例谈不等式恒成立求参数范围问题的解题策略

周建权

摘要：不等式恒成立求参数范围的问题是高考和各地模拟考试中的热点问题，此类问题形式多样，解决起来有一定困难，本文中通过具体例子探讨此类题型的解题策略，分析其中的思维逻辑.

关键词：不等式恒成立；参数范围；解题策略

不等式恒成立求参数范围的问题能够充分联系不等式、函数与方程、导数等知识，有利于考查学生数学运算、逻辑推理、数学抽象等学科核心素养，是高考和各地模考的热点问题.此类问题形式多变、综合性强，学生往往捉摸不透，本文中结合具体例子谈谈此类问题的解题策略.

1分离参数法

分离参数法就是对不等式变形，将参数与变量分离，构造无参数函数，进而研究该函数的最值.

例1（2020年全国卷Ⅰ理科第21题）已知函数f（x）=ex+ax2－x.（1）略.（2）当x≥0时，f（x）≥12x3+1，求a的取值范围.

下面重点研究第（2）问的解题策略.

解法1：由题意，知ex+ax2－x≥12x3+1（x≥0）.

当x=0时，不等式为1≥1，显然成立，符合题意.

当x>0时，分离参数a，得a≥12x3+x+1－exx2.

令g（x）=12x3+x+1－exx2，则只需a≥g（x）max.

对g（x）求导，得

g′（x）=（2－x）ex+12x3－x－2x3

=（2－x）ex+12（x－2）（x2+2x+2）x3

=－（x－2）ex－12x2－x－1x3.

令h（x）=ex－12x2－x－1，则h′（x）=ex－x－1.

令φ（x）=ex－x－1，当x>0时有φ′（x）=ex－1>0，则h′（x）在（0，+∞）单调递增，所以h′（x）>h′（0）=0，故h（x）在（0，+∞）单调递增，因此h（x）>h（0）=0.故当x∈（0，2）时，g′（x）>0，g（x）单调递增；当x∈（2，+∞）时，g′（x）<0，g（x）单调递减.因此，g（x）max=g（2）=7－e24.

所以a的取值范围是[JB（7－e24，+∞.

评析：此类恒成立问题一般在参数容易分离且分离之后最值好求的情况下使用分离参数法，难度较大的恒成立问题分离参数后可能需要多次求导、使用洛必达法则、切线放缩等.如本题在研究g′（x）的正负时，一个难点是将12x3－x－2分解成12（x－2）（x2+2x+2），另一个难点是将ex－12x2－x－1独立出来研究，判定其大于0.

2不分离参数，构造函数

参变不易分离，或分离后函数结构复杂不易研究，则可不分离参数，将参数和变量放到不等式同一侧，直接构造含参函数.

2.1直接分析最值

下面给出例1的解法2.

解法2：当x≥0时，f（x）≥12x3+1恒成立，等价于ex≥12x3－ax2+x+1，亦等价于

12x3－ax2+

x+1e－x≤1.

令g（x）=12x3－ax2+x+1e－x，x≥0，则

g′（x）=－12x3－ax2+x+1－32x2+2ax－1e－x

=－12x（x－2a－1）（x－2）e－x.

①当2a+1≤0，即a≤－12时，由g′（x）=0，得x=0或x=2.当x∈（0，2）时，g′（x）>0，g（x）单调递增.又g（0）=1，所以g（x）>1，不合题意.

②若0<2a+1<2，即－120，g（x）单调递增；当x∈（2，+∞）时，g′（x）<0，g（x）单调递减.又g（0）=1，所以g（x）≤1恒成立只需g（2）≤1，即（7－4a）e－2≤1，则a≥7－e24.所以当7－e24≤a<12时，g（x）≤1成立.

③当2a+1≥2，即a≥12时，g（x）=12x3－ax2+x+1e－x≤12x3+x+1e－x.又由②可知，a=0时，g（x）=12x3+x+1e－x≤1恒成立，所以a≥12时，满足题意.

综上所述，a的取值范围是[JB（7－e24，+∞[1].

评析：同一个不等式可以等价变形构造出不同的函数，变形的目标应该是构造出易于研究的函数.如本题将原不等式变形为ex－12x3+ax2－x－1≥0，构造m（x）=ex－12x3+ax2－x－1，则不易研究.解法2通过变形对ex进行巧妙处理，构造的函数g（x）可以在求导后省去研究指数函数，有利于分类讨论.

2.2必要性探路法

必要性探路法指的是利用不等式在一些特殊情況下成立，得到参数的一个取值范围，该范围是不等式恒成立的一个必要条件，如果能证明该范围也是不等成立的充分条件，则该范围即为所求，如果不是充分条件，也缩小了参数的范围.

（1）端点效应探路

端点效应：记含参函数为f（x）（m为参数），若f（x）≥0在［a，b］上恒成立，且f（a）=0（或f（b）=0），则f′（a）≥0（或f′（b）≤0）；若f（x）≥0在［a，b］上恒成立，且f（a）=0，f′（a）=0，或f（b）=0f′（b）=0，

则f″（a）≥0（或f″（b）≥0）[2].

例2（2022年新高考Ⅱ卷第22题）已知函数f（x）=xeax－ex.（1）略.（2）当x>0时，f（x）<－1，求a的取值范围.

解：设h（x）=xeax－ex+1，则当x>0时，恒有h（x）<0.

注意到h′（x）=（1+ax）eax－ex，所以h′（0）=0.

设g（x）=（1+ax）eax－ex（x＞0），则g（0）=0，且

g′（x）=（2a+a2x）eax－ex.

若原不等式成立，则必有g′（0）=2a－1≤0，即a≤12.因为若g′（0）=2a－1>0，则由于g′（x）为连续函数，因此存在x0∈（0，+∞），使得x∈（0，x0），g′（x）>0，故g（x）在（0，x0）为增函数.又g（0）=0，所以g（x）>0，即h′（x）>0，故h（x）在（0，x0）为增函数，因此h（x）>h（0）=0，与题设矛盾.

当0

h′（x）=（1+ax）eax－ex=eax+ln（1+ax）－ex.

下证：对任意x>0，总有ln（1+x）

设S（x）=ln（1+x）－x（x>0），则S′（x）=11+x－1<0，所以

S（x）在（0，+∞）上为减函数.

故x＞0时S（x）

由上述不等式，当0＜a≤12时，有

eax+ln（1+ax）－ex

所以h′（x）≤0總成立，则h（x）在（0，+∞）上为减函数，

故h（x）

当a≤0时，有h′（x）=eax－ex+axeax<1－1+0=0，

所以h（x）在（0，+∞）上为减函数，故h（x）

综上所述，a的取值范围为[JB（]-∞，12].

评析：含参函数求最值时往往需要对参数进行分类讨论，分类标准的确定是难点和关键点.如本题仅从h′（x）=（1+ax）eax－ex的形式较难发现对a进行讨论的分类点，如果用端点效应来看，思路就比较清晰了.实际上，利用端点效应有助于确定参数分类讨论的标准.

（2）其他特殊点探路

例3（2020年新高考Ⅰ卷第21题）已知函数f（x）=aex－1－lnx+lna.（1）略.（2）若不等式f（x）≥1恒成立，求a的取值范围.

解法1：因为f（x）≥1恒成立，所以f（1）=a+lna≥1.令g（a）=a+lna，则g（a）在（0，+∞）单调递增，且g（1）=1，故由g（a）≥1，得a≥1.

下面证明a≥1时，f（x）≥1恒成立.

当a≥1时，f（x）=aex－1－lnx+lna≥ex－1－lnx.

令φ（x）=ex－1－lnx，则φ′（x）=ex－1－1x，φ′（x）在（0，+∞）单调递增，且φ′（1）=0.所以当x∈（0，1）时，φ′（x）<0，φ（x）单调递减；当x∈（1，+∞）时，φ′（x）>0，φ（x）单调递增.故φ（x）≥φ（1）=1，因此a≥1时，f（x）≥1得证.

综上所述，a的取值范围是［1，+∞）.

评析：利用端点、定点、极点等特殊点探路，需要对不等式结构有较强的观察分析能力，需要有函数意识、数形结合意识.通过必要性探路，能够化繁为简，理清讨论的思路，同时也要注意，有时我们找到的必要条件不一定刚好也是充分条件.

3分离函数法

分离函数法，就是对不等式恒等变形，将一个复杂的含参不等式分解成不等号左右两边各一个函数的形式，进而研究这两个函数的关系.

3.1构造同构式

下面给出例3的解法2.

解法2：由f（x）≥1，得aex－1－lnx+lna≥1，

即elna+x－1+lna+x－1≥lnx+x，而lnx+x=elnx+lnx，所以elna+x－1+lna+x－1≥elnx+lnx.

令h（m）=em+m，则有h（lna+x－1）≥h（lnx）.

因为h′（m）=em+1>0，所以h（m）在R上单调递增，于是可得

lna+x－1≥lnx，因此只需lna≥（lnx－x+1）max.

令F（x）=lnx－x+1，则F′（x）=1x－1=1－xx.所以当x∈（0，1）时，F′（x）>0，F（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时，F′（x）<0，F（x）单调递减.故以F（x）max=F（1）=0，则lna≥0，即a≥1.

因此a的取值范围为［1，+∞）.

评析：同构指的是结构或形式相同，一些不等式可以通过变形使不等式两侧呈现相同结构，将该结构抽象出来构造函数，利用所构造函数的单调性将结构复杂的恒成立问题转化为结构简单的恒成立问题.同构法在“指对混合不等式”出现时用得较多，对代数变形能力要求较高，体现了数学的和谐对称美，对培养数学抽象、数学运算等核心素养具有重要意义.

3.2数形结合

例4已知函数f（x）=－x2－2x－2，x≤0，ln（x+1），x>0，若关于x的不等式f（x）－ax－a+12≤0在R上恒成立，则实数a的取值范围是＿＿＿＿.

解：f（x）－ax－a+12≤0在R上恒成立等价于f（x）≤ax+a－12在R上恒成立，即函数f（x）的图象恒在直线l：y=ax+a－12的下方，如图1所示.

直线y=ax+a－12过定点－1，－12，当直线l与曲线y=ln（x+1）（x>0）相切时，设切点P（x0，ln（x0+1））.

对y=ln（x+1）求导，可得

y′=1x+1.由1x0+1=ln（x0+1）+12x0+1，解得x0=e12－1，此时直线l斜率为e－12，即a=e－12.

当直线l与曲线y=－x2－2x－2（x≤0）相切时，由ax+a－12=－x2－2x－2，得x2+（a+2）x+a+32=0，

令Δ=（a+2）2－4a－6=0，得a=2或a=－2（舍去），此时直线l斜率为2.

结合图象，可知e－12≤a≤2.

评析：数形结合法就是通过分离函数，将问题转化为两个函数图象位置关系的问题.分离出来的两个函数一般是“一直一曲”，便于研究位置关系.分离函数后正确画出函数的图象是解题的关键，需分析函数的定义域、值域、单调性、对称性、凹凸性、特殊点等.

4解题感悟

对于不等式恒成立求参数范围的问题，从参变分离的程度来看，若参变完全分离，则构造的是无参数函数，能够避免对参数的讨论，但存在无参函数结构复杂，不易研究的情况；若参变不分离，则构造的是含参函数，对参数讨论标准的确定是难点所在，需对常见超越函数的性质有所积累，有时必要性探路法能提供思路；若参变部分分离，即分离函数法，有时能够巧妙避免函数结构复杂的情况和对参数的讨论，要明确分离的目标往往是构造同构式或便于数形结合的函数.

参考文献：

[1]牛伟.不等式恒成立求参数范围问题的探究[J].中学数学教学参考，2022（24）：36-38.

[2]郑灿基，韦才敏.不等式恒成立求参数范围的问题的解法总结与探究[J].中学数学研究（华南师范大学版），2022（12）：20-23.