例谈中位线定理在几何问题中的应用

李小娟

［摘 要］中位线定理是初中数学的重要定理，它在平面几何问题的解决中有广泛的应用。文章通过分析典型例题，介绍一些中位线定理的应用方法，旨在帮助学生提高解题效率，提升解题能力。

［关键词］中位线定理；几何问题；应用

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2024）05-0009-03

中位线定理是初中数学的重要定理，它在平面几何问题的解决中有广泛的应用。下面笔者结合一些典型例题介绍一些中位线定理的应用方法。

一、利用中位线定理求线段的长

因为中位线定理反映两条线段之间的数量关系，所以已知三角形中位线与第三边中的其中一个量，就可以求得另一个量。

［例1］（1）课本再现：如图1所示，[D]、[E]分别是[△ABC]的边[AB]、[AC]的中点。求证：[DE]∥[BC]，且[DE=12BC]。定理证明：如图2所示，延长[DE]至点[F]，使得[EF=DE]，连接[CF]。请你写出完整的证明过程。

（2）知识应用：如图3所示，在四边形[ABCD]中，[AB=6]，[CD=8]，[∠BAC=30°]，[∠ACD=120°]，点[E]、[F]、[M]分别是[AD]、[BC]、[AC]的中点，求[EF]的长。

（1）证明：在[△AED]和[△CEF]中，[DE=FE，∠AED=∠CEFAE=CE，]，

∴[△AED ]≌[△CEF]（SAS），∴[AD=CF]，[∠A=∠ECF]，∴[AB]∥[CF]，∵[AD=BD]，∴[BD=CF]，∴四边形[DBCF]为平行四边形，∴[DF]∥[BC]，[DF=BC]，∴[DE]∥[BC]，[DE=12BC]。

（2）解：∵点[E]、[M]分别是[AD]、[AC]的中点，∴[EM]是[△ADC]的中位线，∴[EM=12CD=4]，[EM]∥[CD]，∴[∠EMC+∠ACD=180°]，∵[∠ACD=120°]，∴[∠EMC=60°]。同理可得，[MF=12AB=3]，[MF]∥[AB]，∴[∠CMF=∠BAC]，∵[∠BAC=30°]，∴[∠CMF=30°]，∴[∠EMF=90°]，∴在Rt[△EMF]中，[EF=EM2+MF2=42+32=5]。

评注：本题首先回顾了中位线定理的证明过程，然后运用中位线求线段的长。在此过程中，不仅应用了中位线的位置关系，得到相应的角度，而且应用了中位线的数量关系，得到相应线段的长，最后在所确定的直角三角形中应用勾股定理求得线段的长。

二、利用中位线定理证明线段相等

利用中位线定理证明线段相等，需要证明这两条线段分别是另两个三角形的中位线，然后再利用全等三角形证明另两个三角形的第三边相等。在此过程中，可能不止一次地利用全等三角形证明线段相等，还可能利用特殊三角形的性质获得相等的线段或角。

［例2］如图4所示，已知两个等腰Rt[△ABC]，Rt[△CEF]有公共顶点[C]，[∠ABC=∠CEF=90°]，连接[AF]，[M]是[AF]的中点，连接[MB]、[ME]。当[∠BCE=45°]时，求证： [BM=ME]。

求证：如图5所示，延长[AB]交[CE]于点[D]，连接[DF]，则易知[△ABC]与[△BCD]均为等腰直角三角形，∴[AB=BC=BD]，[AC=CD]，∴点[B]为[AD]的中点，又∵点[M]为[AF]的中点，∴[BM=12DF]。延长[FE]与[CB]延长线交于点[G]，连接[AG]，则易知[△CEF]与[△CEG]均为等腰直角三角形，∴[CE=EF=EG]，[CF=CG]，∴点[E]为[FG]的中点，又∵点[M]为[AF]的中点，∴[ME=12AG]。在[△ACG]与[△DCF]中，[AC=CD，∠ACG=∠DCF=45°CG=CF，]，∴[△ACG ]≌[△DCF]（SAS），∴[DF=AG]，即[BM=ME]。

评注：利用三角形中位线定理证明线段之间的相等关系，就是将欲证明相等的两条线段进行转移，通过证明与之关联的两条线段相等，从而证明原来的两条线段相等。当题中有中点或较多中点时，可以考虑使用中位线定理。

三、利用三角形中位线证明线段的和差关系

利用三角形中位线定理证明线段的和差关系，首先证明一条线段是某个三角形的中位线，然后再证明其他线段與三角形第三边之间的数量关系，最后再代入即可。

［例3］（1）如图6所示，[BD]、[CE]分别是[△ABC]的外角平分线，过点[A]作[AF⊥BD]，[AG⊥CE]，垂足分别是[F]、[G]，连接[FG]，延长[AF]、[AG]，与直线[BC]相交于点M、N。求证：[FG=12（AB+BC+AC）]。

（2）若[BD]、[CE]分别是[△ABC]的内角平分线（如图7），其余条件不变，线段[FG]与[△ABC]的三边又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明。

（1）求证：∵[AF⊥BD]，[∠ABF=∠MBF]，∴[∠BAF=∠BMF]，在[△ABF]和[△MBF]中，∵[∠AFB=∠MFB，BF=BF，∠ABF=∠MBF，]∴[△ABF ]≌[△MBF]（ASA），∴[MB=AB]，[AF=MF]。同理，[CN=AC]，[AG=NG]，∴[FG]是[△AMN]的中位线，∴[FG=12MN=12]（[MB+BC+CN]）[=12]（[AB+BC+AC]）。

（2）[FG=12]（[AB+AC-BC]）。如图8所示，延长[AG]、[AF]，与直线[BC]相交于[M]、[N]，∵由（1）的证明过程类似证明[△ABF ]≌[△NBF]，∴[NB=AB]，[AF=NF]，同理[CM=AC]，[AG=MG]，∴[FG]是[△AMN]的中位线，∴[FG=12MN]，∴[BC=BN+CM-MN=AB+AC-2FG ]，∴[FG=12（AB+AC-BC）]，所以线段[FG]与[△ABC]三边的数量关系是[FG=12]（[AB+AC-BC]）。

评注：本题利用三角形中位线定理证明了一个重要的结论，即从三角形一个顶点向两条外角平分线作垂线，两个垂足之间的线段长等于三角形周长的一半；从三角形一个顶点[A]向两条内角平分线作垂线，两垂足之间的线段长等于以点[A]为端点的两条边的和减去第三边的差的一半。

四、利用三角形中位线定理证明角相等

利用三角形中位线定理证明角相等，首先要利用中位线定理得到线段之间的数量关系与平行关系，然后结合已知条件得到相等的线段，最后由“等边对等角”得到相等的角。

［例4］如图9所示，在四边形[ABCD]中，[AB=CD]，点[E]、[F]分别是边[AD]、[BC]的中点，直线[EF]分别与[BA]、[CD]的延长线交于点[M]、[N]。求证：[∠BMF=∠CNF]。

解析：如图10所示，连接[BD]，取[BD]的中点[P]，连接[PE]、[PF]，可得[PE]为[△ABD]的中位线，[PF]为[△BCD]的中位线，∴[PE]∥[AB]，[PF]∥[CD]，[PE=12AB]，[PF=12CD]，∴[∠PEF=∠BMF]，[∠PFE=∠CNF]，∵[AB=CD]，∴[PE=PF]，∴[∠PFE=∠PEF]，∴[∠BMF=∠CNF]。

评注：连接四边形的对角线，取对角线的中点，构造三角形中位线，在证明过程中，既利用了三角形中位线的平行关系，也利用了三角形中位线中线段之间的数量关系，即通过“中位线相等”得“两角相等”，通过“平行”得“同位角相等”，进而得证。

五、利用三角形中位线定理求角的度数

利用三角形中位线定理求角的度数，首先要构造三角形中位线，然后利用三角形中位线获得线段的平行关系与数量关系，最后结合已知角度与三角形内角和定理求角的度数。

［例5］如图11所示，在[△ABC]中，[∠A=40°]，[D]、[E]分别在[AB]、[AC]上，[BD=CE]，[BE]、[CD]的中点分别是[M]、[N]，直线[MN]分别交[AB]、[AC]于[P]、[Q]。求[∠APQ]的度数。

解析：如图12所示，取[BC]的中点[H]，连接[MH]、[NH]，∵[M]、[H]为[BE]、[BC]的中点，∴[MH]是[△BCE]的中位线，∴[MH]∥[EC]，[MH=12EC]。∵[N]、[H]为[CD]、[BC]的中点，∴[NH]是[△BCD]的中位线，∴[NH]∥[BD]，[NH=12BD]。∵[BD=CE]，∴[MH=NH]，∴[∠HMN=∠HNM]，∵[MH]∥[EC]，∴[∠HMN=∠PQA]，同理，[∠HNM=∠QPA]，∴[∠APQ=∠AQP=12×（180°-∠A）=70°]。

评注：本题已知两条线段的中点，但是这两条线段并不在同一个三角形中，无法直接利用三角形中位线定理，我们发现线段[BC]分别与有中点的两条线段在三角形中，当取[BC]的中点[H]，分别连接[MH]、[NH]后，能够获得两条三角形中位线。

六、利用三角形中位线定理判定四边形的形状

利用三角形中位线定理判定四边形的形状，一般用于判定中点四边形的形状，对于任意四边形的中点四边形，利用三角形中位线定理可判定其为平行四边形。当原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形；当原四边形的对角线互相垂直时，中点四边形是矩形；当原四边形的对角线相等且互相垂直时，中点四边形是正方形。

［例6］我們给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形。（1）如图13所示，点[P]是四边形[ABCD]内一点，且满足[PA=PB]，[PC=PD]，[∠APB=∠CPD]，点[E]、[F]、[G]、[H]分别为边[AB]、[BC]、[CD]、[DA]的中点，猜想中点四边形[EFGH]的形状，并证明你的猜想。（2）若改变（1）中的条件，使[∠APB=∠CPD=90°]，其他条件不变，直接写出中点四边形[EFGH]的形状（不必证明）。

解析：（1）四边形[EFGH]是菱形。如图14所示，连接[AC]、[BD]，∵[∠APB=∠CPD]，∴[∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD]，即[∠APC=∠BPD ]，在[△APC]和[△BPD]中，[AP=BP，∠APC=∠BPDPC=PD，]，

∴[△APC ]≌[△BPD]（SAS），∴[AC=BD]，∵点[E]、[F]、[G]、[H]分别为边[AB]、[BC]、[CD]、[DA]的中点，∴[EF=12AC]，[FG=12BD]，[EH=12BD]，[GH=12AC]，∴[EF=FG=GH=EH]，∴四边形[EFGH]是菱形。

（2）四边形[EFGH]是正方形，设[AC]、[BD]交点为[O]，[AC]与[PD]交于点[M]，[AC]与[EH]交于点[N]，由（1）可得[△APC ]≌[△BPD]，∴[∠ACP=∠BDP]，∵[∠CPD=90°]，∴[∠PDC+∠PCD=90°]，∴[∠ODC+∠OCD=90°]，∴[∠COD=90°]，∴[AC⊥BD]，∵[EH]∥[BD]，[AC]∥[HG]，∴[∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°]，由（1）得四边形[EFGH]是菱形，∴四边形[EFGH]是正方形。

评注：中点四边形是什么四边形取决于原四边形的对角线，所以此题必须作辅助线连接两条对角线。连接四边形的对角线后，既构造了四条三角形中位线，又构造了手拉手全等模型，通过手拉手全等模型得到四边形对角线相等，通过三角形中位线定理使中点四边形的四条边与原四边形的对角线之间有了数量关系。

通过上述例题的解析可知，利用三角形中位线定理可以计算线段的长，计算角度，可以证明线段之间的数量关系、角之间的数量关系，还可以判定四边形的形状。中位线可以起到桥梁纽带的作用，在解决平面几何问题的过程中出奇制胜。当问题中出现中点或中线时，可以考虑应用三角形中位线定理。

（责任编辑 黄桂坚）