数学方法抽象性的具象转变探析

摘要：数学方法的抽象性给学生的数学学习带来了距离感。应融合数学方法的形成过程和学生学习数学的思维过程，让数学方法的抽象性更容易被学生接受，增强数学学科的亲和力。教师可带领学生深入弱抽象过程，投入探究过程，融入再创造活动，引入数学文化，淡化数学方法的抽象性，培养学生数学核心素养。

关键词：数学方法；抽象性；具象教学；小学数学教学

中图分类号：G623.5 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2024）02-0117-04

《义务教育数学课程标准（2022年版）》中，数学眼光主要表现为：抽象能力（包括数感、量感、符号意识）、几何直观、空间观念与创新意识。通过对现实世界中基本数量关系与空间形式的观察，学生能够直观理解所学的数学知识及其现实背景；能够在生活实践和其他学科中发现基本的数学研究对象及其所表达的事物之间简单的联系与规律；能够在实际情境中发现和提出有意义的数学问题，进行数学探究；逐步养成从数学角度观察现实世界的意识与习惯，发展好奇心、想象力和创新意识[1]。具象思维是直观思维的初级形式，而形象思维是直观思维的高级形式。数学具有抽象性，对于以直观思维为主的小学生而言，抽象的数学是有理解难度的，具象思维是帮助他们理解抽象数学的重要手段。

数学的一个最基本的特征就是高度抽象，而且数学的抽象还不同于其他学科：数学不但研究的对象是抽象的、形式化的思维材料，而且数学研究的思辨方式也是抽象的。数学的抽象特征处理得不当就会遮蔽数学学科应有的亲和力，掩盖学生学习数学的兴趣，影响数学学习的效果，解决这一问题的最佳策略是数学学习的具象化。小学数学的概念、方法与思想等是随着人类的发展以及数学本身的发展自然形成的。数学学习认识论认为学生学习数学思维过程是“从具体到抽象，从特殊到一般，由表及里，由现象到本质”。笔者提出淡化数学方法的抽象性，不是要抛弃数学抽象性，而是主张融合数学方法的形成过程和学生学习数学的思维过程，让数学方法的抽象性更容易被学生接受，增强数学学科的亲和力。

一、深入弱抽象过程，在数学化中发现

数学研究的对象是抽象的、形式化的思想材料，但现实世界中毕竟没有这些对象物化形式的实际存在，人类可能会依据数学对象去形成相关的客观背景，但它们依旧是人类思维抽象的产物。这种舍弃部分属性、保留共同属性的弱抽象过程让部分学生感到陌生，但数学对象形成的客观背景却为教学提供了突破口：通过丰富感知的材料，经过观察、比较等活动展示数学化的过程。

例如，在“倍的认识”的教学中，教师引导学生用小棒摆两行，让第二行的根数是第一行的5倍，开展比较：小棒的数量都不同，为什么第二行都是第一行的5倍？进一步拓展：（第一行3根，第二行15根）第二行是第一行的几倍？如何摆6倍、10倍、100倍？如果把小棒变成相对应的绿带子与红带子，红带子的长是绿带子的几倍？去掉带子的颜色，长带子是短带子的几倍？带子变成线段，再标上长度，第二条线段的长度是第一条的几倍？学生会自觉地想到用除法计算倍数关系。教师追问这里为什么用除法。学生发现就是求10里面有几个2，所以用除法计算。

这个学习过程实际上和人类认识数学的抽象过程是一致的：从小棒这样的实物之间的倍数开始动手操作，先把小棒抽象为彩带，去掉彩带的颜色，再把彩带抽象为线段，最后把线段抽象为用数据表示的长度，成倍数的两个量可以有不同的表现形式，但只要是把一个量看作1份，另一个量有这样的5份，就是5倍的关系。学生通过两个数量之间的5倍关系由具体到抽象的过程，认识到求两个量之间的倍数关系用除法。抽象的数量之间倍的关系经历了这样的生成过程，运用图例、实物等思维“可视化”技术可将学生看不见的思维方法呈现出来，使学生思维变得清晰，从而帮助学生理解概念、发现规律、掌握方法、建构思想等[2]。

二、投入探究过程，在猜想验证中体验

数学的思维方式以抽象的思辨为主，严谨的逻辑推理对小学生而言过于抽象，学生会感到比较陌生。根据小学生的年龄特点，无论是教材的编写人员，还是一线的教育专家都建议：数学教学中多运用合情推理的探索方法来得出结论。这种合情推理的方法就是从一类对象的部分对象都具有的某种性质中推出这类对象全体都具有这种性质，从一个或几个特殊情形中推出一般性结论的归纳推理方法。实践证明学生很容易接受并掌握这种方法。

在“分数除以整数”的教学中，创设探究过程，让学生获得观察猜想和举例验证的体验。

（一）搭建观察猜想的平台

数学的历史表明，数学的发展与数学猜想密切联系。猜想时，往往要将问题加以特殊化和具体化，对观察到的现象和情况进行分析、比较、综合、归纳，把其中本质的性质抽取出来，目的是为了提出合理的猜想。它不是对问题的所有可能的情况进行归纳，而是从若干个别的事实中看到真理的端倪或身影，从中受到启发，提出假设和猜想。

教师出示这样的题组：“老師带来了同样大小的4个橙子分给小朋友，每人吃2个，一共可以分给几个小朋友？每人吃1个呢？每人吃 个呢？”通过追问“为什么这里都用除法？”，让学生感知4里面有几个“1份”。教师引导学生通过分圆片来观察思考：“4里面有几个 呢？”学生观察圆片可以很快看出4里面有8个     。仔细对比4÷     、4×2这两个式子，有些思维能力较强的学生当时就能提出这样的猜想：似乎一个数除以几分之一等于乘几分之一的倒数。

（二）提供举例检验的空间

小学数学探究活动中的检验，并不是通常意义上的数学证明，即不是逻辑推理的论证，因此这样的猜想验证才会被小学生接受。这种探究性的检验，实际上是借助特例或反例，对所提出的猜想进行思想验证。通过这样的检验，或提高猜想的可信度，或对原来的猜想进行改进，或推翻原来的猜想。

针对提出猜想后学生感觉到还需要再探究一些例子，教师及时呈现以下例子：“如果每人吃    个，可以分给几人？如果每人吃    个呢？”让学生分组研究，學生边操作边思考，找到解决问题的办法，认识到4÷    和4÷   这两个例子都可以用整数乘这个分数的倒数来算。有学生持怀疑态度：这个结论有可能是对的，但目前我们还不能确定。然后再追问：怎么才能确定这个结论是正确的呢？有学生提出：可以用4除以一个任意的分数试试看。教师再引导：是不是每个人所举的例子都可以用乘倒数算呢？学生发现全班同学的几十个例子中都找不到反例，结论正确的情况越多，结论的可靠性就越大。此时，教师深入提问：“有没有同学的例子能代表所有的同学所举的例子？”启发学生举出一般性的例子：“4个橙子，如果每人吃     个，可以分给几人？（n不为0）”当然，这个例子概括了这种问题的所有情况，已涉及代数的内容，具有很强的抽象性。

通过以上层层深入的几个步骤，学生充分地自主探究、体验，思维从具体到抽象、从特殊到一般。这样探究的方式，学生乐于接受，同时还可提升不完全归纳的可靠性，培养学生科学严谨的学习精神。

三、融入再创造活动，在亲身实践中提炼

数学思想方法是对数学对象的本质认识，是对数学认识过程中提炼概括的基本观点和根本想法，对数学活动具有普遍的指导意义，是数学的灵魂。数学思想方法不能单独存在，而是蕴含在数学知识中，特别蕴含在数学概念和原理的形成过程中。这就要求我们有意识地安排从中领悟数学思想方法的过程[3]。实践中应当充分利用概念和原理的形成过程，让学生在教师的指导下经历数学思想方法的再创造过程，即悟数学思想方法。悟需要实践过程，需要一个循序渐进、逐步逼近思想本质的过程。

重叠问题在日常生活中应用比较广泛，具有浓浓的生活味。集合是比较系统抽象的数学思想方法，针对小学生的认知水平，让学生通过生活中容易理解的题材去初步体会集合思想，学生能够用自己所悟到的数学思想方法来解决问题[4]。因此，在“重叠问题”的教学中，集合图的生成及理解一定要作为重中之重，因为集合图渗透着集合的数学思想。集合图的生成过程就是集合思想的渗透过程。学生初次接触，对于他们来说是一个认知的跨越，也是一个思维的跨越。

在教学中，首先，为学生提供含有重叠问题的信息：参加定点投篮比赛的同学的名单和参加运球跑比赛的同学的名单。其次，引导学生在解决问题时多加思考：需要选拔多少人参加这两项比赛？为什么有的计算的结果比实际数量要多？再次，激发学生整理重复信息。整理的结果应该符合这样的标准：体现形象、美观、简单的特点，便于观察。最后，在课堂上让学生充分地自主整理，学生发现了很多整理的方式：

方式1：

参加定点投篮比赛的：1、2、3、（4、5）

参加运球跑比赛的：6、7、8、9、（4、5）

括号里是两项都参加的

方式2：

只参加定点投篮比赛的：（1、2、3）

只参加运球跑比赛的：（6、7、8、9）

两项都参加的：（4、5）

方式3：

只参加定点投篮比赛的：（1、2、3）

两项都参加的：（4、5）

只参加运球跑比赛的：（6、7、8、9）

方式4：（分别对应文字下方内容，括号里两项都参加）

参加定点投篮比赛的：     参加运球跑比赛的：

1、2、3、（4、5）、6、7、8、9

教师追问：表示信息的方式各有什么特点呢？哪一种表示方式最好？找一找心目中理想的方法。多种不同的方式可以引发学生思维的碰撞。

学生的再创造源于自身对问题的深切感受和教师的恰当引导，是学生为了解决问题的必然选择，从而使再创造成为可能。经历这样的再创造，学生对抽象的、集合的数学思想方法不再陌生，感觉这些方法就在自己身边，当学生需要时，经过思考，这些数学思想方法就会得以运用。

四、引入数学文化，在具象探究中提升

教师不仅仅是数学知识的传递者，也是数学文化的介绍者，更是学生数学观念的缔造者[5]。数学文化是数学历史发展的“活化石”。课堂上教师不仅能把数学文化当作开拓视野的内容，而且可以借鉴数学文化中经典方法的实际运用，引导学生在具象的探究中，创造性地解决一些数学方法探索中的矛盾。

将数学文化中的内在美引入课堂，在数学文化中追寻数学的美，不仅有利于学习困难的解决，而且有利于学生对数学方法产生亲切感。例如，学生对圆周率已知晓，但教师故意“搅局”，问道：墨子说“大圆之圆与小圆之圆同”，《周髀算经》说“周三径一”，都是书上记载，为什么会不同呢？在这样的问题思考中，引发认知冲突，学生就会精心测量周长、直径，认真地计算。学生的探究还是得不到3.14。甚至教师的亲自动手测量计算都得不到理想的数据，学生感觉到用测量的办法是永远无法得到这个答案的。基于这样的愤悱情绪，学生就会有去探寻中外数学家解决圆周率问题的动机。“割圆术”在此时的出现水到渠成，教师介绍“割圆术”：不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周长的方法。按照这样的思路，由此而求得了圆周率为3.14和3.1416这两个近似数值。教师让学生讨论“割圆术”和“操作测量法”比较有什么优点。学生感觉到越是把圆周分割得细，误差就越少，其内接正多边形的周长就越是接近圆周。如此不断地分割下去，一直到圆周无法再分割为止，也就是到了圆内接正多边形的边数无限多的时候，它的周长就与圆周“合体”而完全一致了。

“割圆术”数学方法的巧妙和数学思想方法的创造让学生在形象生动的探究过程中感受到数学的美好。在具象探究中解决圆周率的有关问题时，学生受到数学文化的熏陶、数学美的感染，被培养了这样的观念：当一种方法难以解决一个问题时，就得另辟蹊径，这就是数学上的创新。

教学实践中，教师应坚持循序渐进，逐步深入；强调从特殊到一般，从具体到抽象；克服急于求成、急功近利的思想。教师带领学生深入弱抽象过程，投入探究过程，融入再创造活动，引入数学文化，淡化数学方法的抽象性，让不同智力水平的学生获得基本的数学素养。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2022：5-6.

[2]徐萌.聚焦思维“可视化”，引领学生走向数学意义的深刻理解[J].教育观察，2019（8）：100-101.

[3]陈志凯.指向思维可视化的小学数学教学策略[J].数学教学通讯，2022（4）：17-18.

[4]徐慧萍.讲究教学策略 提升思维品质[J].小学数学教育，2018（9）：16-17.

[5]陈华忠.提升数学核心素养的五个着眼点[J].江西教育，2016（29）：73-74.

责任编辑：石萍

收稿日期：2023-12-11

作者简介：程伟伟，南京市鼓楼实验小学，主要研究方向为小学数学教学。