基于问题解决的学生数学计算思维培养策略

刘宁晖 朱哲

摘要：计算思维是明确问题及其解决方案的思维方式。计算思维与数学领域的密切关联为计算思维融入数学课堂提供了可能。教师应以数学问题为中心，设计指向计算思维培养的高中数学课堂教学流程，通过问题发现、问题分析、问题解决、方法反思与方法总结五个环节，强调抽象、分解、算法、评价与概括五个思维过程，进而落实计算思维的培养。

关键词：计算思维；课堂教学；高中数学

随着信息化社会的深入发展与数字技术的快速变革，计算思维越来越广泛地得到关注。当数字化和计算化逐渐成为现代社会的基本形态特征，计算思维就会像阅读、写作、算数一样普及，成为每个合格公民的必备素质。计算思维与以数学运算、数学抽象等核心素养为导向的中学数学教育密切相关。计算思维应当作为核心素养的内容而走进数学教育。PISA2021数学素养测评框架中首次引入计算思维，标志着计算思维开始和数学问题解决、数学推理共同组成21世纪的数学素养。《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下通称“新课标”）在核心素养内涵的表述中也首次提到了计算思维，要求学生“能够通过计算思维将各种信息简约和形式化，进行问题求解与系统设计”。计算思维与数学教学的结合，不仅有助于学生理解相关数学概念，还对培养学生的计算思维概念和技能至关重要。

一、计算思维的概念及其在高中数学教学中的体现

计算思维指的是将现实问题进行量化，转换为可运算的问题，进而通过计算机或其他工具进行求解。因此，计算思维的本质就是用数学语言去解决实际问题。计算思维主要涉及数学运算，新课标中提到，数学运算素养的形成需要经历理解运算对象、形成运算法则、理解算理、选择和设计算法、求得运算结果全过程。在这个过程中，教师需要着力培养学生的归纳与算法思维。在《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中多次提及算法思想、程序框图与算法程序，如在利用二分法求方程近似解时，要求学生探索该方法的思路并会画程序框图。在新加入的“数学建模活动与数学探究活动”中，鼓励学生采用算法程序等形式呈现研究报告。可见，算法作为解决问题的一种工具和手段已经融入高中数学学科。数学教学中发展学生计算思维关键在于教会其分析、分解、量化问题，再进行数据分析与处理，进而进行计算推理。在这一系列的过程中，涵盖了数学抽象、逻辑推理、数据分析等核心素养。计算思维作为一种高阶思维，有助于丰富学生数学问题解决手段和工具，促进学生对数学内容的深度学习。计算思维的思维过程构成如图1所示。

通过对计算思维研究成果的归纳可以发现，计算思维围绕问题，指向问题解决的过程。而数学知识技能的学习也是以问题作为载体，这为两者的有机融合提供了有利条件。在数学教学中，问题解决教学模式一般包括创设情境、引入问题，分析问题、收集信息，寻找方法、设计方案，评价方法、得出结论，应用新知、产生迁移。这正好与计算思维所强调的抽象、分解、算法、评估与概括五个思维过程相匹配。也就是说，以数学问题为抓手，将计算思维融入高中数学课堂具备可行性。

二、指向计算思维培养的高中数学教学实施流程

依据前文的分析，结合问题解决教学模式的一般流程，笔者尝试将计算思维有机融入高中数学课堂教学，构建指向计算思维培养的教学实施流程（见图2）。教师完成课前准备，并作为引导者参与课堂教学。课堂教学以问题为中心，分为问题发现、问题分析、问题解决、方法反思与方法总结五个环节，分别对应计算思维的五个思维过程。在整个教学过程中，教师需要根据课堂反馈及时优化、调整课堂教学，在计算思维理念指导下，及时纠正学生出现的认知偏差。

（一）课前准备

课前准备时，教师需要明确教学目标，根据教学目标大致拟定课堂教学活动。同时，教师要对本节课所需要运用的知识进行概括梳理，提取核心教学内容，并形成中心、辅助与拓展三类问题。教师要认真研读数学教材与新课标，明确教材编排与设计意图，依据本堂课的重点设置若干个中心问题。中心问题需指向课堂教学的核心内容，其设置应有利于学生明确研究方向，有利于学生对知识的整体把握。辅助问题是解决中心问题的基础，是将中心问题进一步分解后所产生的铺垫性问题。辅助问题的设置需要结合学生已有的知识经验，不宜设置过难。最后，拓展问题的设置是在解决中心问题后对相关知识点的迁移应用。一般而言，拓展问题需要教师从教材的练习题、复习题或课外习题中归纳分析得到。教师可以按照课堂教学情况合理设置一至两个拓展问题，为学生后续数学知识的学习做好铺垫。

（二）课堂教学

1.问题发现

教师需要设置情境化問题。情境化问题可依据教材的例题和习题改编，也可结合学生生活实际、数学史与数学文化等素材加以设计。情境化问题的设置一方面可以激发学生的探究兴趣，使他们感悟数学知识的应用性；另一方面，学生可以从情境中抽象出数学问题，培养抽象思维。在问题发现的过程中，教师需要组织学生开展合理讨论，充分调动学生已有的知识经验，使他们从情境化问题中提取、抽象出数学问题。

2.问题分析

在问题分析阶段，教师需要结合课前准备的三大类问题，引导学生将复杂问题简单化。学生可以将暂时无法解决的中心问题分解为依靠已有知识可以解决或者暂时还无法解决的子问题。在中心问题逐步分解为若干个辅助问题的过程中，能够培养学生的分解思维。

3.问题解决

问题解决阶段需要以学生为主体，学生应结合所学知识，在教师的指导下探求各个数学问题的具体解决步骤或流程，形成对问题解决过程清晰的认识与理解。在此过程中，学生逐步尝试，最终实现对新知识的掌握。教师应让学生对所形成的解题步骤进行强化练习，落实算法思维的培养。

4.方法反思

很多数学问题都存在一题多解的情况，教师需要引导学生探索较优的解决方法。在问题得到解决之后，教师要引导学生评估解题的方法，比较多种方法之间的优劣势，明确不同方法更适用的数学问题类型。同时，教师要让学生针对已经形成的问题解决步骤进行完善与优化，进而培养学生的评估思维。

5.方法总结

在课堂教学的最后，教师要和学生共同总结本节课的内容，并在具体问题解决的基础上，从中提取出一般化的解决方案，以便将其迁移到其他类似题目的解决中。教师要引导学生掌握一类数学问题解决的模式化方法，在此过程中培养学生的概括思维。

（三）课堂反馈

教师在课前需要预设教学流程，设想课堂教学过程中学生容易出现的问题。在课堂教学中，教师需要有意识地引导学生解决问题，并及时通过学生的反馈调整课堂教学。课后，教师要通过反思教学目标达成情况、学生课堂表现情况，改进自己的教学设计，调整中心、辅助以及拓展问题的设置，将计算思维理念更好地融入课堂教学过程。

三、指向计算思维培养的高中数学课堂教学实践

下面以人教A版高中数学教材选择性必修第一册“直线与圆的位置关系”为例，论述如何设计指向计算思维培养的高中数学课堂教学活动。本节课的教学目标预设如下：掌握判断圆与直线位置关系的几何方法与代数方法，体会代数方法的算法性、普适性以及几何方法的简洁性；掌握并会计算与圆的弦长相关的问题；了解直线与圆在解决实际问题中的作用，体会数学的应用性。教师可以围绕问题依次开展如下五个课堂教学环节。

（一）从情境中抽象问题

【问题一】一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心、半径为20 km的圆形区域内。已知小岛中心位于轮船正西24 km处，港口位于小岛中心正北30 km处。如果轮船沿直线返航，那么它是否会有触礁危险？

【问题二】若轮船有触礁的危险，那么它受到环岛暗礁影响的距离有多长？

教师创设以上两个问题情境，问题由教材例题改编形成。其中，问题一对应本节课的中心问题，问题二作为问题一的延伸拓展，应在问题一解决后再予以呈现。教师在呈现问题情境后，应引导学生从中提炼关键信息，明确要解决的具体问题。学生将环岛暗礁的分布区域抽象为圆，将轮船的航线抽象为直线，进而从中抽象出本节课的核心内容：确定直线与圆的位置关系。

（二）通过分解分析问题

教师可根据学生初中所学知识以及教材呈现内容，将本节课教学任务分解为四个教学问题（见图3）。解决四个问题的过程，就是完成本课教学任务的过程。通过初中阶段的学习，学生已掌握了用直观定性的方式描述直线与圆的位置关系，即通过直线与圆公共点个数加以判断。而在高中阶段，需要让学生掌握用严格定量刻画的方式判断直线与圆的位置关系。因此，教师确定本堂课的中心问题为问题一。而问题二与问题三作为辅助问题，为问题一服务。问题四是在问题一基础上的延伸拓展问题，这四个问题构成了本节课的教学内容。教师在教学中需要引导学生一步步将中心问题进行分解，从而便于问题的解决。判断直线与圆的位置关系需要让学生回忆初中所学的平面几何知识，明确有哪些位置关系（即问题二的解决）。其中，半径与圆心到直線的距离关系为几何法的判断方式，而直线与圆的交点个数可以延伸出代数法的判断方式。在判断交点个数时，教师要让学生思考如何从已知的直线与圆的方程中得出结果（即问题三的解决）。这样，就让学生在问题分析中逐渐形成分解思维。

（三）建立算法解决问题

在解决问题的过程中，教师需要渗透算法思想，此处的算法侧重于问题解决的过程与步骤。在求解过程中，教师要引导学生明晰解题步骤，让学生掌握规范的解题流程，进而在答案书写中有逻辑地予以呈现。以情境问题一的解决为例，可以用代数法和几何法分别呈现其解题步骤。

1.代数法

步骤一：用适当的方式表示出直线与圆的方程。以小岛的中心为原点O，东西方向为x轴，建立平面直角坐标系。取10 km为单位长度，则港口所在位置的坐标为（0，3），轮船所在位置的坐标为（[125]，0）。则圆的标准方程为[x2] + [y2] = 4，直线的方程用截距式表示为[5x12] + [y3] = 1。

步骤二：联立直线与圆的方程，将所得到的方程组化简为一元二次方程。联立圆与直线的方程[x2+y2=45x12+y3=1]，化简得到关于y的一元二次方程41[y2] - 96y + 44 = 0。

步骤三：计算上述一元二次方程的根的判别式，将结果与零进行比较。若△ = [b2] - 4ac > 0，则直线与圆存在两个交点，此时直线与圆相交；若△ = [b2] - 4ac = 0，则直线与圆存在一个交点，此时直线与圆相切；若△ = [b2] - 4ac < 0，则直线与圆没有交点，此时直线与圆相离。

上述关于y的一元二次方程的根的判别式△ = 2000 > 0，故此直线与圆相交，所以轮船有触礁风险。

2.几何法

步骤一：计算圆心坐标、半径以及直线的方程。

以小岛的中心为原点O，东西方向为x轴，建立平面直角坐标系。取10 km为单位长度，则港口所在位置的坐标为（0，3），轮船所在位置的坐标为（[125]，0）。则圆心坐标为（0，0），半径为2，直线的方程用一般式表示为5x + 4y - 12 = 0。

步骤二：利用点到直线的距离公式，计算圆心到直线的距离。

步骤三：比较圆心到直线的距离与半径的大小。圆心到直线的距离d < 半径r，故此直线与圆相交，所以轮船有触礁风险。

流程图作为计算思维加工过程的可视化承载工具，可以将学生隐性的思维过程清晰地呈现，对培养学生算法思维乃至计算思维都非常重要。而伪代码作为一种描述算法的语言，能以更易于阅读的形式创建算法。教师可以让学生用流程图或伪代码形式呈现直线与圆位置关系的判断过程，引导学生明晰流程图或伪代码与上述建立的解题步骤之间相对应的关系。以流程图为例，其中圆心坐标（m，n）、圆心半径r以及直线方程的系数A、B、C作为输入数据，对应步骤一中计算圆心坐标、半径以及直线方程的过程。流程图中变量d赋值的过程就是步骤二中利用距离公式计算圆心到直线的距离过程，而流程图中依靠选择结构进行判断并输出结果的过程对应步骤三判断距离与半径大小的过程。

建议此环节让学生分小组相互讨论，在纸上采用流程图、伪代码或其他熟悉的方式來呈现直线与圆的判断过程，表达清楚该过程中的关键步骤。最后，教师将讨论结果向全班学生展示，进行分享与交流。有兴趣的学生可以在课后尝试用Python、C语言等程序语言在计算机上编写该判断程序。这些形式能够有效促进学生理解判断过程中的逻辑关系，从而掌握解题步骤。

（四）优化解决问题方案

教师对学生经过思考得出的几何法与代数法加以介绍，引导学生对两种方法进行评估，学会针对不同的问题采用较为简便、快捷的一种方法。教师可以用表格的方式呈现圆和直线的位置关系以及两种判断方式，强调几何法和代数法虽然最终都能判断出结果，但两种方式的思路截然不同。代数法侧重于数，更多倾向于坐标与方程；而几何法则侧重于形，结合了图形的几何性质。教师需要让学生思考两种方法的优劣势，如几何法方法简单、计算较为简便，而代数法虽然计算复杂，但方法更具有普遍性，是后续解决直线与圆锥曲线相交问题的一般解法。同时，教师也可以引导学生从设问的角度，选择更优的方法。例如，题目在判断直线与圆的位置关系后仍需求解交点坐标，那么此时采用代数法更为便捷。

除了比较不同解题方法外，针对一种方法进行优化也有利于培养学生的评估思维。例如，在采用代数法联立圆与直线的方程后，究竟将方程组化简为关于x的还是关于y的一元二次方程，便需要学生针对题目进行优化选择。

（五）归纳总结解题模式

在本节课问题解决后，教师需要指导学生进行课堂总结，将本节课所学的内容进行归纳梳理，同时需要形成一般化的方法。例如，从轮船是否具有触礁危险的情境问题中，抽象出解决一般性圆和直线位置判断方法。学生将直线表示为A[x] + B[y] + C = 0（A，B不全为零），将圆表示为[x2] + [y2] + D[x] + E[y] + F = 0（[D2] + [E2] - 4F > 0），通过代数法和几何法得到一般性结论。教师也可以通过框图呈现解题模式，例如，在解决情境问题四时，涉及求弦长问题，虽然可以利用垂径定理等圆的性质，依靠几何法求解，但是该方法不具有普适性，无法解决任意曲线f（x，y）与直线相交的弦长计算问题。因此，教师要突出用坐标求解的代数法，通过交点的两点距离公式计算弦长，并将其进一步优化拓展，形成直线与圆锥曲线相交时计算弦长的模式化方法。

综上，在计算思维理念指导下实施数学课堂教学，教师应侧重于从思维过程中着手培养学生的计算思维。同时，计算工具的使用也可以作为培养学生计算思维的重要手段。此外，教师应从多样化的视角构建计算思维的课堂教学模式，有效发展学生的数学核心素养。

参考文献：

［1］宁锐，李昌勇，罗宗绪.数学学科核心素养的结构及其教学意义［J］.数学教育学报，2019（2）.

［2］刘锦，曹一鸣.计算思维对中学数学课程改革的启示［J］.数学通报，2021（10）.

（责任编辑：杨强）