一道课堂习题的再探究
2024-06-23秦昊
秦昊
1 问题的提出
文［1］对如下习题作了拓展研究，并给出了如下两个结论：
习题 过点P（1，2）的直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，当△AOB的面积最小时，求直线l的方程.
结论1 如图1，设定点P在定角∠XOY内，过点P的直线分别交OX，OY于A，B两点，当且仅当P为AB中点时，△OAB的面积最小.
结论2 如图2，设定点P在定角∠XOY内，过点P的直线分别交OX，OY于A，B两点，当且仅当OA=OB时，PA·PB最小.
文［1］末提到可以进一步探究|AB|以及△AOB周长的最小值，本文对△AOB周长的最小值进行再探究.
变式题 过点P（1，2）的直线l与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，当△AOB的周长最小时，求直线l的方程.
2 问题探究
解法1：如图3，直线l的斜率必存在，不妨设直线l的斜率为k（k<0），则直线l的方程为y=k（x-1）+2，求得A1-2k，0，B（0，-k+2），则△AOB的周长为
C（k）=|OA|+|OB|+|AB|=1-2k+（-k+2）+1-2k2+（-k+2）2（k<0）.
对上述函数求导，得
C′（k）=2k2+（k-2）（k3+2）k3＼5（k-2）2（k2+1）k2-1.
令C′（k）=0，解得函数的驻点为k=-43.当k<-43时，C′（k）<0，函数y=C（k）严格递减；当-43
解法2：如图4，作△OAB中∠O所对的旁切圆C，旁切圆C与OA，OB的延长线及AB分别相切于点M，N，D.不妨设旁切圆C的半径为r.此时△AOB的周长为
y=|OB|+|OA|+|DB|+|DA|
=|OB|+|OA|+|BN|+|AM|
=|OM|+|ON|
=2r.
求△AOB的周长最小值等价于求旁切圆C的半径r的最小值.
设l：y-2=k（x-1），旁切圆C：（x-r）2+（y-r）2=r2.
因为直线l与圆C相切，所以|kr-r-k+2|k2+1=r.
整理，可得关于k的一元二次方程
（2r-1）k2+2（r-1）（r-2）k+4r-4=0，
其判别式Δ=［2（r-1）（r-2）］2-4（2r-1）＼5（4r-4）≥0，即r2（r-1）（r-5）≥0.
解得r≥5（r≤1时，圆C为内切圆，舍去）.
当r=5时，可得k=-43，此时直线l的方程为4x+3y-10=0.
如图5所示，旁切圆的方程为（x-5）2+（y-5）2=52，圆C恰过点P（1，2）.
变式题的结论显示，当△AOB的周长最小时，△OAB中∠O所对的旁切圆恰过点P.
这是偶然的吗？让我们进一步探究.
结论1 如图6，设定点P在直角∠XOY内，作过点P的直线分别交OX，OY于A，B两点，当△OAB的周长最小时，△OAB中∠O所对的旁切圆恰过点P.
证明：如图7，以O为坐标原点，OX为x轴，OY为y轴，建立平面直角坐标系.作△OAB中∠O所对的旁切圆C，旁切圆C与OA，OB的延长线及AB分别相切于点M，N，D.不妨设旁切圆C的半径为r.此时△AOB的周长为
y=|OB|+|OA|+|DB|+|DA|=|OB|+|OA|+|BN|+|AM|=|OM|+|ON|
=2r.
求△AOB的周长最小值等价于求旁切圆C的半径r的最小值.
设点P（a，b），直线l：y-b=k（x-a），
旁切圆C：（x-r）2+（y-r）2=r2.
因为直线l与圆C相切，所以|kr-r+b-ka|k2+1=r.
整理，可得关于k的一元二次方程
a（2r-a）k2+2（r-a）（r-b）k+2br-b2=0，
其判别式Δ=［2（r-a）（r-b）］2-4a（2r-a）＼5（2br-b2）≥0，
即r2-2（a+b）r+a2+b2≥0.
解得r≥a+b+2ab（r≤a+b-2ab时，圆C为内切圆，舍去）.
当r=a+b+2ab时，△OAB的周长取得最小值2（a+b+2ab）.
故旁切圆C的方程为［x-（a+b+2ab）］2+［y-（a+b+2ab）］2=（a+b+2ab）2.
将点P（a，b）代入圆C方程的左边，化简得
（b+2ab）2+（a+2ab）2
=a2+b2+4ab+22ab（a+b）
=（a+b+2ab）2.
故旁切圆恰好过点P.
不难发现变式题为结论1的特殊情况，由此可见变式题的结论并非偶然.
其实，对结论1还可以作进一步推广：
结论2 如图8，设定点P在定角∠X′OY′内，作过点P的直线分别交OX′，OY′于A，B两点，当△OAB的周长最小时，△OAB中∠O所对的旁切圆恰过点P.
证法1：如图9，以O为坐标原点，OX′为x轴，OX′的垂线为y轴，建立平面直角坐标系.作△OAB中∠O所对的旁切圆C，切点分别为D，M，N.设旁切圆C的半径为r，定角∠X′OY′=2θ，此时△AOB的周长为
y=|OB|+|OA|+|DB|+|DA|=|OB|+|OA|+|BN|+|AM|=|OM|+|ON|
=2rcot θ.
求△AOB的周长最小值等价于求旁切圆C的半径r的最小值.
设点P（a，b），直线l：y-b=k（x-a），旁切圆C：（x-rcot θ）2+（y-r）2=r2.因为直线l与圆C相切，所以krtan θ-r+b-kak2+1=r，整理得关于k的一元二次方程
（r2cot2θ-2racot θ+a2-r2）k2+（2brcot θ-2r2cot θ+2ar-2ab）k-2br+b2=0，
其判别式
Δ=［2brcot θ-2r2cot θ+2ar-2ab］2-4（r2cot2θ-2racot θ+a2-r2）（-2br+b2）≥0.
由此可解得r≥atan θ+btan 2θ+tan 2θ＼5b2（1-cot2θ）+2abcot θ
（r≤atan θ+btan 2θ-tan 2θb2（1-cot2θ）+2abcot θ时，圆C为内切圆，故舍去）.
由此可知，当r=atan θ+btan 2θ+tan 2θ＼5b2（1-cot2θ）+2abcot θ时，
△OAB的周长取得最小值2（a+btan θ+tan θb2（1-cot2θ）+2abcot θ），易得此时的旁切圆C的方程.
由于将点P（a，b）代入圆C方程的计算难度一般，但篇幅较大，此处省略.经过笔者验证，点P（a，b）满足旁切圆方程，结论得证.
图10
证法2：如图10所示，已知P为定点，∠X′OY′为定角，当△OAB中∠O所对的旁切圆恰过点P时，旁切圆为定圆，切点S，T也为定点.过点P作异于AB的直线分别交OX′，OY′于A′，B′两点.此时，在劣弧ST上必存在一点Q，过点Q可作圆C的切线分别交OX′，OY′于M，N两点，且满足MN∥A′B′.此时△OAB的周长=△OMN的周长=|OS|+|OT|=2|OT|，显然，△OMN的周长小于△OA′B′的周长，即△OAB的周长小于△OA′B′的周长，结论得证.
参考文献：
［1］黄振浩.一道课本例题的多方位探究［J］.中学数学杂志，2019（1）：33-34.
