2023年讲题比赛获奖论文之九:用思维分析揭示2023年天津卷第20题
2024-06-23高文娟
高文娟
2023年天津卷第20题考查数列与不等式结构关系，运用函数思想解决问题.题目解法多样，思维开源，充分考查学生的数学素养和思维分析能力.
1 题目：2023年天津卷第20题
已知函数f（x）=1x+12ln（x+1）.
（1）求y=f（x）在x=2处切线的斜率；
（2）当x>0时，证明：f（x）>1；
（3）证明：56 2 分析与思维导图 2.1 思路分析 第（1）问简单，本文从略. 第（2）问证明要观察结构，化简到合适结构再运算，也就是对构造函数的能力有较高要求.若令g（x）=1x+12ln（x+1）-1或g（x）=（x+2）＼5ln（x+1）-2x，则其导数中含有“ln（x+1）”，不如选择变形为g（x）=ln（x+1）-2xx+2，这就是本题化简的本质（“对数单身”）！这一点在以往高考题中经常出现. 本题第（3）问的命题背景源自大学数学专业《数学分析》的“斯特林公式”，但是该公式只是它的命题背景，我们无需知道，即可用高中知识解决它.当然，本题也深刻考查了学生的数学核心素养和思维分析能力.对于第（3）问：（指向最简单与最本质的方法）观察发现本题属于数列型不等式，所以解答时可以结合数列知识.先看右边不等式，要证ln（n！）-n+12＼5ln n+n≤1， 设该不等式左侧为an，即证an≤1， 不难发现a1=1，则即证an≤a1，猜想an+1-an≤0，因此解题思路就出来了，证明过程用到第（2）问的结论.再看左边不等式，不等号方向决定需要构造f（x）<1+h（x），因为要证 an-a1=（a2-1）+（a3-a2）+……+（an-an-1）=∑n-1i=11-f1i>-16， 可联想∑n-1i=1161i+1-1i>-16，等等，也可联想泰勒展开、帕德逼近、斯特林公式等拓展知识结论，但是都需要具体运算后才能发现是否可行.相对来讲，后面给出的利用数列知识、求和思想的方法，对分析能力的要求更低，但是运算量较大.拓展知识对于培优生可以使用，但是对绝大部分学生而言，拓展知识的解法并不能让其看到解题本质即思维的分析，所以建议教学中以初等数学知识方法为主. 2.2 思维导图 第（2）问的思维导图（如图1）： 第（3）问需证明的是数列型不等式，解题时可根据结构特征选择适当的数列知识解决问题，也可采用证明不等式问题常用的数学归纳法及放缩法. 第（3）问证明右边不等式的思维导图（如图2）： 第（3）问证明左边不等式的思维导图（如图3）： 3 试题解答与解析 3.1 第（2）问 第（2）问有三种思路，这里只给出思路3的证明. 证明：要证f（x）=1x+12ln（x+1）>1，x∈（0，+∞）， 即证ln（x+1）>2xx+2，x∈（0，+∞）（提示：这一步转化化简恰好是（1，1）阶帕德逼近，重要且必要）. 设函数g（x）=ln（x+1）-2xx+2，x＞0，则 g′（x）=11+x-4（2+x）2=x2（1+x）（2+x）2>0， 所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，有g（x）>g（0）=0. 故当x>0时，f（x）>1，得证. 评析：化简本质“对数单身”. 3.2 第（3）问右边不等式 因为右边不等式带有等号，肯定是不完全放缩. 3.2.1 法1：观察联想，构造数列 证明：设an=ln（n！）-n+12ln n+n，则 an+1-an=1-n+12ln1+1n=1-f1n. 由（2）知f1n>1，所以 an+1-an=1-f1n<0. 所以，数列{an}为单调递减数列，则an≤a1=1. 故ln（n！）-n+12ln n+n≤1，得证. 评析：本质是数列的“律”，对准“ln（n！）”，如何消掉？作差. 3.2.2 法2：分析联想，求和思想，消掉ln（n！） 证明：要证ln（n！）-n+12ln n+n≤1，即证 ln（n！）≤n+12ln n-n+1. 联想∑ni=1ln i≤∑ni=1bi=n+12ln n-n+1. 设an=n+12ln n-n+1，则 当n=1时，b1=a1=0. 当n≥2时， bn=an-an-1=n+12ln n-n-12ln（n-1）-1. 故bn=0，n=1，n+12ln n-n-12ln（n-1）-1，n≥2. 只需证bn≥ln n. 因为b1≥ln 1显然成立，所以即证 n+12ln n-n-12ln（n-1）-1≥ln n，n≥2. 只需证n≥2时，有 n-12ln n-n-12ln（n-1）≥1. 只需证n≥2时，n-12lnnn-1≥1. 只需证n≥2时，n-1+12lnn-1+1n-1≥1. 即证n≥2时，f1n-1≥1. 由（2）知，不等式 f1n-1≥1显然成立，所以有ln（n！）-n+12ln n+n≤1，得证. 评析：观察联想数列前n项和，利用求和思想，求出通项公式，消掉ln（n！）. 3.2.3 法3：求和思想，结合（2）的结论构造ln（n！） 证明：由（2）知f（x）=1x+12ln（x+1）>1，则 n+12ln1n+1=n+12［ln（n+1）-ln n］>1. 当n≥2时，1+12（ln 2-ln 1）>1， 2+12（ln 3-ln 2）>1， ………… n-2+12［ln（n-1）-ln（n-2）］>1， n-1+12［ln n-ln（n-1）］>1. 由累加法可得 n-1+12ln n-［ln（n-1）+ln（n-2）+……+ln 2］>n-1. 所以当n≥2时，n+12ln n-ln（n！）>n-1， 即ln（n！）-n+12ln n+n<1. 又当n=1时，ln（n！）-n+12ln n+n=1， 所以ln（n！）-n+12ln n+n≤1，得证. 3.2.4 法4：观察构造数列，利用“数学归纳法” 具体过程略，可扫后面的二维码查看. 3.3 第（3）问左边不等式 3.3.1 法1：求和思想，平均化拟合 证明：设an=ln（n！）-n+12ln n+n. 猜想∑ni=1ci=ln（n！）-n+12ln n+n>56， 即c1+c2+……+cn>56.因为c1=1， 所以即证n≥2，c2+c3+……+cn>-16. 只需证n≥2时，an-an-1=cn>-16（n-1）. 只需证cn=1-n-1+12ln1+1n-1>-16（n-1）（n≥2）. 只需证n≥2时，有 n-1+12ln1+1n-1-16（n-1）-1<0. 令t=1n-1∈（0，1］，则只需证 ln（1+t）<16t+11t+12=t（t+6）3（t+2）. 只需证F（t）=ln（1+t）-t（t+6）3（t+2）<0，t∈（0，1］. 因为t∈［0，1］时，F′（t）=-t［（t+1）2+3］3（t+2）2（t+1）<0（运算量大！）且F（0）=0， 所以F（t）在（0，1］上单调递减，则F（t） 评析：本方法关键是联想到平均化拟合，将c2+c3+……+cn>-16转化为通项cn>-16（n-1），化简过程中使用了“对数单身”的化简本质和“整体代换”的化简技巧. 3.3.2 法2：求和思想，拟合熟悉的较简单模型 证明：设an=ln（n！）-n+12ln n+n. 猜想∑ni=1ci=ln（n！）-n+12ln n+n>56，即 c1+c2+……+cn>56. 因为c1=1，联想n≥2时， c2+c3+……+cn>-161-12+12-13+……+1n-1-1n=-161-1n>-16. 只需证n≥2时，an-an-1=cn>-161n-1-1n. 只需证cn=1-n-1+12ln1+1n-1>-16（n-1）n，n≥2. 接下来整理与转化方式同法1，略. 评析：关键是联想到简单熟悉模型进行拟合. 3.3.3 法3：加强后，利用数学归纳法 具体过程略，可扫码查看. 3.3.4 法4：分析放缩+泰勒逼近 扫码看附录 秒杀法，具体过程略，可扫码查看. 其他拓展性解法，如寻找拟合函数、帕德逼近、斯特林公式等解法不再细述，可扫码看附录. 4 方法延伸 解决问题的一种放缩方式：根据学生储备知识12x-1x 5 溯源与新题练习 5.1 溯源 （1）2022年新高考Ⅱ卷第22题： 已知函数f（x）=xeax-ex. （ⅰ）当a=1时，讨论f（x）的单调性； （ⅱ）当x>0时，f（x）<-1，求a的取值范围； （ⅲ）设n∈N*，证明：112+1+122+2+……+1n2+n>ln（n+1）. （2）2018年全国Ⅲ卷理科卷第21题： 已知函数f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）-2x. （ⅰ）若a=0，证明：当-1 （ⅱ）若x=0是f（x）的极大值点，求a. 5.2 新题练习 （1）原创命题练习 已知函数f（x）=x-aln（x+1）. （ⅰ）当a=1时，求y=f（x）在x=2处的切线斜率； （ⅱ）若x∈（0，+∞），f（x）>0恒成立，求a的取值范围； （ⅲ）证明：n∈N+，ln（n！）-nln（n+1）+n>0. （2）2019年调研试题改编 已知函数f（x）=7+x1+x（x>0）. （ⅰ）讨论g（x）=x［f（x）］2的单调性； （ⅱ）设a1=1，an+1=f（an）（n∈N*），试证明 2n-2|ln an-ln 7|<1. 6 结语 本题难点在第（3）问，它充分突出了数学学科的选拔性功能，深刻地考查了学生的数学核心素养和思维分析能力.具备泰勒展开等拓展知识的学生可以利用拓展知识解决问题，充分体现了数学教学的基本理念：以学生发展为本，立德树人，提升素养，实现人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展.
