间的联系.因此在日常教学中，教师不仅要让学生掌握常见的基本几何图形，还要不断完善相关知识体系，加强知识点、方法间的纵向和横向关联，尝试从多角度思考问题，探寻多种解法，思维有高低，境界有不同，以选择最优解法，从而培养学生的推理能力、几何直观、空间观念及创新意识等数学素养［3］.参考文献

［1］张瑛，胡懿，邢焰，等．课堂教学“四点突破”教学理念的提出［J］．黔南民族师范学院学报，2016（01）：74-77．

［2］程春凤.做好数形结合在初中数学教学中的应用［J］.科技资讯，2018（01）：196，198．

［3］陈美浩.一道几何最值题的多解探究［J］.中学数学教学参考（初中），2023中旬（12）：48-49.

作者简介

张正茂（1977—），男，安徽合肥人，中学一级教师，合肥市教育名师工作室领衔名师，安徽省模范教师;主要研究数学教育、数学课堂教学.

赵立春（1973—），男，安徽肥西人，中学正高级教师，安徽省特级教师;主要研究中学数学习题教学.

刘清清（1988—），女，安徽阜阳人，硕士;主要研究数学教育、数学课堂教学.

卫德彬（1963—），男，安徽肥西人，中学正高级教师（二级），国家“万人计划”教学名师，第十二届苏步青数学教育奖获得者，享受国务院特殊津贴，安徽省特级教师，江淮好学科名师，合肥师范学院硕士生导师，合肥市名师工作室首批挂牌名师;主要研究课标、教材以及课堂教学改革探索.