钢-混组合梁荷载-温度效应的统一解析模型

2024-05-25刘江张宁刘永健马印平

浙江大学学报（工学版） 2024年5期

刘江，张宁，刘永健,，马印平

(1.长安大学公路学院，陕西西安 710064；2.西北农林科技大学水利与建筑工程学院，陕西杨凌 712100；3.重庆大学土木工程学院，重庆 400044)

钢-混凝土组合梁桥是中小跨径桥梁极具竞争力的桥型，近些年在我国的桥梁工程中得到快速应用[1].组合梁由钢和混凝土2 种材料组成，除弹性模量和拉、压强度等力学性能差异显著外，两者的导热性能相差近50 倍，日照作用下组合梁桥温度分布的非线性程度较混凝土桥梁更强[2-3].此外，组合梁桥的桥面板和钢梁的界面由剪力件连接，在实际运营中，同时承担了荷载、温度和混凝土收缩等作用，钢-混界面不可避免地发生微小滑移[4-5]，使得其计算方法与单一材料钢桥或混凝土桥有本质不同.

Newmark 等[6]基于欧拉伯努利梁理论，推导了考虑界面滑移的组合梁控制方程.Girhammar 等[7]基于一阶效应分析和二阶效应分析，建立界面滑移组合梁、柱的解析模型.随后，聂建国等[8-13]采用铁木辛柯梁理论或基于有限单元的方法，完善了界面滑移组合梁挠度、滑移和截面应力等计算理论.

既有研究主要针对有滑移组合梁受梁端弯矩、轴向拉压及均布荷载等作用下的界面和内力响应，而年温变化、太阳辐射或寒潮引起的温度变化为非荷载作用，会引起界面滑移和弯曲变形，在截面产生的温度应力不容忽视.目前，刘永健等[2]总结了既有学者对组合梁桥温度梯度作用模式的研究，在现有的桥梁规范体系下，多数学者在计算组合梁的温度效应时均认为钢和混凝土完全连接，在温度作用下不产生滑移，且对组合梁桥温度效应的研究主要以有限元模拟为主.采用理论解析方法计算组合梁温度效应，有利于从机理上认识温度对组合梁的作用规律，欧洲规范Eurocode-4[14]和周良等[15]给出不考虑界面滑移时的组合梁温度应力计算方法，吴迅等[16-19]考虑滑移，建立组合梁桥温度作用下界面滑移、剪力及截面应力的解析计算方法.以上研究多假定组合梁为钢-混均匀温差或线性温差，与实际组合梁桥的温度分布相差较大.笔者等[20]的研究表明，不考虑组合梁截面的非线性温差分布会使应力计算结果产生偏差，偏差随着非线性温差的增大而增大.目前，有滑移组合梁温度效应解析解均基于简支梁提出，关于连续梁温度次生效应的求解是在假设无滑移基础上通过结构力学的方法得到的，这显然不够严谨.此外，界面滑移组合梁仍缺乏温度和荷载共同作用下的统一解析模型.

本文基于欧拉伯努利梁理论，提出侧向非均布荷载、轴向拉（压）力、梁端弯矩和任意非线性温度分布等共同作用下有滑移组合梁的理论解析模型.推导了简支和连续组合梁的挠度、界面剪力、滑移及截面应力计算的解析公式，开展了组合梁温度效应的算例分析，对温度作用引起的界面滑移和组合梁挠度进行讨论，为组合梁桥的设计计算提供参考.

1 有滑移组合梁的挠度微分方程

1.1 基本假定

1）将组合梁视为欧拉伯努利梁，即忽略剪切变形对总变形的影响.

2）桥面板与钢梁均为理想线弹性体，拉压模量相同.

3）混凝土桥面板与钢梁均服从平截面假定.

4）考虑混凝土桥面板与钢梁之间的界面滑移，滑移与界面切应力线性相关.

5）混凝土桥面板与钢梁间无掀起，曲率相同.

1.2 挠度微分方程的建立

1.2.1 挠度微分方程组合梁在正常使用状态下受到多种荷载的耦合作用，分别以混凝土板形心O1、钢梁形心O2为坐标原点，建立局部坐标系xO1y1和xO2y2，组合梁长为L，t(y)为组合梁高度方向的温度分布，t1(y1)、t2(y2)分别为混凝土和钢的温度分布，如图1 所示.截面尺寸如图2 所示，混凝土板和钢梁的高度分别为h1、h2，r 为混凝土面板中性轴至钢梁中性轴的距离，其中r1、r2分别为混凝土和钢梁中性轴至组合梁截面中性轴的距离.

图1 组合梁受力图Fig.1 Composite girder subject to external loads

图2 截面尺寸参数Fig.2 Sectional dimension parameters

取组合梁dx 微段为研究对象，考虑混凝土和钢梁之间相互作用的微段受力图，见图3，由整个微段平衡可知，

图3 组合梁微段的受力图Fig.3 Differential element of composite girder subject to loads

考虑组合梁截面的内力平衡条件，则

根据混凝土桥面板和钢梁局部平衡，则有

根据假定可知，界面剪力τ 与界面滑移Δu 成正比，

式中：Δu 为钢梁和混凝土板之间的滑移；K 为组合梁等效剪切滑移刚度，与界面剪力连接件的抗剪刚度和布置形式有关，若采用栓钉连接件，则按式（5）计算；d 为相邻栓钉之间的间距；n 为横向每排栓钉的个数；kss为栓钉连接件抗剪刚度，

其中dss为栓钉连接件杆部的直径，E1为混凝土的弹性模量，fck为混凝土抗压强度的标准值.

组合梁微段在多种荷载组合作用下发生变形，见图4.根据变形协调条件，有

图4 组合梁微段变形图Fig.4 Deformation of differential element of composite girder

式中：u1、u2分别为混凝土桥面板和钢梁形心处沿x 方向的变形，w 为组合梁的挠度，w′和w″分别为组合梁的转角和曲率，εO1和 εO2分别为混凝土桥面板和钢梁形心处的应变.

在温度作用下的组合梁，当结构纤维之间和钢-混界面之间无约束时，混凝土桥面板和钢梁将沿梁长方向产生与温度分布相同的自由变形α1t1(y1)和α2t2(y2)，如图4 的虚线所示.结构的真实变形应满足平截面假定，为 εO1-w1″和 εO2-w2″，即为图4 中的实线位置，则结构受纤维和钢-混界面约束并产生自应力的那一部分变形即为真实变形减去温度引起的自由变形，因此混凝土桥面板和钢梁内产生应力的约束应变ε1和ε2可由下式计算：

式中：α1、α2分别为混凝土和钢的线膨胀系数.由此可以得到混凝土及钢梁中性轴上产生的轴力和弯矩为

式中：E1和E2、I1和I2、A1和A2分别为混凝土和钢的弹性模量、各自形心处的惯性矩和面积；te1和te2分别为桥面板和钢梁截面的平均温度，

ty1和ty2分别为桥面板和钢梁截面的竖向线性温度梯度，

根据式（10）、（11），可得

将式（13）代入式（2），可得

式中：χt为组合梁完全无剪力连接时桥面板和钢梁的竖向线性温度梯度ty1和ty2在组合梁上产生的曲率，χt=(E1I1α1ty1+E2I2α2ty2)/EI0；EI0为组合梁完全无剪力连接的抗弯刚度，EI0=E1I1+E2I2.

将式（14）等式两边同时取梁长x 的二阶导数，可得

将式（2）、（3）、（12）、（14）代入式（8），令

可得

式中：εm为组合梁完全无剪力连接时桥面板和钢梁平均温度te1和te2产生的应变差，εm=α1te1-α2te2.

联立式（14）～（16），可得

式中：β=r2/(E1A1)-r1/(E2A2)；EI∞为组合梁完全剪力连接时的抗弯刚度，EI∞=EI0+EAr2；EA=E1A1E2A2/(E1A1+E2A2).式（17）右边包含了5 项引起组合梁挠曲的因素，依次为侧向荷载、弯矩、轴力、均匀温差和竖向线性温差.根据组合截面形心算法可知，r2/(E1A1)=r1/(E2A2)，故β=0，即通过组合梁形心的轴向力不会使组合梁产生挠曲.外力荷载及温度共同作用下组合梁的挠度微分方程为

根据式（18）可知，作用于组合梁上的外力荷载与温度作用对组合梁挠度的影响不耦合.当计算外力及温度共同作用下组合梁桥的结构效应时，可以简化挠度微分方程，分别计算外力荷载和温度作用的效应，随后进行叠加.

1.2.2 界面剪力、滑移与应力计算通过求解挠度微分方程，得到挠度w 沿组合梁梁长x 方向的表达式.根据式（18）、（14）、（3）和（4），可以推出均布荷载q 与温度分布T(y)共同作用下弯矩M、桥面板轴力N1、界面剪力τ 和滑移Δu 的表达式如下：

根据式（9）可知，桥面板和钢梁的应力分布σ1(y1)和σ2(y2)分别为

求得N1后，则可知N2=F-N1，代入式（12）可得桥面板和钢梁形心处的应变 εO1和 εO2，进一步代入式（23）即可求得σ1(y1)和σ2(y2).

1.3 挠度微分方程的求解

分别以一跨简支梁（静定梁）和两跨连续梁（超静定梁）为例，对均布荷载q 和任意温度分布t(y)作用下的挠度方程进行求解.简支梁以跨中为坐标原点，跨径为L，连续梁以中支点为坐标原点，总长度为L，单跨跨径为L/2，如图5 所示.

图5 组合梁结构体系图示Fig.5 Diagrams of structural system of composite girder

1.3.1 均布荷载下的解析解当仅考虑均布荷载q 时，取εm=0，χt=0，则组合梁的挠度微分方程为

式（24）等号右边M 为梁长x 的函数.对式（24）两边同时取x 的二次导数，可得

式（25）为关于挠度w 的6 阶常系数微分方程，其通解为

式中：C1～C6为待定常数.

对于对称荷载作用下的简支梁，两端支点处位移为零，跨中截面的转角为零，又由两端支点弯矩为零，即M(L/2)=M(-L/2)=0，两端支点界面剪力为零，即N1(L/2)=N1(-L/2)=0.对于对称荷载作用下的两跨连续梁，根据对称性，仅对0 ≤ x ≤L/2 跨进行计算.中支点和端支点位移为零，中支点截面转角为零；端支点弯矩为零，即M(L/2)=0，端支点界面剪力为零，即N1(L/2)=0，又有中支点的界面滑移为零.结合式（14）、（24），可得边界条件如下.

进一步可以求解得到待定系数如下.

两跨连续梁：限于篇幅，不再给出.

1.3.2 温度作用下的解析解对于仅受温度分布T(y)作用的简支组合梁，取q=0，M=0，则挠度微分方程由式（18）变为

式（27）为关于挠度w 的4 阶常系数微分方程，令 B=-Krεm/EI0+Kχt/EA，则其通解为

式中：C7～C10为待定常数.

对于仅受温度分布t(y)作用的连续组合梁，结构会产生次弯矩，故M ≠ 0.对式（18）两边同时取梁长x 的二次导数，取q=0，M″=0，可得

式（32）的通解为

式中：C11～C16为待定系数.

简支梁两端支点处位移为零，跨中截面处转角为零；支点弯矩为零，支点界面剪力为零.对于连续梁，当0 ≤ x ≤ L/2 时，中支点和端支点位移为零，中支点截面转角为零；端支点弯矩为零，端支点界面剪力为零，且中支点的界面滑移为零.结合式（14）、（27），可得边界条件如下.

进一步可以求解得到待定系数如下.

两跨连续梁：限于篇幅，不再给出.

2 温度效应的求解方法

2.1 温度作用的基本参数

由微分方程的建立和求解可知，在结构尺寸确定的情况下，组合梁温度产生的挠度与界面滑移仅由εm和χt决定，计算挠度与滑移时，应先计算这2 个参数：

式中：εm1、εm2分别为界面完全自由时桥面板和钢梁在温度作用下形心的自由应变，εm1=α1te1，εm2=α2te2；χt1、χt2分别为界面完全自由时的温度作用引起的桥面板和钢梁的曲率，χt1=α1ty1，χt2=α2ty2.可见，εm的本质为K=0 时桥面板和钢梁的应变差，故定义为等效温度滑移应变，当0 ＜ K ＜∞时，产生界面滑移Δu1，见图6 (a).χt为χt1和χt2关于桥面板和钢梁各自抗弯刚度的加权平均数，即K=0 时组合梁的曲率，故定义为等效温度曲率，当0＜K＜∞时，产生界面滑移Δu2，如图6(b)所示.组合梁在温度作用下产生的界面总滑移为Δu=Δu1+Δu2.

图6 温度作用滑移产生的机理Fig.6 Mechanism of temperature-induced slip

2.2 温度作用分解方法

在认为钢-混界面无滑移（K→∞）时，任意竖向温度分布t(y)可以分解为如图7 (a)所示的有效温度te、竖向线性温差ty和残余温度分布tr(y)这相互独立的3 部分[2].温度自应力完全由tr(y)引起，受约束后的温度次应力由te和ty按结构力学力法或位移法进行求解.以上是界面无滑移时组合梁温度效应求解的基本思路.

图7 温度分布的分解Fig.7 Decomposition of temperature distribution

类似地，当认为界面存在滑移（0 ＜ K ＜ ∞）时，桥面板和钢梁应视为各自满足平截面假定且相互独立的2 个部件，则组合梁的任意温度分布由桥面板的t1(y1)和钢梁的t2(y2)组成，可以分别分解为有效温度te1和te2、竖向线性温差ty1和ty2、残余温度分布tr1(y1)和tr2(y2)，见图7 (b).当K=0 时，桥面板和钢梁的温度自应力完全由tr1(y1)和tr2(y2)引起；当0 ＜ K ＜ ∞时，桥面板和钢梁相互约束产生温度次应力，再叠加自应力即可得到有滑移静定组合梁的温度应力.组合梁截面桥面板和钢梁相互约束产生的次生效应是计算的关键，可在求得te1、te2和ty1、ty2的基础上，按式（37）、（38）计算得到εm和χt，再进一步通过本文建立的微分方程计算.

3 温度效应计算

3.1 计算模型与温度梯度模式

选取陕西省一座6 主梁组合梁桥南侧边梁为计算对象进行算例分析，断面形式如图8 (a)所示.桥面板和钢梁的弹性模量分别为E1=3.45×104MPa 和E2=2.06×105MPa，Φ22 型号栓钉间距150 mm 布置.分别计算图8 (b)所示的简支梁（L=20 m）和2 跨连续梁（L=40 m）的温度效应.

图8 组合梁桥算例Fig.8 Example of composite girder bridge

竖向温度梯度作用采用笔者等[21]提出的3 种作用模式：升温模式1（HP-1）、升温模式2（HP-2）和降温模式（CP），如图9 所示.根据图7 (b)，可以将桥面板和钢梁温度分布分解为有效温度、竖向线性温差和残余温度，如图10 所示.图中，y 为距梁顶的距离.进一步可以求得各温度作用模式对应的εm和χt（见表1），以便于计算有滑移组合梁温度效应.可知，采用的温度梯度模式可以覆盖εm和χt的正值和负值，其中由于降温模式下大部分钢梁的温度小于混凝土桥面板，εm最大；升温模式2 钢梁的竖向线性温差明显更大，χt最大.

表1 温度参数εm 和χt 的取值Tab.1 Values of temperature parameters εm and χt

图9 竖向温度梯度模式[21]Fig.9 Vertical temperature gradient pattern[21]

图10 竖向温度梯度模式的分解Fig.10 Decomposition of vertical temperature gradient pattern

3.2 解析模型的验证

基于ABAQUS 建立上述组合梁有限元模型（见图11），桥面板和钢梁分别采用C3D20R 和S4R 单元模拟.栓钉模拟采用弹簧单元Spring 2，以设置界面剪切和竖向刚度.其中，竖向刚度设置无穷大，保证钢梁和混凝土桥面板的曲率一致，根据栓钉布置，可得界面等效剪切滑移刚度K=5 008.4 N/mm2.

图11 组合梁的有限元模型Fig.11 Finite element model of composite girder

组合梁在自重均布荷载（q=16 N/mm）和3 种温度梯度模式下的最大挠度和滑移计算结果见表2.表中，wmax为最大挠度，Δu 为端部滑移.从表2 可以看出，与有限元结果相比，简支梁的挠度和滑移计算的平均偏差分别约为2.5%和3.3%，连续梁因本身挠度和滑移较小，平均偏差分别为4.4%和4.0%，较简支梁稍大一些，总体说明提出的解析模型准确可行.此外，可以看出，温度作用产生的滑移和挠度与自重荷载在同一数量级，不可忽视.

表2 挠度和端部滑移的有限元解与解析解的对比（K=5 000.8 N/mm2）Tab.2 Comparison between FEM solution and analytical solution of deflection and end slip (K=5 000.8 N/mm2)

3.3 界面滑移与挠度

通过有滑移组合梁解析模型计算简支梁和2 跨连续梁的挠度，如图12 所示，正值为向下挠曲，负值为向上挠曲.挠度是εm和χt综合作用的结果，升温模式1 和降温模式使组合梁上挠曲，升温模式2 使组合梁向下挠曲，其中降温模式的竖向挠度最大，可以达到8.18 mm，连续梁的规律与此一致.

图12 温度作用下组合梁的挠度分布Fig.12 Distribution of temperature caused deflection of composite girder

图13 给出各温度作用下简支梁和连续梁的界面滑移分布.可以看出，简支梁在温度作用下的界面滑移沿梁长呈现反对称分布，梁端最大，向跨中逐渐减小至0.连续梁的分布与之类似，但在中支点处存在反弯点，在端部和中支点间存在等值段.在相同温度作用下，简支梁与连续梁端部的滑移接近，其中升温模式2 的滑移最大，达到0.048 mm.滑移主要分布在距组合梁端部小于2 m 的范围内，即温度梯度引起的剪力在界面的传递范围为0～2 m，在此范围外简支梁的界面滑移均基本为0，连续梁的界面滑移基本无变化.

图13 温度作用下组合梁的界面滑移分布Fig.13 Distribution of temperature caused interfacial slip of composite girder

3.4 温度应力

通过式（23）计算可得简支梁和2 跨连续梁在各温度作用下的温度应力，选取混凝土顶面（CT）、混凝土底面（CB）、钢梁顶面（ST）和钢梁底面（SB）4 个位置，绘制温度应力沿梁长的分布，如图14、15 所示，其中2 跨连续梁仅给出右跨的结果，左跨完全对称.可以看出，受界面滑移的影响，组合梁的温度应力在距梁端部小于2 m 的范围内沿梁长有明显的曲线变化，其中，界面CB 处和ST 处的温度应力变化最显著，在如图16所示的竖向应力分布中可以看出.以升温模式1 为例，CB 处温度应力由跨中的1.49 MPa 变化至端部的2.07 MPa，ST 处应力由跨中的8.88 MPa 变化至端部的-0.58 MPa，变化率分别为38.9%和106.5%，远大于CT 处的1.5%和SB 处的29.8%.

图14 简支梁温度应力沿纵向的分布Fig.14 Longitudinal distribution of thermal stress of simply supported girder

连续梁温度应力沿梁长的分布有与简支梁类似的规律，但温度作用下的连续梁存在次弯矩，其产生的温度次应力沿梁长线性分布.其中，靠近截面形心的CB 和ST 处次应力较小，温度应力沿梁长变化不明显，斜率较小，如图15（b）、（c）所示.远离截面形心的CT 和SB 处次应力较大，温度应力沿梁长变化显著，斜率较大，如图15（a）、（d）所示.在连续梁端部的温度次应力为0，且滑移与简支梁接近，因此温度应力与简支梁端部的温度应力基本一致.

图15 连续梁温度应力沿纵向的分布（右跨）Fig.15 Longitudinal distribution of thermal stress of continuous girder (right span)

从图16 可以看出，受界面滑移的影响，组合梁端部桥面板底面的拉应力水平显著提高，最高超过2 MPa.现有不考虑界面滑移的组合梁温度应力计算方法会低估该应力水平，造成偏于不安全的设计，增加组合梁桥面板底面的开裂风险，这是组合梁桥面板底面常产生裂缝的重要原因[21].

图16 组合梁温度应力的竖向分布Fig.16 Vertical distribution of thermal stress of composite girder

4 挠度影响系数

以简支梁为例，讨论温度作用下界面等效刚度K 对组合梁梁端滑移和跨中挠度的影响规律.根据前文求解可以得到挠度和滑移沿梁长的分布函数，将x=0 代入w(x)和x=L/2 代入Δu(x)，经过整理，可以分别得到wmax和Δumax的计算公式如下.

式中：w∞,max为无界面滑移（K→∞）时的跨中挠度，Δwmax为有界面滑移产生的附加挠度.

滑移效应对组合梁挠度的影响可以通过如下的挠度影响系数Φ 来表示：

根据前文推导，可以求得均布荷载作用下组合梁挠度影响系数Φq.由于Φq＞1，一般称为挠度放大系数，

对于温度作用，一般情况下εm不为0，滑移引起的附加挠度可能是正值或负值，则滑移对组合梁挠度的影响可以采用温度作用下的挠度影响系数ΦT来表示：

式中：ηT为与温度作用相关的无量纲系数，可以定义为温度作用系数，ηT=(rχt+εm)/εm；EI∞/EI0为完全剪力连接与界面无连接时组合梁的抗弯刚度比；aL 为组合效应系数.以上3 个系数均为无量纲参数，以此为基础进行影响参数讨论，并与均布荷载作用下的挠度放大系数进行对比，如图17、18 所示.

图17 不同荷载作用下的挠度影响系数Fig.17 Influencing factor of deflection under different loads

对于均布荷载作用下的简支组合梁（见图17(a)），当aL 趋于无穷大时，组合梁趋于完全剪力连接，滑移趋于0，Φq趋于1，滑移对挠度的影响逐渐消失.随着aL 逐渐减小，滑移效应增大，组合梁逐渐趋于完全无剪力连接，Φq趋于EI∞/EI0，事实上，文献[22]已表明，在不同的边界条件（简支、悬臂、固端、一端简支一端固定）和不同荷载模式（集中荷载均布荷载）下，aL 趋于0 时的挠度放大系数均趋于EI∞/EI0.

对于温度作用下的简支组合梁（见图17(b)～(d)），ΦT不仅与aL 和EI∞/EI0有关，还与由温度作用模式确定的温度作用系数ηT有关.当aL 趋于0 时，可以求得ΦT趋近于式(40)，是EI∞/EI0和ηT的函数，在不同的作用模式下，可能大于1 或小于1，甚至小于0.无论何种温度作用模式，当aL 不断增大时，界面滑移逐渐消失，与均布荷载作用一样，ΦT均趋于1.

取aL=10，研究ηT对ΦT的影响规律，见图18.对于温度作用下的简支梁，由式(34)可知，当EI0(εm+rχt)=EI∞εm，即EI∞/EI0=ηT时，界面无滑移组合梁的跨中挠度为0，即w∞,max=0，此时，ΦT无穷大.图18 中ηT对ΦT的影响是以ηT=EI∞/EI0为分界的.当ηT＞ EI∞/EI0时，ΦT＞1，滑移起到了挠度放大作用，ΦT随着ηT的增大而逐渐减小，逐渐趋近于1；当ηT＜ EI∞/EI0时，ΦT＜ 1，甚至可为负值，ΦT随着ηT的减小而逐渐增大，当ηT=0 时，ΦT=1.

图18 温度作用系数对挠度影响系数的影响Fig.18 Effects of temperature effect coefficient on deflection influence coefficient

温度作用引起组合梁挠曲的机理较常规荷载更复杂，存在某一温度作用模式下，随着aL 的变化，挠度影响系数出现正负转变的现象，也存在某一温度作用下挠度刚好为0 的情况.其中特例为当aL=0（即K=0）且ηT=1（即χt=0）时，ΦT=0，其含义如下：界面完全无抗剪作用的组合梁在钢梁和混凝土均匀温差作用下，组合梁挠度为0.这个论述显然是成立的，进一步印证了温度作用下界面滑移对组合梁挠度影响系数推导的准确性.