数学基本思想在集合教学中的运用

胡 乙

（江苏经贸职业技术学院，江苏 南京 211168）

0 引言

数学基本思想是数学产生及数学发展中必须依赖的思想［1］，一般包括抽象、推理与模型。国内外学者从不同角度对数学基本思想在集合教学中的运用进行了研究。黄根初［2］提出从数值对象与非数值对象出发，引导学生认识集合及其蕴含的原则。刘广科［3］认为集合是没有定义的数学概念，主张学生应区分集合与元素，切勿混淆点集与数集，切勿忽略空集的作用。熊玲玲等［4］认为数学基本思想是解决集合教学中所有问题的重要途径，但涉及具体的教学方法与教学内容尚在研究中。格林贝格［5］主张通过举例引导学生理解集合符号、集合名称、集合中的集合、有限集与无限集之间的关系等。皮尤［6］主张采用概念疑问教学法引导学生准确理解集合概念。罗森［7］主张从属性出发认识集合。此外，为训练学生逻辑思维，柯朗等［8］主张从集合代数出发，引导学生推导出新的集合命题或集合恒等式，但具体推导方法还需要补充与完善。

在高职数学教学中，从数学基本思想出发开展集合教学是一项有益的尝试，有助于学生感悟集合抽象的特点与层次、建构集合知识系统、掌握运用集合模型解决相关问题的方法。

1 数学抽象思想在集合教学中的运用

数学抽象是将现实世界中发生的事物抽象到数学中，使之成为数学的研究对象。这是一种构造性活动，是借助定义、概念、推理等进行的逻辑构建。由数学抽象思想派生出集合的思想，以此为基础，在抽取复杂事物间共同属性的过程中，初步形成抽象集合概念。

1.1 集合概念的抽象性

区别于其他抽象概念，数学抽象仅仅抽取事物或现象的量的关系和空间形式而舍弃其他一切。自然数是人类对现实事物中数量与数量关系的抽象，天然地包含了集合的概念。如果用口袋比喻集合，则数字本身就是一种集合。例如：数字1表示该口袋中天然具有1个“1”的符号，数字2表示该口袋中具有2个“1”的符号，以此类推。可见，数本身就应该是集合或集合数。可以对数进行简化与抽象，设计用一个符号a代表所有的数。同理，也可以用集合符号使现实世界中数值与非数值对象成为数学的研究对象。

假设所有的对象（成员）具备某种特定性质，则组成一个大类、一个群体、一个口袋，即一个集合。据此，集合是一个抽象概念，准确地说应是抽象集合，它包括成员或元素。集合是一类具有特定性质元素（成员）的集体，其中元素可以包括数值对象与非数值对象。例如：小于10的正整数构成一个集合，全世界说中文的人构成一个集合。描述集合有多种方式，最简单的描述方式为花名册法，即列出集合中所有的元素。通常用大写字母表示集合，用小写字母表示其中的元素（成员）。如果a∈A，则a是A中一个元素（成员）；反之，a∉A，则a不是A中一个元素（成员）。由于现实的复杂性，当不可能列出集合中所有元素时，可运用集合构造器描述该集合。为方便研究，可规定N为自然数集、Z为整数集、Q为有理数集等。

此外，集合概念的抽象性还表现为集合可将其他集合作为自己的成员。例如：假设D集合中只有2与｛3｝两个元素，则2∈D且｛3｝∈D，但是3∉D。一个有效的区分方法是根据集合中的逗号，列出集合中的所有元素后再进行辨别。

集合概念的抽象性导致集合大小的抽象性。如果集合A中有n个有限且不相同的元素，则n是A的基数，记为。如果n是无限的，则A为无限集合。如果一组集合是有限集合，则只要比较各自基数即能分清各自大小；如果一组集合是无限集合，则只能运用基数衡量其相对大小。集合间的一一对应性质在此过程中发挥了重要作用。

1.2 集合关系的抽象性

集合是对具体事物共有性质的抽象，其概念的抽象性导致集合关系的抽象性。学生经常会混淆子集、空集、幂集之间的关系，其根源在于学生无法准确理解集合与元素之间的关系。当集合A中所有元素都是集合B中的元素时，A是B的子集，即当x∈A能推导出x∈B时，说明A⊆B。当集合B中至少有1个元素不属于A时，A是B的真子集，即A⊆B且A≠B，亦可写作A⊂B。据此，如果两个集合相等，则A⊆B且B⊆A。当集合中有多个相同元素或集合中元素的顺序有变化时，规定以上因素均不影响对集合相等的判断。例如：｛2，2，4，6，6｝，｛4，6，2｝，｛2，4，6｝均为同一集合。据此，要证明两个集合相等，可根据定义证明A⊆B且B⊆A，但空集的出现使得子集问题更为复杂。

不含任何元素的特殊的集合称为空集，记为Ø或者｛｝，设立该符号的目的是使之成为集合的一个子集，以令集合子集数量与集合元素数量之间建立联系。虽然空集的基数为零，但是Ø≠｛Ø｝。只有一个元素的集合称为单元素集，如果A＝｛Ø｝，则单元素集A有唯一元素，是空集。

从定义出发，空集不包含任何元素，故其所有元素都在任意其他集合中。同时，任意集合自身也可能是空集，故空集只能是任意集合的子集。同理，任意集合的所有元素均包含自身，故任意集合也是其自身的子集，子集与幂集密切相关。在集合A中，所有子集构成的集合为A的幂集，记为P（A）。如果A＝｛2，4，6｝，则P（A）包括Ø，｛2｝，｛4｝，｛6｝，｛2，4｝，｛2，6｝，｛4，6｝，｛2，4，6｝。空集只有一个子集，即P（Ø）＝｛Ø｝。而P（｛Ø｝）包括Ø与｛Ø｝，这再次说明Ø≠｛Ø｝。根据排列与组合规则，如果一个集合中有n个元素，则其幂集中有2n个元素，且幂集中的元素都是以集合的形式存在。

综上，集合A∈B与A⊂B完全不同。前者指B是一组集合的集合，A是B中的一个元素；后者指A是B的真子集，如果A＝｛a，b，c｝且B＝｛a，b，c，d，e｝，则A⊂B。如果B集合中的元素是｛a，b，c｝与｛e，d，f｝，则｛a，b，c｝∈B且｛e，d，f｝∈B。若B集合中的元素是｛a｝，｛b｝，｛a，b｝，则｛a｝∈B而a∉B。集合可以将其他集合作为自己的元素，如果考虑到空集，则问题更为复杂，故学生应熟练掌握集合、元素、子集等概念，为今后证明集合命题做好准备。

2 数学推理思想在集合教学中的运用

推理是从一个命题判断到另一个命题判断的思维过程，包括归纳推理与演绎推理。理解集合性质、集合恒等式等必须依靠推理，推理是认识集合的有效途径。从集合模型定义可推理得到集合运算性质及其相关定律等。

2.1 集合推理运算的基础

从集合定义出发，两个或多个集合能以不同的方式相结合。如果A为主修英语课程的学生集合，B为主修数学课程的学生集合；则以上集合可以组成主修英语或主修数学的学生集合、既主修英语又主修数学的学生集合、只主修英语却不主修数学的学生集合等，分别对应并集、交集、差集。

当元素x属于A或者属于B时，x属于A与B的并集，即A∪B ＝｛x｜x∈Aorx∈B｝。并集亦可写作A＋B。如果元素有重复或元素顺序发生变化，则以上情况对并集运算结果不产生影响。

当元素x同时属于集合A与集合B时，x属于A与B的交集，即A∩B＝｛x｜x∈Aandx∈B｝。交集亦可写作AB。在特殊情况下，如果交集为空集，则该组集合不相交。

当元素x属于集合A但不属于集合B时，x属于A与B的差集，即A－B ＝｛x｜x∈Aandx∉B｝。当A＝｛1，3，6｝且B＝｛1，3，5｝时，A－B ＝｛6｝≠6，而B－A＝｛5｝≠5。若交换了运算顺序，则差集运算结果也不同。

从差集出发，一旦定义了全集I，则较为容易理解补集。当元素x∉A时，x∈。即＝｛x∈I｜x∉A｝。补集与全集的关系亦可写作A＋A＝I。

当出现多种集合模型混合运算时，应从定义出发求解，切勿用代数运算法则去推理集合运算法则。

2.2 集合恒等式的推理与证明

从集合定义与集合代数出发，可引导学生深入理解集合运算中的推理思想，并创新证明德摩定律。

集合运算性质1：当且仅当A＋B＝B时，A⊂B。

证明：假设A⊂B，则将该式两边同时与B做并集，得到A＋B⊂B。又B⊂A＋B，故A＋B＝B。

假设A＋B＝B，则x∈A可推导出x∈B，故A⊂B。综上所述，原命题得证。

集合运算性质2：当且仅当A∩B＝A时，A⊂B。

证明：假设A⊂B，则将该式两端同时与A做交集，得到A⊂AB。又AB⊂A，故AB ＝A。

假设AB＝A，则x∈A可推导出x∈AB，亦即x∈B，故A⊂B。综上所述，原命题得证。

集合运算性质3：A（B＋C）＝AB＋AC

证明：从互为子集角度考虑，假设x∈A（B＋C），则有x∈AB或者x∈AC，可推导出x∈（AB＋AC），故A（B＋C）⊆（AB＋AC）。

假设x∈（AB＋AC），则x∈AB可推导出x∈A（B＋C），x∈AC亦是如此，故（AB＋AC）⊆A（B＋C）。综上所述，原命题得证。学生可运用类似方法证明差集运算性质。

集合运算性质4：

证明：假设AB≠Ø，x∈（A－B），则x∈（A－AB）即x∈，故（A－B）⊆。

假设AB≠Ø，x∈，则x∈A（I－B），可推导出x∈（A－B），故⊆（A－B）。

如果AB＝Ø，则可运用以上思路得到同样结果。综上所述，原命题得证。学生运用以上结论可创新证明德摩定律。

若在德摩定律1中运用换元法，用替换A，用替换B，则有若继续对其两边同时做补集，则可得，此即为德摩定律2。以上定律广泛应用于数理逻辑中。

集合运算是学生遇到的第一个讲究严格性的课程，学生必须时刻按照逻辑规则来思考、计算、表达。只有经历大量的训练，学生方能体会到集合中的推理思想。集合代数是学生推导集合命题的有力工具。

3 数学模型思想在集合教学中的运用

数学模型是指用数学语言描述现实世界所依赖的思想，侧重于用数学的概念、原理和思维方法描述现实世界。集合模型是建构其他数学模型的基础，通过对集合模型的变换，可以产生新的数学概念。此外，在解决问题时，可以将问题转化为集合模型进行研究。

3.1 计数与概率论中的集合模型

集合模型是构造新的数学概念、数学模型的重要基础。从集合论出发建立了函数、序列、图、树等新的数学概念，同时构建了以计数、概率论为代表的一批新的数学分支学科。

考虑集合A，B，设A＝｛a1，a2，…，am｝，B＝｛b1，b2，…，bn｝，如果A中每个元素都与B中一个元素组成一对有序二元组合aibj，则全部结果可归结为n行m列共计mn个有序二元组。此时，假设A表示完成A步骤项目的各种方法，B表示完成B步骤项目的各种方法，如果一项工作必须先要完成A步骤项目，再完成B步骤项目，则用集合描述为交集AB，其完成工作的方法总数则是两个集合基数（元素数）的乘积，用集合描述为│AB│＝│A││B│，此即计数的乘法原理。

同理，如果一项工作可以通过A步骤项目完成，也可以通过B步骤项目完成，且工人不能同时完成以上两个项目，则用集合描述完成该工作总的方法数为│A＋B│＝│A│＋│B│，此即计数的加法原理。在特殊情况下，如果AB≠Ø，则│A＋B│＝│A│－│AB│＋│B│，此即著名的容斥原理。

此外，如果用I表示所有可能发生事件构成的全集，而A是I的任意子集，则用集合定义子集A发生的概率为：P（A）＝│A│/│I│；其中，P（A）为子集A发生的概率，│A│指A集合的基数，│I│指全集I的基数。当已知特定集合的概率，而要求其他集合概率时，依然要运用集合代数的思想来做概率的计算。例如：已知P（A），P（B），P（AB）时，即可求取P（A＋B）。

3.2 数理逻辑中的集合模型

多数离散数学教材是先介绍逻辑与证明，后介绍集合论。如果改变顺序，引导学生从集合出发理解数理逻辑，则可将逻辑化归为集合运算语言，从而使学生提高学习效率。

若将论述总体确定为全集I，将具有特定属性的集合确定为A，B，则可用集合化归逻辑术语或逻辑关系。如果A发生或者B发生，则可描述为A＋B。如果A发生同时B也发生，则可描述为AB。当出现如果A则B时，可描述为A⊂B。当出现既非A又非B时，可描述为等。以上结论有助于快速证明数理逻辑中的相关命题。

求证：

式（1）表明：或者p发生，或者q发生，此为情况1；或者p不发生，或者r发生，此为情况2；如果情况1与情况2同时发生，则或者q发生，或者r发生。

证明：依据集合运算性质，已知¯pq⊂q，则¯pq＋q＝q。同理，rp＋r＝r，rq＋q＝q。据此，可推得（p＋q）（¯p＋r）＋q＋r＝q＋r，故（p＋q）（¯p＋r）⊂q＋r，由此原命题得证。同理，求证：

式（2）表明：如果p事件发生，则q事件也发生；如果p事件发生而q事件不发生，则可推导出p事件肯定不发生。

证明：假设p→q，则p⊂q。运用前述集合运算性质与德摩定律，可得p＋q＝q且，由此可推导出，故原命题得证。

可见，区别于传统证明中的真值表，从集合代数出发理解、证明数理逻辑推理规则更加简单高效。

4 结束语

本文探讨了数学抽象思想、推理思想和模型思想在集合教学中的运用。通过举例法、比较法等，引导学生运用集合代数理解集合的基本运算法则并形成集合知识的意义建构；运用集合模型建构新的数学概念并解决相关问题，激发了学生的数学学习兴趣，从而使学生克服数学学习障碍。在未来的高职数学教学中，如何用集合论看待现有数学定理和公式以及用集合论观点编写现有数学教材，值得深入研究。