数列试题评析，复习备考引领

张伟芳

近几年的数学（全国卷）高考数列试题，突出数学知识本质，重视理性思维，坚持素养导向、能力为重的命题原则，突出数学学科和数列知识本身的特点，发挥了高考数学学科的选拔功能，在考查学生对数列知识的理解运用的基础上，颇具特色，也为高三复习备考了指明方向.

1 重视基础数列，盯紧基本量法

数列是研究按一定次序排列的一列数的规律，是一类特殊的函数，也是研究其他函数的工具.其重点研究内容有递推关系、通项公式以及前n项和公式等，特别是两类重要的基本数列：等差数列、等比数列.

在等差（等比）数列中，我们称a1和公差d（公比q）为基本量.如果给出的是等差数列或者等比数列，解这类问题的基本思想就是利用基本公式（通项、中项、前n项和公式等）、基本方法（公式法）、基本思想（方程思想、函数思想），根据已知条件建立并求解方程（组）、不等式.在等差（等比）数列中，包含a1，公差d（公比q），n，an，Sn这五个量，可知三求二.在运用等比数列前n项和公式时，要按q=1和q≠1进行分类讨论.

同时，数列问题一般具有“新、巧、活”的特点，若能充分挖掘数列的结构特征，从等差（等比）数列的性质出发求解可以简化计算.这些性质一般是整体运算的体现，不用性质也可以求解.

例1  （2023年新高考Ⅱ卷·8）记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4=-5，S6=21S2，则S8=（  ）.

A.120

B.85

C.-85

D.-120

解法1：基本量法.

依题知，显然等比数列的公比q≠1，

由S6=21S2，利用求和公式可以得到a1（1-q6）1-q=21×a1（1-q2）1-q，可得1-q6=21（1-q2），

展开有（1-q2）＼5（1+q2+q4）=21（1-q2），即（1-q2）（q4+q2-20）=0，亦即（1-q2）（q2-4）（q2+5）=0.

解得q=-1或q2=4或q2=-5<0（舍去）.

当q=-1时，有S4=a1（1-q4）1-q=0，与条件S4=-5矛盾，也舍去，故q2=4.

由于S4=a1（1-q4）1-q=-5，所以S8=a1（1-q8）1-q=a1（1-q4）1-q（1+q4）=-5×（1+42）=-85.

故选：C.

解法2：基本性质法.

依题知，在等比数列{an}中，有S2n=Sn+qnSn.

结合S6=21S2，可得S6=S3×2=（1+q2+q4）S2=21S2，则q4+q2-20=0，解得q2=4.余略.

点评：本题主要考查（解法1）等比数列前n项和公式及整体思想的简单应用，解题关键是把握S4，S8的关系，从而减少相关量的求解，简化运算；（解法2）还可以根据等比数列的前n项和的性质，通过列方程的形式避开基本量的求解，简化运算.本题考查学生数学运算、逻辑推理核心素养.

利用等差、等比数列的通项公式和性质及前n项和公式的过程中，要重视一些“二级结论”成立的前提条件，不能忽视条件的限制，避免学生解题时出现错误.特别是解数列客观题时，灵活运用等差、等比数列的性质往往可以起到化繁为简、化腐朽为神奇的效果.因此，在等差、等比数列的复习教学中，教师应当重视简化运算的方法技巧，这样学生在考试中才会得心应手.

2 注重核心考点，体现素养导向

不少教师认为2024年高考对数列的考查“不够创新”，几个试题只涉及了最简单的通项公式和求和公式及一些求和公式性质的考查，但这不影响对学生综合思维能力的考查，与套模式的“能力题”相比，2024年的题目更新、更活、更能选拔出思维敏捷的考生，命题难度把握得比较适中.

例2  （2023年新高考Ⅰ卷·7）记Sn是数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：Snn为等差数列，则（  ）.

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

解析：若{an}为等差数列，设其公差为d，则有Sn=na1+n（n-1）2d=12dn2+a1-12dn，

可得Snn=12dn+a1-12d，

而Sn+1n+1-Snn=d2为常数，

故Snn为等差数列，则甲是乙的充分条件.

反之，若{Snn}为等差数列，则有Sn+1n+1-Snn=nSn+1-（n+1）Snn（n+1）=nan+1-Snn（n+1）为常数.

设常数t=nan+1-Snn（n+1），则Sn=nan+1-n（n+1）t，

Sn-1=（n-1）an-n（n-1）t（n≥2），

两式对应相减，可得an=nan+1-（n-1）an-2nt，即an+1-an=2t为常数.

当n=1时，上式也成立，

故{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件.

综上分析，可知甲是乙的充要条件.

故选：C.

点评：本题以等差数列为载体，考查充分条件和必要条件以及对等差数列定义的理解，考查学生的逻辑推理核心素养.

3 创设实例情境，体现应用价值

新高考改革命题强调“核心素养”，应用题或者数学文化题是考查数学建模素养的最好载体，特别是在数列模块中创设实例应用情境，在历年高考全国卷中也都有所涉及.

例3  （2022年高考数学新高考Ⅱ卷·3）中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现.如图是某古建筑物的剖面图，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，DD1，CC1，BB1，AA1是脊，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的脊步的比分别为DD1OD1=0.5，CC1DC1=k1，BB1CB1=k2，AA1BA1=k3，若k1，k2，k3是公差为0.1的等差数列，直线OA的斜率为0.725，则k3=（  ）.

A.0.75

B.0.8

C.0.85

D.0.9

解析：设OD1=DC1=CB1=BA1=1，则有CC1=k1，BB1=k2，AA1=k3，

依题可得k3=k1+0.2，k3=k2+0.1，

结合比例性质有DD1+CC1+BB1+AA1OD1+DC1+CB1+BA1=0.725，即0.5+k1+k2+k34=0.725，解得k3=0.9，故选择答案：D.

2022年新高考Ⅱ卷第3题（此略）以古代建筑为数学文化背景，考查等差数列以及斜率等基础知识的基本运用.以实例场景为问题背景，从2017年新高考改革以来，全国卷就开始考查此类实例情境的应用问题，值得关注.

4 突出基础本质，凸显通性通法

数列的基础本质还是与两个基本数列相关的通项公式、前n项和公式等问题，以及一些相关的基本性质，解答题也往往是围绕这些重点知识点设置与考查.在具体解答过程中，还是强调通性通法，以最基本的方法来解决最基本的问题，这往往是数列试题设置的本质所在.

例3  （2023年全国甲卷理科·17）已知数列{an}中，a2=1，设Sn为{an}前n项和，2Sn=nan.

（1）求{an}的通项公式；

（2）求数列{an+12n}的前n项和Tn.

解析：（1）依题知2Sn=nan，a2=1.

当n=1时，2a1=a1，即a1=0；当n=3时，2（1+a3）=3a3，即a3=2；

当n≥2时，有2Sn-1=（n-1）an-1，所以2（Sn-Sn-1）=nan-（n-1）an-1=2an，

化简可得（n-2）an=（n-1）an-1，则当n≥3时，可得anan-1=n-1n-2.

所以an=anan-1·an-1an-2·……·a3a2·a2=n-1n-2·n-2n-3·……·21·1=n-1.

上式中当n=2或n=1时，a2=1，a1=0也适合，所以{an}的通项公式为an=n-1，n∈N*.

（2）由（1）知，an=n-1，n∈N*，可得an+12n=n2n，

所以Tn=12+222+323+……+n2n，可得12Tn=122+223+324+……+n2n+1.

以上两式对应相减，可得12Tn=12+122+123+124+……+12n-n2n+1=121-12n1-12-n2n+1=1-12n-n2n+1.

所以Tn=2-22n-2n2n+1=2-2+n2n，n∈N*.

点评：本题看似难度不大，但对学生的数学运算能力以及构造新数列思维有一定的要求.第（1）问看似常规，但解题过程中充满思辨，间接考查了利用累乘法求等数列通项的思维过程.

5 总结试题特征，挖掘命题特点

（1）注重对等差、等比数列通项公式、求和公式及一些重要性质的考查.

（2）注重等差、等比数列与数学文化相结合，本质还是考查等差、等比数列通项公式与求和公式的应用.

（3）新定义下的数列题目及数列与三角函数、集合交汇的综合试题，是新高考的热点题型.