２０２４年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷数学(全国乙卷)

胡云兵

（本试卷满分１５０分，考试用时１２０分钟）

１８．已知某科技公司的某型号芯片的各项指标经过全面检测后分为Ⅰ级和Ⅱ级，两种品级芯片的某项指标的频率分布直方图如图所示．

若只利用该指标制定一个标准，需要确定临界值K ，按规定将该指标大于K 的产品应用于A 型手机，小于或等于K 的产品应用于B 型手机．若将Ⅰ级品中该指标小于或等于临界值K 的芯片错误应用于A 型手机会导致芯片生产商每部手机损失８００元;若将Ⅱ级品中该指标大于临界值K 的芯片错误应用于B 型手机会导致芯片生产商每部手机损失４００元．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．

（１）当临界值K ＝７０时，将２个没有进行该指标检测的Ⅰ级品芯片直接应用于A 型手机，求芯片生产商的损失ξ（单位：元）的分布列及期望．

（２）设K ＝x 且x∈[５０，５５]，现有足够多的Ⅰ级品芯片和Ⅱ级品芯片，分别应用于A 型手机、B 型手机各１万部的生产．

方案１：将芯片不进行该指标检测，Ⅰ级品芯片直接应用于A 型手机，Ⅱ级品芯片直接应用于B 型手机;

方案２：重新检测Ⅰ级品芯片和Ⅱ级品芯片的该项指标，并按规定正确应用于手机型号，会避免方案１的损失费用，但检测费用共需要１３０万元．

请从芯片生产商的成本考虑，选择合理的方案，并说明理由．

１９．如图所示，已知正方体ABCDＧA１B１C１D１ 的棱长为２．

（１）求证：A１C⊥平面AB１D１;

（２）若平面α∥平面AB１D１，且平面α 與正方体的棱相交，当截面面积最大时，在所给图形上画出截面图形（不必说出画法和理由），并求出截面面积的最大值;

（３）在（２）的条件下，设平面α 与正方体的棱AB，BB１，B１C１ 分别交于点E，F，G，当截面的面积最大时，求二面角D１ＧEFＧG 的余弦值．