深入思考 化难为易

文／江苏省建湖县汇杰初级中学 戴言

最近，我遇到了一道习题，经过深入思考，应用所学的知识顺利解决。现将思考过程与同学们一起分享。

问题 如图1，菱形ABCD的边长为，点E、F分别是边BC、CD上的动点（包含端点），且BE+DF=4，则线段EF长的取值范围为 。

图1

乍一看，我懵了！要求线段EF长的取值范围，可真是难呀！我该怎么入手呢？线段的两个端点E、F分别是边BC、CD上的动点，我想，如果是只包含一个动点的线段，那么可以利用“直线外一点到直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”。看样子，我需要转化点E、F中的一个点。怎么转化呢？

我分析条件后发现，菱形ABCD的边长为4，BE+DF=4 且BE+EC=4，可得EC=DF。组成几何图形的元素有边和角，那么图形中还存在角的关系吗？根据对角线，我想到试试连接对角线AC。如图2，根据菱形的性质，可以得到，且AC⊥BD，再应用勾股定理，求得AO的长为2，则AC=4。这样可以得到△ABC是等边三角形，那么隐含在图形中的角的条件就显现出来了，即∠ACB=∠ADF=60°。因此，我们能得到△AEC≌△AFD，进而可得AE=AF、∠EAC=∠FAD和∠EAF=60°，即△AEF也是等边三角形，所以EF=AF。此时，我们只需将动点F转化为定点A，则待求的线段EF长的取值范围就转化为求线段AE长的取值范围。因此，当AE⊥BC时（如图3），线段EF的长最短；当点E与点B或点C重合时，线段EF的长最长。

图2

图3

具体解答过程如下：

如图2，连接AC，交BD于点O，

∵四边形ABCD是菱形，AB=4，

∴，且AC⊥BD。

在Rt△ABO中，∠AOB=90°，

∴AO=

∴AC=2AO=4，AB=BC=AC=AD。

∴△ABC是等边三角形。

同理，△ADC为等边三角形。

∴∠ACB=∠ADC=∠CAD=60°。

又∵BE+DF=4，BE+CE=4，

∴EC=DF。

在△AEC与△AFD中，

∴△AEC≌△AFD（SAS）。

∴∠EAC=∠FAD，AE=AF。

∴∠EAF=∠EAC+∠FAC

=∠FAD+∠FAC=∠CAD=60°。

∴△AEF是等边三角形。

∴EF=AE。

当点E与点B或点C重合时，线段EF的长最长，为4。

因此，线段EF长的取值范围为

学习过程中，我们难免会遇到一些一时无法解决的问题。这时，我们需要进行深入思考，力求明白其中的道理，从而掌握其中的数学思想和方法。

教师点评

戴同学平时喜欢对自己有疑问的地方“打破砂锅问到底”，在问题解决的过程中有一股专劲，能够借助基本性质和方法，灵活地将问题逐步转化，并大胆尝试、猜想，探其缘由，从中感悟探究问题的策略、方法，领悟思想，促进数学素养的提升，这种精神值得同学们学习、借鉴。