“总分总”单元整体视角下高中数学课堂架构与思考

盛其丽

课题信息：平度市教育科学“十四五”规划2023年度教师专项课题“单元整体视角下高中数学课堂教学的实践研究”，课题

批准号为 PDJK2023D008.

摘要：单元整体教学自《普通高中数学课程标准（2017年版）》发布后就备受关注，但通过“单元整体”的教学思想设计一节课的研究还比较少.文章通过“总分总”方式，即通过总体建构学习路径、分步解构学习活动和总体重构学习结果三个环节架构一节课的教学，让学生从“学习”转向“学会学习”，提升分析问题和解决问题的能力，发展数学核心素养.

关键词：“总分总”；高中数学；核心素养

学科核心素养的发展离不开超越课时教学的、以真实的整合性现实情境或主题统领的单元整体教学［1］.为了有效避免知识的碎片化和割裂，还应将“单元整体”的教学思想落实到每章、每节的教学中［2］.课程需要单元整体架构，具体到一节课也需要用“单元整体”教学思想进行架构，只有这样才能让学生学到的知识更加系统、条理，从而发展核心素养.笔者在探索中发现，可以通过“总分总”方式架构每一节的课堂教学.“总分总”方式由总体建构学习路径、分步解构学习活动和总体重构学习结果三环节构成.下面以“函数y=Asin（ωx+φ）的图象”为例，详细介绍每个环节是如何设计与操作的.

1 课堂实录

1.1 总体建构学习路径

教师：上节课我们建构了形如y=Asin（ωx+φ）（其中A>0，ω>0）的函数模型，下面我们应该研究这个函数的什么内容？

学生（全体）：图象与性质.

教师：从解析式来看，函数y=sin x就是函数y=Asin（ωx+φ）在A=1，ω=1，φ=0时的特殊情形.能否借助我们熟悉的函数y=sin x的图象与性质研究参数A，ω，φ对函数y=Asin（ωx+φ）的影响呢？

学生（全体）：应该可以.

教师：因为我们习惯利用从特殊到一般的思路进行研究，但函数y=Asin（ωx+φ）中含有三个不同参数，你认为应按怎样的思路研究呢？以前研究过含有参数的函数吗？

学生1：类比以往研究二次函数的思路，可以通过控制变量法，先让A，ω固定，φ变化，研究φ对函数的影响.

教师板书：y=sin x→y=sin（x+φ）→y=sin（ωx+φ）→y=Asin（ωx+φ）.

设计意图：让学生类比熟悉的二次函数图象的研究路径总体设计函数y=Asin（ωx+φ）图象的研究路径，即先从熟悉的函数y=sin x的图象入手，之后通过控制变量，按照先研究参数φ的影响，再研究ω的影响，最后研究A的影响的思路进行研究.只有总体建构了研究路径，后面的研究才有方向.

1.2 分步解构学习活动

1.2.1 共同探究，明晰研究思路

探索φ对y=sin（x+φ）图象的影响.

教师：不妨取A=1，ω=1，当参数φ变化时，函数y=sin（x+φ）的图象有什么变化？如何描述参数φ的变化对函数y=sin（x+φ）图象的影响？

学生2：取φ=0和φ=π6时，函数y=sin（x+φ）的解析式从y=sin x变为y=sinx+π6，图象是将y=sin x的图象

向左平移π6个单位长度而得到.

教师：图象是由点构成的，因此图象的变化实际上是图象上点的变化，而根据之前学过的三角函数的定义，图象上的点是由筒车做匀速圆周运动得来的，所以我们考虑，能否借助筒车的匀速圆周运动来解释这种变化？考虑：

（1）筒车的匀速圆周运动中，A=1，ω=1，φ取不同值的物理意义是什么？

（2）设以Q0为起点的动点到达圆周上任意一点P的时间为x s，在单位圆上将起点Q0绕点O1旋转π6到点Q1，则以Q1为起点的动点相继到达点P需要多长时间？

（3）设点P对应的函数y=sin x图象上的点F的坐标为（x，y），则点P对应的函数y=sinx+π6图象上的点G的坐标是多少？

（4）你能借助点P在两个函数图象上对应点的变化来解释函数图象的变化吗？

教师追问：我们通过几何画板演示一下，起点Q0绕点Q1旋转－π6，π3，－π3，对应的函数图象的变化.根据上面的研究，你能归纳出φ对函数y=sin（x+φ）图象影响的一般化结论吗？

学生3回答.

教师：很好！请做一下牛刀小试1.

牛刀小试1：把y=sin x图象上的所有点向右平移π6个单位长度，可以得到哪个函数的图象？并画出该函数的图象.

教师：谁能总结一下上面问题的研究思路？

学生4：先从φ的物理意义，即初始位置入手，解释点P在两个函数图象上对应点的变化导致函数图象的变化，然后给出φ的其他特殊值，归纳出φ对函数y=sin（x+φ）图象影响的一般化结论.

教师：总结得很条理清楚.也就是说研究思路为“确定函数解析式中要研究的参数→根据参数在圆周运动中的物理意义→得到图象上对应点的坐标的变化→给出函数图象的变换情况”.

设计意图：由于学生并不熟悉研究思路，因此通过φ对函数y=sin（x+φ）图象的影响的研究以及教师的引导，师生以共同探究的形式完成，让学生了解研究某个参数对函数y=sin（x+φ）图象的影响的研究思路，为后续研究另外两个参数对函数图象的影响搭建支架.

1.2.2 小组合作，强化研究思路

探索ω（ω>0）对y=sin（ωx+φ）图象的影响.

教师：探索完φ对y=sin（x+φ）图象的影响，类比刚才的研究思路，你能给出当参数ω（ω>0）变化时，函数y=sin（ωx+φ）图象变化的研究思路吗？

学生独立思考1分钟，之后小组合作1分钟，小组代表发言.

教师：根据上面的研究，请做下面的牛刀小试2.

牛刀小试2：为了得到函数y=sin（3x－π6）的图象，只要把y=sin（x－π6）的图象上所有的点横坐标，纵坐标.

生5：横坐标缩短到原来的13，纵坐标不变.

设计意图：通过师生共同探究φ对y=sin（x+φ）图象影响的过程，发现学生要自己独立完成此研究还是有困难的，所以探究ω（ω>0）对y=sin（ωx+φ）图象的影响时采用了小组合作的形式，这样既避免了学生独立完成有困难带来的尴尬，也避免了师生再次共同探究带来的重复，同时还在原来共同研究的基础上强化了问题的研究思路，也为后续学生独立探究A（A>0）对y=Asin（ωx+φ）图象的影响做好了铺垫.

1.2.3 自主探究，应用研究思路

探索A（A>0）对y=Asin（ωx+φ）图象的影响.

教师：现在，你能给出当参数A（A>0）变化时，函数y=Asin（ωx+φ）图象变化的研究思路吗？

学生独立思考2分钟并回答.

教师：根据刚才的探究，请做下面的牛刀小试3.

牛刀小试3：把y=sin3x－π6的图象上所有的点，可以得到函数y=2sin3x－π6的图象.

学生6：纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变）.

设计意图：经历师生共同探究φ对y=sin（x+φ）图象的影响的研究思路的梳理，以及小组合作探究ω（ω>0）对y=sin（ωx+φ）图象的影响研究思路的强化，学生已经能够独立自主地运用前面学习的研究思路探究A（A>0）对y=Asin（ωx+φ）图象的影响，将学会的研究思路及时地应用到后续的知识学习中，在学会知识的同时也学会研究问题的基本思路.

1.3 总体重构学习结果

教师：同学们能总结如何从正弦曲线y=sin x出发，通过图象变换得到y=Asin（ωx+φ）的图象吗？

学生7回答.

教师：实际上就是我们刚才研究的三个参数对y=Asin（ωx+φ）图象影响的结合.最后，同学们来应用一下，请做例1.

例1  画出函数y=2sin3x－π6的简图.

学生8：就是我们在牛刀小试3画的函数的图象.

教师：对，上述3个牛刀小试画图的过程就是画函数y=2sin3x－π6简图的过程.三位同学的间接合作已经完成了例1.还有其他方法吗？

学生9：也可以用以前所学的“五点”作图法来画图.

教师：很好.课下请同学们继续思考还能按照其他图象变换顺序画出函数y=2sin3x－π6的简图吗？

设计意图：总体建构研究思路，并且通过不同活动形式分步解构学习内容后，接下来需要将前面解构的零散的知识点进行重构并加以综合应用.因此，先让学生整体梳理参数A，ω，φ对函数y=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0）图象的影响，再让学生应用梳理的知识解决例1.当然，例1的解决实际上在分步解构环节的三个牛刀小试中已经完成.这样，不仅在理论上让学生学会了解决这类问题的思路，还从实践上教会了学生如何操作，大大分解了难点，突出了重点.

2 几点思考

2.1 整体把握研究路径

研究一个问题前，需要先弄清楚研究问题的路径，只有从整体上建构了研究路径，后续才能一步一步进行研究.本节课研究三个参数对函数y=Asin（ωx+φ）图象的影响，原则上按照怎样的顺序研究都是一样的，但为了突出研究的主线，让学生能熟练操作参数A，ω，φ对函数y=Asin（ωx+φ）图象的影响的研究路径，教师可以说“不妨按照φ，ω，A的顺序进行研究”.避免因为研究顺序的不同给学生带来障碍，达到“削枝强干”的目的.

2.2 活动递进，目标进阶

明确研究路径之后，接下来就是解构研究路径，通过一个个活动逐个突破，从而达到教会学生研究思路的目的.由于学生从来没有接触过类似的研究思路，因此研究φ对y=sin（x+φ）图象的影响时，采用教师引导、师生共同探究的活动形式，目的是先教会学生研究某个参数对函数图象影响的思路.研究ω（ω>0）对y=sin（ωx+φ）图象的影响时，由于学生刚学会研究思路，还不能完全独立完成研究，因此采用小组合作的活动形式，目的是强化学生研究参数对函数图象影响的思路.研究A（A>0）对y=Asin（ωx+φ）图象的影响时，学生已经经历了师生共同研究、小组合作，对研究思路已经很熟悉了，所以采用让学生自主探索的活动形式，目的是真正教会学生研究问题的思路.通过不同的活动形式，达到对学生培养目标的不断进阶，让学生分析问题和解决问题的能力逐步增强.

2.3 由分到合，加深认知

研究完参数A，ω，φ对函数y=Asin（ωx+φ）图象的影响后，接下来需要将刚才逐个击破的知识点进行整合，再从总体上重新构建学生对所学知识的理解与认识.因此除了将知识点综合外，也可以打乱参数的顺序，让学生体会参数顺序的变化对函数图象的影响，从而让学生构建的知识更牢靠.除了知识的重构外，还有练习的重构.比如例1，画出函数y=2sin3x－π6的简图，实际上将三个牛刀小试合起来，就完成了例1.这样的好处，一是避免了由于参数顺序不同给学生研究带来的障碍，从而无法突出本节课的主线；二是可以留出更多时间让学生采用第二种方法，即“五点”作图法完成，让学生对比两种方法的优劣；三是让学生课后研究参数顺序不同带来的不同变换方式，既增加了本题的开放性，又留给了学生更多的时间将这个问题研究透彻.通过对知识和练习的由分到合，不断加深学生对问题的认知，让学生感觉像爬阶梯一样不断地收获新知，产生获得感与成就感.

“总分总”方式无疑可以使建构的知识更趋向于结构化，并且学生在学习知识的同时，还学会了学习知识的方法与路径，从而学会用“专家思维”思考问题，而不是仅仅记住“专家结论”.这样也才能让学生真正地从“学习”走向“学会学习”，切实发展数学核心素养.

参考文献：

［1］周初霞，王红梅，石秀芹.“总—分—总”式单元“学习图谱”的实践研究［J］.天津师范大学学报（基础教育版），2022（5）：53-58.

［2］谢树亮.“总-分-总”的教学流程避免知识碎片化［J］.中学生物教学，2018（15）：66.