一道试题的解法探究与教学反思
2024-05-13庞毅
庞毅
[摘 要]通过对一道高三摸底试题进行考情分析、解法探究和问题拓展,揭示试题的本质,并从注重解题经验积累培养数学运算素养、注重信息技术应用培养学生数字素养两个方面提出教学反思。
[关键词]解法探究;教学反思;圆锥曲线;信息技术
[中图分类号] G633.6 [文獻标识码] A [文章编号] 1674-6058(2024)05-0025-03
解析几何是高考加强“综合性”考查的重要载体。广西南宁市2024届高中毕业班摸底测试第21题将直线与椭圆的位置关系以及长度计算相结合,问题设计紧扣高考评价体系的“基础性、综合性、应用性、创新性”考查要求,既基础又开放,对高三数学复习备考具有重要的参考意义。
一、试题呈现与考情分析
(一)试题呈现
已知平面上动点[E]到点[A(1,0)]与到圆[B:x2+y2+2x-15=0]的圆心[B]的距离之和等于该圆半径。记Ε的轨迹为曲线[Γ]。
(1)说明[Γ]是什么曲线,并求[Γ]的方程;
(2)设[C]、[D]是[Γ]上关于[x]轴对称的不同两点,点[M]在[Γ]上,且[M]异于[C]、[D]两点,[O]为原点,直线[CM]交[x]轴于点[P],直线[DM]交[x]轴于点[Q],试问[OP·OQ]是否为定值?若为定值,求出这个定值;若不是定值,请说明理由。
评析:本题主要考查椭圆的定义、标准方程、几何性质和直线方程等主干知识,考查通过代数运算结果判断几何性质的坐标法和函数与方程、转化与化归以及数形结合等数学思想,考查逻辑推理、数学运算等核心素养。第(2)问是开放性问题,重点考查学生的创新能力和探索精神。
(二)考情分析
本题的考试情况如表1所示。
[题目 实考
人数 满分 平均分 标准差 难度 区分度 满分率 零分率 第21题 54110 12 1.15 1.77 0.15 0.21 0.16 29.52 ]
从统计的结果来看,本题总体平均分1.15,难度0.15,这个结果出乎命题组的预料。为了解考生的解答情况,笔者对部分考生的答题卡进行分析并访谈考生。通过分析与访谈发现,潜力生直接放弃答题;部分中等生解答第(1)问时根据文字的描述列出[(x-1)2+y2+(x+1)2+y2=4]这一方程,因简化困难而止步;优秀生在解答完第(1)问后,设[CM]的方程为[y=kx+m],然后代入椭圆方程,应用韦达定理,写两根之和与两根之积的表达式,后因感觉运算繁杂而放弃。由此可见,出现较低平均分的原因是学生不具备解决此类问题的基本活动经验,缺乏对运算对象的理解、运算思路的探究、运算方法的选择和运算背景的变换的能力。
二、解法探究
第(1)问启发学生从椭圆的定义入手,不难得出椭圆的标准方程为[x24+y23=1]。本文仅对第(2)问进行探究。
解法1:如图1所示,设直线[CM]的方程为[y=kx+m],[C(x1,y1)], [D(x1,-y1)], [M(x2,y2),]
由[y=kx+m,3x2+4y2=12,]得
[(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0],
则[x1+x2=-8km3+4k2],[x1x2=4m2-123+4k2]。
直线[DM]的方程为[y+y1=y1+y2x2-x1(x-x1)],令[y=0],得[xQ=x1+y1(x2-x1)y1+y2],
所以[OQ=xQ=x1+y1(x2-x1)y1+y2=x1y2+x2y1y1+y2=x1(kx2+m)+x2(kx1+m)kx1+m+kx2+m=2k·4m2-123+4k2+m·-8km3+4k2k·-8km3+4k2+2m=4km]。
在[y=kx+m]中,令[y=0],得[xP=-mk],
所以[OPOQ=-mk·4km=4],
因此,[OPOQ]为定值4。
反思:本解法用代数方法解决几何问题,充分展现了坐标法的魅力与威力。从直线与椭圆的位置关系入手,利用方程思想,用[k]、[m]分别表示[OP]、[OQ],从而求出[OPOQ]的值与[k]、[m]无关,判断出其为定值。但用[k]、[m]表示[OQ]时冗长繁杂,考生在规定时间内难以完成。
解法2:考虑特殊情形,当点[M]在椭圆长轴顶点时,[M]、[P]、[Q]三点重合,[OP=OQ=a],所以[OPOQ=a2]。由此猜想,本题条件下可能有[OP·OQ=a2]。
设[C(x1,y1)],[D(x1,-y1)],[M(x2,y2)],
则设直线[CM]的方程为[y-y1=y2-y1x2-x1(x-x1)],
令[y=0],得[xP=x1-y1(x2-x1)y2-y1=x1y2-x2y1y2-y1]。
因为点[D]与[C]关于[x]轴对称,所以用“[-y1]”代换“[y1]”,可由[xP]得[xQ=x1y2+x2y1y2+y1],
所以[OPOQ=xPxQ=x12y22-x22y21y22-y21](*)。
因为[C(x1,y1)],[M(x2,y2)]均在椭圆[x2a2+y2b2=1(a>b>0)]上,所以[x21y22-y21x22=a21-y21b2y22-a21-y22b2y21=a2(y22-y21)],
所以[OPOQ=xPxQ=x21y22-x22y21y22-y21=a2],
因此, [OPOQ]为定值4。
反思:本解法先找特殊点,猜想[OPOQ]的可能取值,再进行一般化证明,这是解决存在性问题的基本方法。本解法充分利用点[C(x1,y1)]与[D(x1,-y1)]关于[x]轴对称的性质,用“[-y1]”代换“[y1]”就可由[xP]得[xQ],这种对称代换方法可减少运算量,使运算变得简单明了。与解法1相比,本解法凸显“探究运算思路,选择运算方法,设计运算程序”的重要性。另外,在化简[x21y22-x22y21y22-y21]時,利用椭圆标准方程代换后结果为[a2],表明结果只与椭圆长半轴有关,具有一般性。
三、问题拓展
(一)变换对称轴
拓展1:设[C]、[D]是[Γ:][x2a2+y2b2=1(a>b>0)]上关于[y]轴对称的不同两点,点[M]在[Γ]上,且[M]异于[C]、[D]两点,[O]为原点,直线[CM]交[y]轴于点[P],直线[DM]交[y]轴于点[Q],试问[OP·OQ]是否为定值?若为定值,求出这个定值;若不是定值,请说明理由。
解:如图2所示,设[C(x1,y1)],[D(-x1,y1)],[M(x2,y2)], 则直线[CM]的方程为[y-y1=y2-y1x2-x1(x-x1)],
令[x=0 ],得[yP=-x1(y2-y1)x2-x1+] [y1=x2y1-x1y2x2-x1],
用“[-x1]”代换“[x1]”,由[yP]得[yQ=x2y1+x1y2x2+x1],
所以[OPOQ=yPyQ=x22y21-x21y22x22-x21](**),
因为[C(x1,y1)],[M(x2,y2)]均在椭圆[x2a2+y2b2=1(a>b>0)]上,所以[x22y21-x21y22=x22b21-x21a2-x21b21-x22b2=b2(x22-x21)],
所以[OPOQ=yPyQ=x22y21-x21y22x22-x21=b2],
因此,[OPOQ]为定值[b2]。
(二)变换曲线
拓展2:设[C]、[D]是[Γ:][x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)]上关于[x]轴对称的不同两点,点[M]在[Γ]上,且[M]异于[C]、[D]两点,[O]为原点,直线[CM]交[x]轴于点[P],直线[DM]交[x]轴于点[Q],试问[OP·OQ]是否为定值?若为定值,求出这个定值;若不是定值,请说明理由。
解:接解法2(*),因为[C(x1,y1)],[M(x2,y2)]均在双曲线[x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)]上,所以[x21y22-x22y21=a21+y21b2y22-a21+y22b2y21=a2(y22-y21)],
所以[OPOQ=xPxQ=x21y22-y21x22y22-y21=a2],
因此,[OPOQ]为定值[a2]。
拓展3:设[C]、[D]是[Γ:][x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)]上关于[y]轴对称的不同两点,点[M]在[Γ]上,且[M]异于[C]、[D]两点,[O]为原点,直线[CM]交[x]轴于点[P],直线[DM]交[y]轴于点[Q],试问[OP·OQ]是否为定值?若为定值,求出这个定值;若不是定值,请说明理由。
解:接拓展1解法(**),因为[C(x1,y1)],[M(x2,y2)]均在双曲线[x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)]上,
所以[x22y21-x21y22=x22b2x21a2-1-x21b2x22b2-1=-b2(x22-x21)],
所以[OPOQ=yPyQ=x22y21-x21y22x22-x21=b2],
因此,[OPOQ]为定值[b2]。
拓展4:设[C]、[D]是[Γ:][y2=2px (p>0)]上关于[x]轴对称的不同两点,点[M]在[Γ]上,且[M]异于[C]、[D]两点,[O]为原点,直线[CM]交[x]轴于点[P],直线[DM]交[x]轴于点[Q],试问[OP·OQ]是否为定值?若为定值,求出这个定值;若不是定值,请说明理由。
解:接解法2(*),因为[C(x1,y1)],[M(x2,y2)]均在抛物线[y2=2px (p>0)]上,
所以[OPOQ=xPxQ=x21y22-x22y21y22-y21=y21y224p2]不是定值。
反思:[OPOQ]不是定值,但[xP+xQ=x1y2-x2y1y2-y1+] [x1y2+x2y1y2+y1=-y1y22p+y1y22p=0]为定值。由以上拓展可知,曲线(椭圆或双曲线)[Γ]上关于其对称轴对称两点与曲线[Γ]上另外一点的连线,在该对称轴上截距乘积的绝对值为定值,定值为曲线[Γ]在该对称轴半轴长的平方。
四、教学反思
以上分析和问题拓展,显示出试题的立意深刻和背景丰富,存在很好的教学价值。但学生的得分情况反映出学生的学和教师的教都还缺乏实效,值得我们反思。
(一)注重解题经验积累,培养学生的数学运算素养
解析几何解答题是高考考查学生数学运算素养的重要载体。《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》指出:“数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的素养。主要包括:理解运算对象,掌握运算法则,探究运算思路,选择运算方法,设计运算程序,求得运算结果等。”在高三数学复习过程中,教师应注重教材例题、习题和历年高考典型试题的“一题多解”训练,引导学生积累解题经验,形成良好的认识结构;探索“多题一解”,揭示试题的本质,提高学生分析问题和解决问题的能力。同时,注重解题技巧(如对称代换)的运用,缩减运算步骤,提高解题效率。
(二)注重信息技术的运用,培养学生的直观想象素养
信息技术的运用可以帮助学生理解概念、提高数学抽象能力,为学生分析问题和解决问题提供可视化、直观化的帮助,促进学生深度学习。几何画板软件是学生分析与解决解析几何问题最有力的帮手,让学生掌握该软件的使用方法,不仅能够提高学生学习解析几何的兴趣,消除学生对解析几何题的畏难心理,还能提升学生的动态几何感知能力,加深学生对基本定义的理解,拓展学生思维,帮助学生建立形与数的联系,构建数学问题的直观模型,探索解决问题的思路,从而提升学生的直观想象素养。
[ 参 考 文 献 ]
[1] 胡善俊,余树宝.基于数学活动经验的解题实践与教学思考[J].中学数学教学参考,2019(34):37-40.
[2] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准:2017年版2020年修订[M].北京:人民教育出版社,2020.
(责任编辑 黄桂坚)