等差等比数列一个性质的推广与拓展

摘 要：文章以2023年高考全国乙卷理科的第15题为例，给出等差等比数列一个性质的推广与拓展，并展示性质的应用.

关键词：等差数列；等比数列；性质与应用；推广

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2024）13-0049-03

等差等比数列是高考的一个重要考点，而高考对等差等比数列的考查往往包含运算能力的考查，掌握等差等比数列的相关性质能有效地减少运算量.本文以2023年高考全国乙卷理科的第15题为例，介绍等差等比数列一个性质的推广、拓展及其应用，供大家参考.

1 试题的呈现与解答

题目 已知{an}为等比数列，a2a4a5=a3a6，a9a10=-8，则a7=.

试题主要考查等比数列的定义、等比数列的通项公式及其应用.试题的思维过程体现了能力立意的命题思想，较好地体现了等比数列中核心内容和基本思想方法的考查，综合考查考生的逻辑思维、推理论证及运算求解等方面的能力.

解法1 设{an}的公比为q（q≠0），显然an≠0.

由a2a4a5=a3a6，得

a1q×a1q3×a1q4=a1q2×a1q5.

即得a1q=1.

由a9a10=-8，得a1q8×a1q9=-8.

即得（a1q）2×q15=-8.

故q15=-8.所以q5=-2.

于是a7=a1q6=a1q×q5=-2.

解法2 设{an}的公比为q（q≠0），显然an≠0.

因为{an}为等比数列，所以a4a5=a3a6.

结合a2a4a5=a3a6，可得a2=1.

由a9a10=-8，得a2q7×a2q8=-8.

即得q15=-8.所以q5=-2.

于是a7=a2q5=-2.

评注 解法2利用等比数列的性质：已知数列{an}为等比数列，p，q，s，t∈N*，且p+q=s+t，则apaq=asat.灵活应用性质，可以简化解答过程.值得注意的是，等差等比数列中，此性质作为新教材的例习题出现：

题1 （人教A版《高中数学选择性必修第二册》 第17页例5）  已知数列{an}为等差数列，p，q，s，t∈N*，且p+q=s+t，求证ap+aq=as+at.

题2 （人教A版《高中数学选择性必修第二册》第56页“复习参考题4”第12题）  类比等差数列和等比数列的定义、通项公式、常用性质等，发现它们有如下的对偶关系：只要将等差数列的一个关系式中的运算“+”改为“×”， “-”改为“÷”，正整数倍改为正整数指数幂，相应地就可得到等比数列中一个形式相同的关系式，反之也成立.

根据上述说法，请你参照表1给出的信息推断出相关的对偶关系式：

由此可见，高考题与教材例习题有着很好的衔接，这符合高考的命题思想：加强教考衔接，发挥教材的引导作用.所以高三的复习应立足于教材，对教材中有潜在本质规律的材料、例题、习题进行适当的挖掘，将教材的引导作用发挥出来，以此提高复习的有效性.

解法3 因为{an}为等比数列，且有2+4+5+9+10=3+6+7+7+7，故得

a2a4a5a9a10=a3a6a7a7a7.

又a2a4a5=a3a6，a9a10=-8，故得a37=-8.

所以a7=-2.

评注 对比解法1与解法2，解法3的方法巧妙，运算量少，解答过程简洁，解题方法新颖独到.那么解法3的依据是什么呢？实际上，解法3应用了解法2中的性质的推广.

2 等差等比数列性质的推广与拓展

性质1 设{an}为等差数列，mi，ni∈N*，i=1，2，…，k.若∑ki=1mi=∑ki=1ni，则∑ki=1ami=∑ki=1ani.

推论1 设{an}为等差数列，mi，n∈N*，i=1，2，…，k.若∑ki=1mi=kn，则∑ki=1ami=kan.

性质2 设{an}为等差数列，公差为d，mi，ni∈N*，i=1，2，…，k.若∑ki=1mi≥∑ki=1ni，则：

（1）当d>0时，∑ki=1ami≥∑ki=1ani；

（2）当d<0时，∑ki=1ami≤∑ki=1ani.

推论2 设{an}为等差数列，公差为d，mi，n∈N*，i=1，2，…，k.若∑ki=1mi≥kn，则：

（1）当d>0时，∑ki=1ami≥kan；

（2）当d<0时，∑ki=1ami≤kan.

性质3 设{an}为等比数列，mi，ni∈N*，i=1，2，…，k.若∑ki=1mi=∑ki=1ni，则∏ki=1ami=∏ki=1ani.

推论3 设{an}为等比数列，mi，n∈N*，i=1，2，…，k.若∑ki=1mi=kn，则∏ki=1ami=（an）k.

性质4 设{an}为等比数列，公比为q（q>0且q≠1），a1>0，mi，ni∈N*，i=1，2，…，k.若∑ki=1mi≥∑ki=1ni，则：

（1）当q>1时，∏ki=1ami≥∏ki=1ani；

（2）当0

推论4 设{an}为等比数列，公比为q（q>0且q≠1），a1>0，mi，n∈N*，i=1，2，…，k.若∑ki=1mi≥kn，则：

（1）当q>1时，∏ki=1ami≥（an）k；

（2）当0

3 性质的应用

等差等比数列的前述性质应用广泛，倍受命题者青睐，以此为命题背景的试题常考常新，现举例说明.

例1 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9=90，则a1+a6+a8=.

解析 因为数列{an}是等差数列，且1+6+8=2+4+9=3+5+7.

由性质1，可得

a1+a6+a8=a2+a4+a9=a3+a5+a7.

所以a1+a6+a8=13S9=30.

例2 已知数列{an}是等差数列，若a1+a3+a4+a9+a13=30，则a6=.

解析 因为数列{an}是等差数列，且1+3+4+9+13=5×6，由推论1，可得

a1+a3+a4+a9+a13=5a6=30.

所以a6=6.

例3 已知数列{an}是等差数列，若a1+a2+…+a2n=S，m，n∈N*，且m≤n，判断S与2nam的大小.

解析 设等差数列{an}的公差为d.

当d=0时，则有a1=a2=…=a2n=am=S2n.

故2nam=2n×S2n=S.

因为1+2+…+2n=2n（1+2n）2=n（1+2n）>n×2n≥2n×m，且数列{an}是等差数列，由推论2，可得：

当d>0时，有a1+a2+…+a2n>2nam，即S>2nam；

当d<0时，有a1+a2+…+a2n<2nam，即S<2nam.

例4 已知等比数列{an}的前n项积为Tn，若T9=64，则a3a5a7=.

解析 因为数列{an}是等比数列，且1+6+8=2+4+9=3+5+7.

由性质3，可得a1a6a8=a2a4a9=a3a5a7.

所以a3a5a7=3T9=364=4.

例5 在各项为正数的等比数列{an}中，若a6=16，则log2a1+log2a2+…+log2a11=.

解析 因为log2a1+log2a2+…+log2a11=log2（a1a2…a11），且1+2+…+11=11（1+11）2=11×6，又

因为{an}为等比数列，由推论3，得

a1a2…a11=a116=1611=244.

所以log2a1+log2a2+…+log2a11=log2（a1a2…a11）=log2244=44.

例6 在各项为正数的等比数列{an}中，若a1a2…a2 024=2 024，判断（a1 011）2 024与2 024的大小关系.

解析 设等比数列{an}的公比为q，

当q=1时，则有a1=a2=…=a2 024.

故a1a2…a2 024=（a1）2 024=（a1 011）2 024=2 024.

因为1+2+…+2 024=2 024（1+2 024）2=1 012（1+2 024）>2 024×1 012>2 024×1 011，

又因为等比数列{an}的各项为正数，故a1>0.

由推论4，得

当q>1时，有a1a2…a2 024>（a1 011）2024.

即2 024>（a1 011）2 024.

当0

即2 024<（a1 011）2 024.

评注 对比例3，例6实际上可以一般化：在各项为正数的等比数列{an}中，若a1a2…a2n=T，m，n∈N*，且m≤n，判断T与（am）2n的大小.

4 结束语

从以上几例不难发现，利用性质去求解等差等比数列的相关问题时，能降低思维强度，简化推理和运算过程，具有直观、简捷、明快的特点.所以在平时的学习中要善于钻研，通过一些例题或习题的总结与变式，重视方法的积累和知识的储备，熟练掌握一些有用的结论，才有可能缩短思维的长度，提高效率，达到事半功倍的功效[1].

参考文献：

［1］

林国红.一类相邻两项和的数列通项的求解策略[J].中学生理科应试，2021（Z1）：1-3.

［责任编辑：李 璟］