基于GM-RBF组合模型的BDS-3卫星钟差短期预报

唐彦 李豫 李特

摘  要：针对卫星钟差具有趋势项和随机项变化的特征问题，该文提GM－RBF组合模型的方法。该模型首先用GM（1，1）提取预处理后的卫星钟差趋势项部分并进行建模预报，得到相应的残差序列，通过RBF神经网络训练用灰色模型预报所获得的残差序列，然后将GM（1，1） 模型的钟差后续预报值与RBF神经网络的残差预报值对应相加可得组合模型的预报结果。为验证组合模型的有效性和可行性将组合模型预报结果与GM（1，1）模型、ARIMA模型、RBF神经网络模型预报结果进行对比实验。实验结果表明，组合模型预报精度要高于其他单一模型，其在不同时段的平均预报精度可提高46.4%～86.2%。

关键词：BDS卫星钟差  灰色模型  RBF神经网络  组合模型  钟差预报

中图分类号：P228.1

Short-Term Prediction of BDS-3 Satellite Clock Errors Based on the GM-RBF Combined Model

TANG Yan1   LI Yu2    LI Te3

（1.Xinjiang Institute of Engineering， Urumqi， Xinjiang Uyghur Autonomous Region， 830000 China；2.Yingkou Chuangxue Jiaoyu， Yingkou， Liaoning Province， 115000 China；3.Heilongjiang Institute of Technology，Harbin，Heilongjiang Province，150000 China）

Abstract： In order to address the eigenproblem of the change of the trend term and random term of the satellite clock error， this paper proposes a method of the GM-RBF combined model. First， this model uses GM（1，1） to extract the pre-processed trend term of the satellite clock error， conducts modeling and forecasting to obtain the corresponding residual sequence， and uses the grey model to predict the obtained residual sequence by RBF neural network training. Then， the prediction result of the combined model can be obtained by adding the subsequent prediction value of the clock error of the GM（1，1） model and the residual prediction value of the RBF neural network. In order to verify the validity and feasibility of the combined model， the prediction results of the combined model are compared with those of the GM（1，1） model， the ARIMA model and the RBF neural network model. Experimental results show that the forecast accuracy of the combined model is higher than that of other single models， and that its average forecast accuracy can be increased by 46.4% ～ 86.2% in different periods.

Key Words：BDS satellite clock error; Grey model; RBF neural network; Combination model; Clock error forecast

北斗卫星导航系统（BeiDou Navigation Satellite System，BDS）作为世界上的第三个已完全发展成熟的导航系统，对于提升国家实力具有重要意义。然而，如果北斗卫星时间误差达到1 ns，将会导致约0.3 m的距离测量错误。为了有效地减少这种影响并进一步优化定位准确性，对BDS卫星时钟偏移预测的研究变得至关重要。这不仅能迅速、精准地增强定位性能，还能为我国带来显著的社会效益与经济效益，从而推动国家的整体发展[1]。

北斗精密钟差的获取具有较为严重的滞后性，难以实时获取，这在一定程度上限制了BDS的基础服务，因此选择合适的方法和模型对钟差进行预报具有重大意义和广阔的应用价值。目前，许多国内外研究人员开发了不同的预报模型，主要包含灰色模型、自回归滑动平均模型、神经网络模型、二次多项式模型等[2]。吕栋等[3]提出基于思维进化算法优化BP神经网络组合模型，结果表明，采用MEA算法获取较好的初始化权值和阈值等参数，提高了卫星钟差建模的精度，其预报精度明显高于其他3种传统模型。王建敏等人[4]将GM（1，1）模型和AR（p）模型有机组合，极大地提升模型的精度和适应性，其组合模型预报精度可达1 ns之内。于烨等人[5]通过利用GM（1，1）和MECM模型有效组合，很大的程度上对残差进行了修正，相对于其所用的单一模型预报精度提升接近两倍。

由于上述钟差预报方法大多用于GPS卫星，而BDS卫星钟差预报研究相对不够广泛，因此本文利用灰色模型与RBF神经网络模型的特点，提出了一种基于误差修正的GM－RBF组合模型的钟差预报方法，并与其他3种单一预报模型进行对比，证明了组合模型的可行性和优越性。

1  模型基本原理

1.1  GM（1，1）模型建立

灰色模型在处理信息不全面、数据量较小且混乱的时间序列上表现出独特性，并且容易进行验证。此外，它也无须顾及分布规律或趋势因素，所以非常适合用于钟差数据序列的建模[6]。设预处理后的钟差序列，对钟差序列做一次累加，得到生成新的钟差序列数列为其中：

式（1）中：k为参与预报的卫星钟差序列数据的个数。由数据可以构成GM（1，1）白化形式的微分方程为

式（2）中：a称为发展系数；u称为灰作用量。其离散化的矩阵方程可以表示为

其中，，

矩阵方程（5）的最小二乘解为

其中，， 分别为Ｄ、a、u的估计值，将（4）式代入（2）式得

对时间响应函数（2）式求解为

原始钟差预测模型方程为得

原始序列的一般形式为

式（8）中：t为预报个数。根据式（1）可预报未来任意时刻的钟差序列。

1.2  RBF神经网络模型

径向基函数（Radical Basis Function，RBF）网络用RBF作为隐单元的“基”构成隐含层空间，再将输入矢量直接映射到隐空间，不需要用权连接。当RBF的中心点确定以后，这种映射关系也随之确定[7-8]。

在RBF神经网络中，必须了解的参数有三项：基函数的中心、方差及其隐含层至输出层的权值，如图1所示。

RBF解算具体实现过程如下：

（1）解算RBF基函数中心，在进行预测中RBF核函数选择高斯函数：

式（9）中：为欧式距离范数；为激活函数中心；为方差；为输入向量。

（2）计算隐藏层基函数的标准偏差。为避免RBF过尖或过平，以下是计算标准偏差的公式：

式（10）中：是选定的中心最大距离；为隐含层节点数量。

（3）采用最小二乘法计算隐含层与输出层之间的权值，公式如下：

式（11）中：为隐含层与输出层之间的权值。

（4）解算RBF网络输出：

式（12）中：输入样本所对应的钟差数据。

2  组合预报模型

传统的GM和RBF组合方式是简单的串并联结合。由于卫星钟差的真值是通过预测值加上残差得出的，因此，把卫星钟差看作由两个主要因素构成：一个是趋势项，另一个则是随机项。本文以误差补偿作为组合的原理，改进传统的组合模型方式，综合GM所需建模数据少和RBF可有效挖掘复杂系统退化信息的优点，从而创建了一个新的卫星钟差预测模型。

取n组数据进行组合模型建模，具体步骤如下所述。

（1）对卫星钟差观测数据做前期预处理。去除异常钟差值，并使用线性插值法补全去除的异常值。

（2）利用GM（1，1）提取预处理后的前m组（m

（3）取，求模型残差建模，即卫星钟差的随机项部分。

（4）以为RBF神经网络的训练样本集，进行外推，求出卫星钟差的随机项部分的预报数值。

（5）将RBF神经网络的随机项序列预报值与其对应的GM（1，1）模型趋势项序列预报值相加可得组合预报值。

3  算例分析

3.1  数据来源

为了验证组合模型预报性能优于其他单一模型，通过IGS服务器分别下载了两个时间段2019-12-22至2019-12-23与2020-01-18至2020-01-19采样间隔为15 min的共4 d的北斗精密卫星钟差数据。其中两个时间段的钟差数据均取前1 d作为建模数据，后1 d作为验证数据。由于BDS-3搭载两种不同星载原子钟，因此分别在两个不同时间段各取一个氢钟与铷钟的卫星。选取前一时间段的C25、C33与后一时间段的C26、C37卫星数据进行试验和分析并将卫星预报结果进行详细阐述。

3.2 方案设计

对C25、C26、C33、C37钟差序列分别选用灰色模型（Gray Model，GM） 、自回归滑动平均（Auto-Regressive Moving Average Model，ARIMA）模型、RBF神经网络模型和GM－RBF组合模型，分别对6 h、12 h、18 h和24 h的卫星钟差进行预报。

3.3  数据预处理

一般情况下，卫星钟差的频率都数据，并且相位分布模式更接近线性分布，粗差隐藏在相位数据中难以发现 。因此使用中位数粗差探测法进行粗差检测时，需要先将相位数据转化为频率数据 。公式如下：

式（13）中：为第i个历元的频率值；为第i个历元的相位值；为历元间的采样间隔。通过式（13）把相位转变换成频率。

用中位数粗差探测法对原始钟差序列进行粗差探测，具体公式如下：

式（14）（15）中：为卫星的频率；为频率的中位数；为适合数据序列的正整数；MAD为中位数绝对偏差；median为中位数运算符。

由式（14）（15）可知，当频率的绝对值大于频率序列的中位数加上频率序列偏差绝对值的中位数的正整数倍时，则把该频率据看作粗差，否则将看作正常序列。使用线性插值法补全剔除粗差后的数据，最后得到预处理后的频率。公式中的b需要根据实际情况来进行多次调试，直到粗差被剔除。本文多次调整b值，最终选择b=3进行判定。限于文章篇幅，本文以C25为例。

如图2所示，从第一天结束至第二天开始，钟差数据显示出明显的天跳变现象情况，原因在于IGS提供的精密钟差和相关设备的数据处理方式是以天作为单位并按照单天为弧段进行计算。由于容易受到大气的干扰、多径效应等影响，导致接收机接收到的其他误差和自身的钟差产生系统误差。同时，因为卫星钟差本身是一个相对量，所以会导致连续两天内的接收器钟差产生跳变，从而引发了IGS精密钟差产品中的天跳变现象。在经过预处理后频率数据未存在特别明显的极值，频率波动相对稳定，有效地剔除了粗差，表明了预处理效果相对显著。

3.4  组合模型具体实现

将卫星钟差数据两个时间段的前一天作为实验数据，选择前48个历元的数据为钟差序列趋势项部分建立灰色预报模型，并预报后面12 h钟差数据，并用真实钟差值减去预报值的随机项，把随机项作为RBF神经网络的训练样本集。采用滑动窗口方法对钟差数据集进行划分，每次向右滑动一步，每次滑动选取5个历元钟差数据，输出的钟差数据为第6个历元数据，剩余的96个历元数据利用滑动窗口方法进行预测。因此，输入层神经元个数为5个，输出层神经元个数1个，隐含层神经元个数通过newrb函数输入神经元的最大数目进行训练即可确定。

3.5 预报结果与分析

使用上述方案进行建模， 通过IGS发布的事后精密卫星钟差与组合模型和单一模型预报的钟差值进行对照，用均方根误差（RMS）来作为标准分析预报精度。其RMS计算公式如下：

式（16）中：为事后精密卫星钟差；n为历元个数；为预报的卫星钟差。实验结果如表1所示。

从表1的钟差预报统计量得出以下结论。

（1） GM（1，1）模型、ARIMA模型、RBF神经网络模型和GM-RBF组合模型都可以适用于北斗精密卫星钟差短期预测。在两个时间段内，组合模型预测精度均高于单一模型。

（2）对未来一天不同时段的卫星钟差进行预报，GM-RBF组合模型的预报精度最高，相较于GM（1，1）模型平均预报精度分别提升了78.7%、82.1%、80.0%、71.9%；相较于ARIMA模型平均预报精度分别提升了86.2%、84.8%、80.3%、73.3%；相较于RBF神经网络模型平均预报精度分别提升了47.4%、51.2%、53.0%、46.4%。

（3）在单一预测模型当中，GM（1，1）模型与ARIMA模型的预测精度相对较差，其平均预报精度均在1.8 ns以上，而且数据存在显著波动的特征。在RBF模型与组合模型的预测结果中，RMS伴随着预测历元个数的增加而增加，并且组合模型的预报误差在0.9 ns以下，模型显示出良好的稳定性和更高的预测精准度，这比任何单独模型都要优秀。随着预测时长的增加，组合模型受RBF神经网络模型影响较大，误差增量逐渐增加。组合模型相比单一模型平均预报精度提高了46.4%～86.2%。

（4）对未来6、12、18、24 h的卫星钟差进行预报，其中GM（1，1）模型在BDS-3星载氢钟的平均预报精度为0.92 ns、0.97 ns、1.01 ns、1.09 ns；ARIMA模型在BDS-3星载氢钟的平均预报精度为1.13 ns、1.10 ns、1.11 ns、1.15 ns；RBF模型在BDS-3星载氢钟的平均预报精度为0.18 ns、0.24 ns、0.34 ns、0.51 ns；组合模型在BDS-3星载氢钟的平均预报精度为0.14 ns、0.17 ns、0.20 ns、0.29 ns。GM（1，1）模型在BDS-3星载铷钟的平均预报精度为1.22 ns、1.55 ns、2.04 ns、2.67 ns；ARIMA模型在BDS-3星载铷钟的平均预报精度为1.14 ns、1.38 ns、1.73 ns、2.22 ns；RBF模型在BDS-3星载铷钟的平均预报精度为0.52 ns、0.77 ns、1.05 ns、1.43 ns；组合模型在BDS-3星载铷钟的平均预报精度为0.15 ns、0.21 ns、0.38 ns、0.73 ns。因此，在相同的模型中，BDS-3星载氢钟的短期预测性能优于铷钟，这与氢钟本身卓越的短期预测性能紧密相连。

4 结语

针对卫星钟差具有趋势项和随机项变化的特征，提出了一种基于GM－RBF组合预报模型。该组合模型是通过对两种单一模型的综合利用，首先用GM（1，1）提取预处理后的卫星钟差趋势项部分并进行建模预报，并得到相应的随机项部分用RBF神经网络进行建模预报，最后将两种模型的预报值相加得到组合模型预报值。通过对4种模型预报精度进行分析可知，GM-RBF模型简单， 在预报时长增加时，误差曲线稳定性较好，预报结果比其他单一模型精度更好，证明了组合模型在BDS-3卫星钟差短期预报中的有效性及稳定性是较佳的，可用于BDS-3卫星钟差的高精度预报。

参考文献

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[3]吕栋，欧吉坤，于胜文，等.基于MEA-BP神经网络的卫星钟差预报[J].测绘学报，2020，49（8）：993-1003.

[4]王建敏，李特，谢栋平，等.北斗精密卫星钟差短期预报研究[J].测绘科学，2020，45（1）：33-41.

[5]于烨，张慧君，李孝辉，等.基于GM（1，1）和MECM组合模型的GPS卫星钟差中短期预报[J].天文学报，2018，59（3）：19-30.

[6]程博.GPS/BDS精密单点定位及短期钟差预报[D].阜新：辽宁工程技术大学，2021.

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[8]李宏达.基于多模GNSS精密单点定位的大气可降水量反演研究[D].贵阳：贵州大学，2020.