Arnold和改进Logistic混沌系统图像加密

张旭东

摘要：针对图像信息在传输过程容易被窃取、破坏和恶意篡改的问题，文章提出一种Arnold变换与改进Logistic混沌映射相结合的图像加密算法。该算法先将明文的像素坐标位置进行Arnold变换，再利用改进Logistic混沌映射产生的混沌加密序列对变换后的图像进行扩散与置乱获得加密图像1，修改加密参数后通过同样的步骤再得到加密图像2，随后将两幅图像进行异或处理得到最终加密图像，通过仿真实验结果得出对角相邻相关系数为0.005 6，进行分析比对可以得出结合后的加密算法密钥空间大，安全性高，具有较好的加密效果，改善了普通Arnold变换和Logistic混沌加密算法产生出的安全性问题。

关键词：Arnold变换；改进Logistic映射；图像加密；混沌

中图分类号：TP309        文献标识码：A

文章编号：1009-3044（2024）07-0004-04

开放科学（资源服务）标识码（OSID） ：

随着计算机技术的提升和计算机在生活工作中的普及，数字图像信息传递迎来了飞速发展的时期。相较于传统文本信息，图像信息具有信息含量高、信息密度大等独特优势，因此在各个领域和行业中都成为不可或缺的一部分。因此，对于数字图像信息传输中的安全保护措施，我们需要更加便捷、快速且严密的方法。

对于数字图像信息内的海量数据容量、信息内容的高度冗余以及图像像素相邻像素之间的不可避免的强相关性，显然传统文本加密算法已经不适合對图像信息进行加密[1]。混沌映射因其产生的伪随机序列具有良好的伪随机性以及对初始输入条件值的高敏感性，其作为图像像素的扩散和置乱手段有着超强的潜力。从1998年Fridrich 第一次提出基于二维混沌映射的图像加密方法[2]后，学者们对于混沌映射的探究便从未停止。由于低维混沌系统的结构简单、便于实现，加密效果好，被普遍应用于图像加密中[3]。在提出改进低维混沌系统对图像进行加密的方法后，研究者们开始不满足于低维混沌的加密手段，转而将目光投向了加密手段更为复杂、加密效果更好的高维混沌。高维混沌系统相较于低维混沌，在产生混沌序列的伪随机性、密钥空间以及初值敏感性方面表现更加优秀。因此，高维混沌加密逐渐变得更加普及[4]。

Arnold变换的置乱算法可以通过改变图像原来的像素位置达到不错的置乱效果，其算法具有操作简单，较易实现，置乱效果好等优点，使其能够被广泛应用。由于Arnold算法只能通过改变像素的位置进行置换来达到加密的效果，所以加密后的图像相邻像素相关性依旧很高，故而在遭到恶意攻击时攻击者可能会通过直方图进行逆向推测从而得到原图像信息。

针对Arnold变换和传统logistics混沌加密存在的加密缺陷，本文提出基于Arnold变换的改进Logistics混沌加密算法，通过增加控制参数提高了密钥空间，改善了两种算法存在的问题，提升了加密算法的安全性。

1 图像加密算法

1.1 Arnold变换

Arnold映射的是典型混沌映射，其表达式定义为：

[x'y'=1abab+1xymodn] （1）

式（1）中：x，y∈{0，1，2，...，N-1}为明文图像像素的初始坐标位置，N为图的大小，x和y为图片经过变换后的像素位置，mod为模运算[5]。对于一幅初始明文图像，在经过Arnold多次变换置乱之后，原文图像的像素位置坐标发生改变，图像的内容也会随根据像素的移动而发生改变，从而达到图像信息的加密效果。但Arnold变换具有一定的周期性，在原文图像进行一定次数的像素变换之后极有可能会变回原文图像的样子，所以在预先知道置乱次数的情况下极易破解，具有很大的安全隐患。

1.2 Logistic混沌映射

Logistic混沌映射是应用极为广泛的混沌映射，它的映射定义为：

[xi+1=μxi（1-xi）]     （2）

式（2）中：Xi为原图像像素信息，Xi+1为Logistic混沌映射后的像素信息，μ为实现混沌映射的控制参数，取值在0～4之间[6]。Logistic混沌在置乱加密的过程中对初始输入值具有很强的敏感性，初始值一些细微的变动都会给后续迭代产生的混沌序列带来大幅度的改变[7]。所以对于μ取值不同，产生的混沌系列也不同，进而混沌映射结果就会有不同特性。当3.569 946<μ≤4时，Logistic映射输出在（0，1）之间，在进行足够多次数的迭代扩散后，这个区间段内会充斥海量的散乱混沌点，产生的混沌序列会具有较高的安全性和伪随机性，可以用于图像加密。

2 图像加密系统

2.1 改进Logistics混沌映射

针对Logistic方程具有密钥空间小、抗穷举能力差、混沌序列分布不均等问题[8-9]，本文提出一种改进的Logistics混沌加密。在原公式的基础上，将多位控制参数加入公式参数中，改进后的Logistic方程表达式为：

[xi=kyixi+1=[μxi（1-μλxi）]mod1]     （3）

当X取0.1，μ取3.995，k∈（0，1）时，λ∈（0，0.2）时，系统呈现混沌。

改进后的混沌映射具有更好的混沌特性，拥有更大的参数范围和更大的密钥空间，并且各个参数所生成的混沌序列均匀地分布在（0，1）的状态空间，具有良好的安全性和伪随机性。

2.2 算法加密步骤

本文加密算法分为置乱和扩散两个部分，第1部分是利用Arnold变换对M×N大小的明文图像进行像素置乱生成初步的密文图像，简单的置乱操作并不能很好地加密原文图像，故第2部分是用改进的Logistic混沌映射产生的混沌序列对置乱后的初步密文图像进行扩散处理，完成加密。

为了提升图像加密效果，在执行完两部分加密后，可以改变控制参数，将上述2部分加密方式再执行一遍，然后将两幅加密图像进行异或处理，最终得到加密图像。

具体加密步骤如下：

步骤1：输入原文图像G，Arnold变换参数a，b，改进Logistic混沌映射参数μ，密钥k；

步骤2：利用公式（1）对G进行置换得到图像G；

步骤3：由密钥k1用公式（3）生成混沌序列F={Fij|i，j=0，1，2，...，N-1}；

步骤4：由p生成灰度矩阵Y={Yij|Yij∈[0，255]}，i，j=0，1，2，...，N-1；

步骤5：将G与灰度矩阵Y进行按位异或运算，得到加密图像G”；

步骤6：将密钥k1改为密钥k2，重复步骤3～5，生成加密图像G1”；

步骤7：G”?G1”，生成最终加密图像G2”。

解密过程与加密过程相似，已知密钥，按照加密流程进行相反的步骤操作即可得到解密图像。

3 仿真结果及安全性分析

本次仿真环境是Intel（R） Core（TM） i5-6200U CPU @ 2.30GHz，内存为4GB的计算机，64位Windows操作系统，MATLAB R2018b软件，采用标准256×256的lena灰度图像进行实验，μ取3.995，x0取0.1，k1，k2分别取0.89，0.97，λ取0.15带入改进后的混沌加密系统，产生伪随机序列，再用Arnold变化和混沌混合进行加密。为了证明此算法的加密性能，下面通过直方图、密钥空间、信息熵、相邻像素关系等加密性能指标进行性能分析。

3.1 仿真结果图

3.2 直方图分析

直方图能够直观地展示图像信息的像素点分布，当加密后的图像信息直方图越平滑，就表示图像的可读性越低[10]。图2（a）为明文图像的像素直方图，像素点纵坐标高低分布明显，通过直方图极易推测出原文图像的信息状态，从而得到原文图像。图2（b）为密文图像的像素直方图，像素分布较为平滑，高低分布均匀，无法从明文统计特性分析得出图像信息。

3.3 密钥空间

密钥空间通常用来作为衡量加密算法优良的单位，也是评估算法抵抗穷举攻击的重要指标。在加密过程中，本文需设定Arnold变换次数，参数a，b，μ，λ，初值x的值，密钥空间为2256远远大于2100，具有较大的密钥空间和较强的抗穷举攻击的能力，为加密系统的安全性提供良好保障[11]。

3.4 信息熵

信息熵是用来评估信息源随机性的一个定性标准，计算公式为：

[H=i=1LP（xi）log21P（xi）]  （4）

式中：P（xi）为符号xi的概率，L为符号的总数。针对具有256个灰度级的图像，其理想随机分布熵为8。信息熵值越大，分布越一致。本文的加密图像信息熵计算值为7.995 7，接近于理想值8，表明图像高度分布。

3.5 相关性分析

去除加密图像像素值相邻像素的相关性，通过对加密图像像素值进行有效扩散，从而使密文图像的相邻像素相关性得到有效降低，这是衡量加密算法有效性的标准之一。相邻像素相关性的范围为0～1，从1到0，相关系数越低则相邻像素点的相关性越小[12]。本文沿着3个方向分析图像中相邻像素相关性，计算公式为：

[rx，y=C（x，y）D（x）D（y）]     （5）

[C（x，y）=1NN-1N（xi-E（x））（yi-E（y））]    （6）

[D（x）=1NN-1N（xi-E（x））2]    （7）

[E（x）=1NN-1Nxi]     （8）

本文分别从明文图像和密文图像抽取1 000个相邻（垂直、水平、对角）像素点判断其相关性，实验从3个方向的相关系数记录相邻（垂直、水平、对角）像素点判断其相关性，图3（a） 是明文图像相邻像素在垂直方向相关性，图3（b） 是密图相邻像素在垂直方向相关性，可见加密后图像的相关性大大降低。

4 结束语

由于现今网络图像信息传输的日益增加，面对传输过程可能存在的恶意攻击，本文提出、基于Arnold和改进logistics混沌系统的图像加密算法，针对Arnold变换和Logistics映射存在的缺陷，通过将两种置乱和扩散的加密算法相结合，再对Logistics混沌映射进行改进，通过增加多个控制参数，大大提升了密钥空间和初值敏感性，增强了加密算法的安全性。实验结果表明，本算法的加密图像对角相邻像素相关性为0.005 6，优于对比算法，表明该算法具有较高安全性，具有广泛的应用前景。

参考文献：

[1] CHEN C S，WANG T，KOU Y Z，et al.Improvement of trace-driven I-Cache timing attack on the RSA algorithm[J].Journal of Systems and Software，2013，86（1）：100-107.

[2] FRIDRICH J.Symmetric ciphers based on two-dimensional chaotic maps[J].International Journal of Bifurcation and Chaos，1998，08（6）：1259-1284.

[3] WANG X Y，LIU L T，ZHANG Y Q.A novel chaotic block image encryption algorithm based on dynamic random growth technique[J].Optics and Lasers in Engineering，2015，66：10-18.

[4] SUN F Y，LIU S T，L? Z W.Image encryption using high-dimension chaotic system[J].Chinese Physics，2007，16（12）：3616-3623.

[5] 高飞，樊庆宇.基于Arnold变换的图像加密研究[J].阜阳师范学院学报（自然科学版），2015，32（2）：92-96.

[6] 刘公致，吴琼，王光义，等.改进型Logistic混沌映射及其在图像加密与隐藏中的应用[J].电子与信息学报，2022，44（10）：3602-3609.

[7] 谢国波，杨彬.基于比特置乱的量子混沌图像加密算法[J].计算机工程，2017，43（7）：182-186，192.

[8] 胡春杰，陈晓，陈霞.基于改进广义Arnold映射的多混沌图像加密算法[J].包装工程，2017，38（3）：144-149.

[9] 郑永爱.混沌映射的随机性分析[D].长沙：国防科学技术大学，2007.

[10] 程欢欢，戴曙光，杨莹.基于三维Arnold的Logistic混沌系统图像加密[J].电子测量技术，2019，42（22）：135-139.

[11] ZHANG Y.The unified image encryption algorithm based on chaos and cubic S-Box[J].Information Sciences：an International Journal，2018，450（C）：361-377.

[12] 郑永爱，王莹莹，王咏梅.基于混沌系统的图像加密算法设計与应用[J].长江信息通信，2021，34（7）：46-50.

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