２０２４年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷数学(全国甲卷)

巨小鹏

（本试卷满分１５０分，考试用时１２０分钟）

１８．如图所示，在四棱锥PＧABCD 中，PD ＝２AD ，PD ⊥DA ，PD ⊥DC，底面ABCD 为正方形，M ，N 分别为AD ，PD 的中点．

（１）求证：PA ∥平面MNC;

（２）求直线PB 与平面MNC 所成角的正弦值．

１９．某村从事以紫长茄为主的蔬菜种植．受种植条件、管理水平、市场等因素影响，每年紫长茄的平均亩产量和统一收购价格会有波动，亩产量与收购价格互不影响．根据以往资料预测，该村紫长茄今年的平均亩产量X （单位：吨）的分布列如下表所示．

紫长茄今年的平均统一收购价格Y（单位：万元/吨）的分布列如下表所示．

（１）某农户种植三个大棚紫长茄，每个大棚１亩，每个大棚产量相互独立，求这三个大棚今年总产量不低于３４吨的概率;

（２）紫長茄今年每亩种植成本约１５万元，设Z 表示该村紫长茄今年平均每亩的利润（单位：万元），求Z 的分布列和数学期望．

２０．已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点A（１，２）为抛物线C 上一点．

（１）求C 的方程;

（２）若点B（１，－２）在C 上，过B 作C 的两弦BP 与BQ，若kBP kBQ ＝－２，求证：直线PQ 过定点．

２１．已知函数f（x）＝ex －e－x ，g（x）＝ax，其中a∈R．

（１）试讨论函数F（x）＝f（x）－g（x）的单调性．

（２）当a＝２时，记函数f（x），g（x）的图像分别为曲线C１，C２．在C２ 上取点Pn（xn ，yn）作x 轴的垂线交C１于Qn ，再过点Qn 作y 轴的垂线交C２ 于Pn＋１（xn＋１，yn＋１）（n∈N? ），且x１＝１．

（ⅰ）用xn 表示xn＋１;

（ⅱ）设数列{xn}和{lnxn}的前n 项和分别为Sn ，Tn ，求证：Sn －Tn＋１＞nln２．