2023年命题比赛获奖论文之八:一道解析几何试题的命制历程

卢恩良

1 试题呈现

（原创试题）已知椭圆E：x216+y24=1，A为E的左顶点，直线l经过点M（-4，-4）.

（1）当直线l与椭圆E相切时，求两切点所在直线的方程.

（2）若直线l与E交于C，D不同两点，动直线x=t与直线AC，AD分别交于点R和S，Q为线段RS的中点，求|MQ|的最小值.

2 命制过程

要想命制一道高质量的解析几何试题，研究高考真题是一个不错的途径.翻阅近几年高考试题中的解析几何大题，发现定点、定值问题备受命题者青睐，其中2017年新课标全国卷Ⅰ理数第20题与2022年新课标全国乙卷理数第20题引起了笔者的关注，两道试题之间貌似有着一些联系.

题1  已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3-1，32，P41，32中恰有三点在椭圆C上.

（1）求C的方程.（2）设直线l不过经过点P2且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1，证明：l过定点.

题2  已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A（0，-2），B32，-1两点.

（1）求E的方程.（2）设过点P（1，-2）的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足MT=TH.证明：直线HN过定点.

两道试题第（2）问都是证明直线过定点，题1是典型的“手电筒模型”.对题2作进一步研究，发现该题与极点极线知识有关，直线AB是点P对应的极线.在题1的基础上，笔者初步设计了题3.

题3  已知椭圆C：x24+y2=1，P为C的上顶点，点M（2，-1），直线l与C交于A，B两点（A在B的左侧），且满足kPA+kPB=-1.

（1）证明：A，B，M三点共线.（2）连接MP与C交于另一点D，记直线AD，BP的交点为Q，求Q的轨迹方程.

设计思路：以题1为基础，将题1中的第（2）问改编为证明三点共线，降低证明难度；第（2）问以极点极线知识为背景，考查椭圆内接四边形的性质，其对角线的交点Q在点M对应的极线y=x2-1上.

反思：题3第（1）问旨在降低难度，思考后担心学生作答时，采用kMA-kMB=0的方法，有“混分”之嫌；另有教师指出第（2）问极点极线背景过于明显，学生可能会直接“猜出”答案.在上述基础上，笔者对题3进行修改，得到以下题4.

题4  已知椭圆C：x24+y2=1，P为C的上顶点，过点M（2，-1）的直线l与C交于A，B不同两点（A在B的左侧），记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2.

（1）求k1+k2的值.（2）连接MP，与C交于另一点D，记直线AD，BP的交点为Q，求|MQ|的最小值.

设计思路：将试题第（1）问修改为求值，与2022年新高考Ⅰ卷第21题类似，计算虽有难度，但旨在考查通性通法和数学运算素养.第（2）问将求点Q轨迹改为求|MQ|的最小值，需要学生主动思考点Q的轨迹，对学生能力提出了更高的要求.

反思：笔者试做第（2）问后发现，点D坐标不是整数，使得在利用直线AD和直线BP求解点Q坐标时比较困难.虽然第（1）问考查了学生的运算素养，但没有为学生完成第（2）问提供启发，而且两个小问的常规运算量都非常大，学生极不容易得分.因此，笔者重新设计了试题，得到以下题5.

题5  已知椭圆E：x216+y24=1，A，B分别为E的右顶点和下顶点，直线l经过点M（-4，-4）.

（1）当l与E相切时，求两切点所在直线的方程.

（2）当l与E交于C，D不同两点（C在D的左侧）时，记直线CA，DB的交点为Q，求|MQ|的最小值.

设计思路：第（1）问以直线与椭圆相切为背景，让学生求解“切点弦”方程，实际就是点M对应的极线，也即第（2）问中点Q的轨迹.第（1）问为第（2）问做了铺垫，为第（2）问求点Q的轨迹提供了思考方向.

为了检测试题难度，笔者把试题当做某天额外作业布置下去，第二天询问完成情况.由于试题第（1）问较为常规，因此笔者主要调查第（2）问的完成情况，全班54人只有三位同学把第（2）问做出来了，而且运算难度很大.基于上述调查，重新设计试题得到以下题6.

题6  已知椭圆E：x216+y24=1，A为E的左顶点，直线l经过点M（-4，-4）.

（1）当直线l与椭圆E相切时，求两切点所在直线的方程.

（2）若直线l与E交于C，D不同两点，动直线x=t与直线AC，AD分别交于点R和S，Q为线段RS的中点，求|MQ|的最小值.

设计思路：以2022年全国乙卷理数第20题为参考，重新设计第（2）问.构造动直线x=t，可得点Q在点M对应的极线上，即第（1）问中的直线.点Q坐标的计算难度不大，关键在于发现点Q的坐标关系从而得出轨迹方程.

3 试题分析

试题第（1）问相对比较基础，但运算量大.既可以从常规思路（图1）出发，也可基于二级结论进行运算（图2），下面以思维导图的形式展示思路.

试题第（2）问既可从常规思路出发，耐心运算，求得点Q的坐标，也可基于“手电筒”模型，大胆猜想，具体思维导图如图3和图4所示.

4.1 第（1）问的解答

解法一：由题易知x=-4是椭圆的切线，切点为（-4，0）.设另一条切线为y=kx+m，切点为P.联立y=kx+m，x2+4y2-16=0，消去y，得（1+4k2）x2+8mkx+4m2-16=0，Δ=16（16k2-m2+4）=0，则m2=16k2+4.又m-4k=-4，解得k=38，m=-52，所以由2xP=-8mk1+4k2，得xP=125，则yP=-85.计算得两切点所在直线的斜率为-14，所以两切点所在直线方程为x+4y+4=0.

解法二：设另一切点P的坐标为（m，n），则另一条切线MP的方程为y=n+4m+4（x+4）-4.联立y=n+4m+4（x+4）-4，x2+4y2-16=0，因为相切，所以Δ=0，整理得m+4n+4=0.因此，两切点（-4，0），（m，n）都满足方程x+4y+4=0，即两切点所在直线方程为x+4y+4=0.

解法三：设另一切点为P（m，n），依题意则有m2+4n2-16=0，kMP·kOP=-14，可得P125，-85.计算得，两切点连线斜率为-14，所以两切点所在直线方程为x+4y+4=0.

另解：由kMP·kOP=n+4m+4·nm=-14，得m2+4n2+4m+16n=0.结合m2+4n2-16=0，得m+4n+4=0.因此，两切点（-4，0），（m，n）都满足方程x+4y+4=0，即两切点所在直线方程为x+4y+4=0.

解法四：根据切点弦方程可得两切点所在直线方程为-4x16+-4y4=1，即x+4y+4=0.

4.2 第（2）问的解答

解法一：设直线CD的方程为y=kx+m，则m=4k-4.由y=kx+m，x2+4y2-16=0，得（1+4k2）x2+8mkx+4m2-16=0.设C（x1，y1），D（x2，y2），所以x1+x2=32k-32k21+4k2，x1x2=64k2-128k+481+4k2.直线AC的方程为y=y1x1+4（x+4），得yR=（t+4）（kx1+4k-4）x1+4.同理，可得yS=（t+4）（kx2+4k-4）x2+4.因为Q是RS的中点，所以可得

2yQ=yR+yS=（t+4）2k-4x1+4-4x2+4.

又因为1x1+4+1x2+4=4k+18，所以有2yQ=-xQ+42.故点Q的轨迹方程为x+4y+4=0，因此|MQ|min=161717.

解法二：同解法一，Qt，-t+44，则|MQ|2=1716t+52172+25617，所以|MQ|min=161717.

解法三：设直线CD的方程为y=kx+m，则m=4k-4.由y=kx+m，x2+4y2-16=0，得（1+4k2）x2+8mkx+4m2-16=0.设C（x1，y1），D（x2，y2），所以x1+x2=32k-32k21+4k2，x1x2=64k2-128k+481+4k2.因为kAC+kAD=y1x1+4+y2x2+4=-12，所以kAR+kAS=-12.因为Q为RS的中点，所以2kAQ=2yQt+4=yRt+4+ySt+4=kAR+kAS，则kAQ=-14，于是可求得点Q的轨迹方程为x+4y+4=0，因此|MQ|min=161717.

解法四：设直线CD方程为m（x+4）+ny=1，将椭圆方程x216+y24=1化为（x+4）2+4y2-8（x+4）=0，结合m（x+4）+ny=1，得（x+4）2+4y2-8（x+4）＼5［m（x+4）+ny］=0，整理得4yx+42-8n·yx+4+1-8m=0，得kAC+kAD=2n.又CD过点M（-4，-4），所以-4n=1，即n=-14，则kAC+kAD=2n=-12.下同解法二.

4 试题实际测试情况

为了检测试题的效果，笔者把该试题作为2023届高三2月17日的理科周考试题考查学生，具体情况如下：

该试题放置在理科周考卷的第19题，第（1）问5分，第（2）问7分，共764人参考，年级均分为1.68分，最高得分11分，得6分及以上的同学共30人.从得分情况来看，作答效果不好，极大地出乎笔者的意料，甚至有点不敢相信，大多数学生第（1）问都没有处理好.经过分析思考后，发现原因是多方面的.本次周考试卷整体难度较大，选择填空题花费了学生较多时间，导致学生后面解答题时间不够；学生运算求解能力较弱，数学运算素养较低；审题不明，错误理解题意，把第（1）问错看成求解切线方程.

本题由笔者独自完成阅卷，从批阅情况来看，学生不能正确选择运算策略，无法快速准确完成运算求解.第（1）问在设直线l的方程时，大部分同学设成y=k（x+4）-4的形式，个别同学设成x=m（y+4）-4的形式，导致和椭圆方程联立时运算量大，在计算方程判别式Δ时望而却步，不敢继续运算.圆锥曲线试题涉及字母运算与数值运算时，直线方程形式的选择对运算量有着很大的影响，合理选择方程形式能充分体现学生的数学运算素养.

个别学生直接使用二级结论（椭圆切点弦方程或椭圆切线方程）作答，但也只是少数学生，这充分说明进行圆锥曲线复习教学时，对双切线问题没有很好地深入拓展，导致学生无法得出答案，使用常规方法硬算更是无从谈起.

5 命题体会

通过参加本次命题比赛，笔者有很大的收获.命制一道高质量的试题并非易事，稍有不慎，命制的试题就会出问题.命题是一次由内而外的工作，需要站在更高的视角，然后从“接地气”的角度去解答试题，要符合学生的思考方式和习惯.命题的过程不仅仅是出题和解题的过程，更是将问题指向深入研究的过程.因此，命制高质量的试题需要深厚的数学功底，良好的思维品质，要求命题者不断学习，不断提升自身的数学素养.

研究高考真题，感悟高考命题人的命题思路，感悟各种命题手法，更能促进一线教师的成长.一线教师在日常教学中，要注重积累经典试题，灵活地在课堂教学中加以改编应用，既要善于收集素材，也要善于加工和应用素材.总之，命题工作，任重道远，我们一直在路上.