多角度思考 多方法解题

文／江苏省盐城市鹿鸣路初级中学 谢天畅

苏科版数学八年级下册第73 页有这样一道题：

如图1，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，G、H分别是OB、OD的中点，过点O的直线分别交BC、AD于点E、F。求证：四边形GEHF是平行四边形。

图1

要证明一个四边形是平行四边形，我们可以从平行四边形的判定方法入手。我们已经知道平行四边形的判定方法有：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形。因此，我们可以从不同的角度进行思考，寻求解决本题的方法。

证法一：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AO=CO，BO=DO，AD∥BC。

∴∠DAO=∠BCO。

又∵∠AOF=∠COE，

∴△AOF≌△COE（ASA）。

∴OE=OF。

∵G、H分别是OB、OD的中点，

∴四边形GEHF是平行四边形。

对于证法一，我根据四边形GEHF的对角线GH与四边形ABCD的对角线BD共线这一特征，选择从对角线的角度思考解题方法。

证法二：同证法一，可得AD=CB，AD∥BC，BO=DO，△AOF≌△COE。

∴AF=CE。

∴AD-AF=BC-CE，即DF=BE。

∵G、H分别是OB、OD的中点，

∴OG=OH。

∴OD+OG=BO+OH，即DG=BH。

∵AD∥BC，∴∠ADO=∠CBO。

∴△DGF≌△BHE（SAS）。

∴GF=HE。

同理，可得△DHF≌△BGE，

∴HF=GE。

∴四边形GEHF是平行四边形。

对于证法二，我找出隐藏在图形中的全等三角形，证得四边形两组对边分别相等，从而解决问题。

证法三：同证法二，可得△DGF≌△BHE，

∴GF=HE，∠DGF=∠BHE。

∴GF∥HE。

∴四边形GEHF是平行四边形。

对于证法三，我在证法二的基础上，根据图形中的全等三角形，证得四边形的一组对边平行且相等，从而解决问题。

对于此题，虽然从不同的角度出发，可以选择不同的解题方法，但是比较上面的3 种证明方法，我觉得证法一更为简捷。

教师点评

谢同学能够依据所学知识，从多个角度思考问题，积极寻求不同的解题策略，拓宽解题思路，不断发展自己的思维能力。这种勇于思考、不断探索的精神值得大家学习。