一种移动作业机器人环境交互作用模型分析

2024-05-07丁晓军

中国新技术新产品 2024年6期

丁晓军马琴

（1.北方民族大学电气信息工程学院，宁夏银川 750021；2.北方民族大学土木工程学院，宁夏银川 750021）

由于劳动力短缺和人口红利逐渐消失，因此“机器人换人战略”迫在眉睫，移动作业机器人正是在这个背景下应运而生[1]。根据机器人与环境交互的特性，可将其分为2类。一类是机器人在自由空间中的非接触（无约束）运动，没有相关的环境影响施加在机器人上，例如抓取-放置、喷涂和电弧焊等简单任务[2]；另一类是一些复杂的高级任务，例如装配和加工，需要考虑机械手与环境之间的耦合[3]。

本文分析了移动作业机器人与环境交互作用过程，并基于拉格朗日方程推导了接近、受限运动和冲击3种情况下机器人-环境交互作用模型。然后，仿真验证由4个麦克纳姆（Mecanum）轮构成的全向移动平台和由1个6自由度操作臂组成的移动作业机器人。

1 臂-环境交互作用模型

在机器人操作臂末端安装执行器，在进行作业的过程中，机器人将与环境接触。一般将接触任务划分为3个阶段，即接近、冲击和受限运动。在接近阶段，末端执行器向约束移动，以低速接近目标物，以避免碰撞。但是，在实际工况中，机器人会受到扰动影响，进而与约束发生碰撞，导致速度发生突变，冲击阶段结束后，开始受限运动阶段。为了便于描述，本文先分析接近（自由）阶段和受限运动阶段2个运动过程，然后分析冲击阶段。

1.1 接近阶段

操作臂与环境交互如图1所示。接近阶段如图1（a）所示，r为操作臂，e为动态环境。假设操作臂有nr个自由度，环境有ne个自由度，采用位置向量分别定义操作臂与环境的运动，则整个系统的位置可用一个统一的向量q表示，如公式（1）～公式（3）所示。

图1 操作臂与环境交互

式中：q的维数为n=ne+nr。

这2条链的动力学模型分别如公式（2）、公式（3）所示。

式中：,为速度；，为加速度；τe和τr为关节转矩矢量；He和Hr为惯性矩阵；he和hr为重力、科里奥利力（Coriolis force）以及其他与位置和速度相关的力。

1.2 受限运动阶段

受限运动阶段如图1（b）所示。为便于描述，2个链分别引入1组新的坐标（外部坐标）se和sr，令se=（se1，...，sen），sr=（sr1，...，srn）。坐标q与坐标s之间的关系表征了运动学模型。将坐标se定义为绝对坐标，通常集合se与qe一一对应，并呈非线性关系，如公式（4）所示。

操作臂末端相对环境即固定在链条（e）最后一环的坐标的坐标变换如公式（5）所示。

则整个系统的外部坐标如公式（6）所示。

外部坐标sr是为了便于描述给定的任务而定义的，当发生接触时，这些坐标中的一些值将减为0，当1个接触约束限制了nc个自由度时，nc坐标从集合sr减至sr-nc。f为自由坐标，将sf定义为整个系统自由坐标的集合，c为受接触约束，sc为包括受接触约束的坐标的集合，因此sf的维数为ne+nr-nc=n-nc，sc的维数为nc，如公式（7）所示。

约束（接触）如公式（8）所示。

从动力学的角度进行分析，由于接触产生反作用力，因此力分量的数目等于受限制的自由度的数目，在这种情况下的动力学模型如公式（9）、公式（10）所示。

式中：为操作臂与环境接触后受约束环境的雅可比矩阵；为操作臂与环境接触后受约束操作臂的雅可比矩阵。在公式（8）的约束条件下，公式（9）、公式（10）中的坐标qe和qr并不是独立的。因此，公式（8）、公式（9）以及公式（10）构成了整个系统的动力学模型，并表示ne+nr+nc个标量方程的集合，通过求解可得运动（qe，qr）和接触力F。为了得到适合数值积分的形式，对公式（8）进行求导，得到其约束的微分形式。

sc的一阶导数如公式（11）所示。

式中：为sc的一阶导数，为系统的速度。

sc的二阶导数如公式（12）所示。

式中：为sc的二阶导数，为系统的加速度；雅可比矩阵、与公式（9）、公式（10）中的相同，向量Ac如公式（13）所示。

公式（8）的微分形式如公式（14）所示。

公式（9）、公式（10）和公式（14）构成了整个系统的动力学模型。该模型包括ne+nr+nc个标量的线性方程，可以求解相同数量的未知数，包括ne维加速度分量，nr维加速度分量和nc维接触力F。

考虑摩擦因素，将集合sf分离为sf=（se，），包括nr-nc个坐标，摩擦力的方向与接触点的相对速度方向相反，如公式（15）所示。

式中：Ff为nr-nc个分量的摩擦矢量；|Ff|为其绝对值；v0为nr-nc个分量的矢量，它定义了相对速度的方向，其大小取决于接触力、表面质量和相对速度。选取|Ff|=μ|F|，其中，摩擦系数μ是常数。然而，精确的模型需要考虑相对速度矢量v0对μ的影响。矢量v0的方向由相对速度srf决定，如公式（16）所示。

式中：为操作臂与环境接触后未受约束操作臂的雅可比矩阵；为操作臂与环境接触后未受环境约束的雅可比矩阵。因此，v0与位置向量qe、qr和速度、均相关，摩擦力Ff如公式（17）所示。

公式（17）的具体形式视情况而定。

当接触点有相对速度时，摩擦系数μ从零速度下的静态摩擦变为动态摩擦，随着接触点相对速度增大，当摩擦系数克服发生运动的摩擦临界值时，摩擦系数由负黏性摩擦变为黏性摩擦。摩擦力的存在会影响系统的动力学特性，因此，考虑摩擦后，公式（9）、公式（10）变为公式（18）、公式（19）。

当接触物体间存在相对运动时，公式（14）、公式（18）和公式（19）构成了整个系统的动力学模型。虽然公式（17）中未知数的数量没有增加，但是需要求解、和F。

假设在某一时刻相对运动完全停止（=0），那么公式（15）和公式（17）将不再适用，公式（18）、公式（19）中的摩擦力Ff变得不可解，这时需要增加一个条件，从相对运动不存在这一事实出发，如公式（20）所示。

公式（14）、公式（18）、公式（19）与公式（20）构成了系统的动力学模型，通过该模型，可以求解加速度、和反作用力F、Ff。将模型计算的Ff值与系统静摩擦值进行比较，当其值大于静摩擦值时，会再次产生相对运动，求解过程切换回公式（14）、公式（14）、公式（17）、公式（18）以及公式（19）。

1.3 冲击阶段

冲击是接触任务的第二个阶段。面约束下的冲击是最常见的，因此本文主要分析面约束下的冲击问题。此时，sc（即坐标s6）变为0并且冲击作用会沿着这个方向进行。如果考虑约束面的弹性，则可能出现跳跃。为了便于推导，这里仅考虑非弹性范围内的冲击问题。基于这种假设，操作臂末端执行器不会在第一次接触后离开表面，而是沿着表面移动。

如果碰撞面是2个，则sc的维数是2，以此类推，当有nc个碰撞面作用时，sc的维数是nc。复杂的冲击会导致表面发生一系列碰撞，为了方便分析，在接下来的交互分析中忽略这种影响。

求解冲击动力学问题。在冲击区间上对约束运动模型进行积分，令t1为碰撞发生的时刻，t2为冲击结束的时刻，则发生碰撞的时间间隔为Δt=[t1，t2]。对几何约束和非弹性冲击来说，可以认为这个区间很短，即当Δt→0，t2→t1，在此区间内对公式（10）进行积分，如公式（21）所示。

公式（21）、公式（22）描述了冲击的动态过程。它们是6+nc个标量方程的集合，可以求解和FΔt，为六分量关节速度变化量；FΔt为nc个分量的冲量，当Δt→0时，FΔt≠0，即F→∞。在无限短的撞击时间内，位置不会改变，即q1=q2。

基于碰撞过程发生的3个阶段，采用数值方法求解具体碰撞任务的一般过程。在接近阶段，对公式（3）进行积分，并检验sc的坐标值；当sc坐标值变为0时，转向冲击公式（21）、公式（22）并计算速度变化量。利用这个新的初始状态，对公式（10）和公式（14）积分来求解约束运动的动力学方程。综上所述，当sc为0时，接近阶段结束，在那个瞬间碰撞时间间隔非常短，随后开始较规律的受限运动。