关于柔软无弹性轻绳中加速度奇点问题的讨论

刘天齐

摘 要 不少大学物理教材将“柔软无弹性轻绳”作为一种经典模型并围绕其理想性提出了一系列的题目，而不同的求解方法可能得到不同的答案，这本质上是因为这种模型中隐含着加速度奇点，而各解法对加速度奇点的处理不同。为了系统性地解决不同解法之间的分歧，本文首先选取了有关加速度奇点的三个经典物理问题，然后综述了这些题目的若干解法，接着分析其正确性，最后归纳出了有关加速度奇点的物理问题的一般规律，并提出了多种应对方法，以更准确地处理有关加速度奇点的物理问题。

关键词 大学物理;柔软无弹性轻绳;加速度奇点;微元法

“加速度奇点”[1]指质量无穷小，但在某瞬时的加速度为无穷大的理想质点，常见于“柔软无弹性轻绳或链条”的经典理想模型中[2-5]，求解有关这类模型的问题时可能产生不易发现的陷阱。本文将深入探究柔软无弹性轻绳的动力学性质，找到加速度奇点问题的一般规律，以纠正柔软无弹性轻绳中加速度奇点问题的解法上存在的错误。

1 钝角摆问题

1.1 题目

常见的单摆都是锐角摆，即摆角不超过90°的单摆，如果摆角超过90°则为钝角摆。如图1（a）所示的一钝角摆，一长为l 的柔软无弹性轻绳一端系于光滑的钉子上，另一端挂着一个质量为m 的小球，一开始绳恰好绷直，高于钉子，θ 为30°。无初速度地釋放小球，求小球经过最低点时的速度u。

4 关于加速度奇点的讨论

由上面三个例题可知，“加速度奇点”常存在于各种理想模型中，除了不可伸长的柔软无弹性轻绳与链条之外，还有理想气体分子间的碰撞等模型。从这些模型中可以归纳出应对“加速度奇点”的方法。

第一，“加速度奇点”可能使得质量无穷小的物体产生不容忽略的反作用力。由数学知识可知，处理无穷大量或无穷小量时，最严谨的做法是把做近似或取极限放在最后一步，为此，计算有关“加速度奇点”的问题时应当尽量最后再做近似，例如3.4节的解法在最后一步才令r→0+ 。此外，当柔软无弹性轻绳的运动状态可能会突变时，还应当采用微元法，例如绳落钉问题中，绳子在紧贴着钉子下落的过程中会突然跃离钉子，如果把绳整体化考虑，就容易犯3.2节的错误，而3.4节把绳微元化考虑，考虑到了绳的每一部分的状态，不易出错，并且3.4节相比3.3节的解法更为严谨，可以证明绳子在整体跃起之前不会有部分先跃起，且绳子在跃起前不会在离心力的作用下产生畸变。

第二，“加速度奇点”可能使得机械能不守恒，如绳落桌问题的题b和钝角摆问题，这两个问题中，绳子上的某一点或整条绳子在某一时刻为“加速度奇点”，且此处的速度大小有突变，类似于非弹性碰撞，机械能不守恒;绳落桌问题的题a和绳落钉问题中，绳子上的某处在某一时刻有“加速度奇点”，但此处的速度大小没有突变，类似于弹性碰撞，机械能守恒。综上，可以总结出以下规律：若“加速度奇点”处速度大小有突变，则机械能不守恒;若没有“加速度奇点”，或“加速度奇点”处速度大小不变，则机械能守恒。

第三，“加速度奇点”可能使得物体运动的状态发生突变，如绳落钉问题中绳子会跃起，又如绳落桌问题，如果没有凹槽的限制，绳在速度达到一定值的时候会脱离桌沿而跃出[6]。为此，可以先假设系统稳定，再检验系统初值是否满足假设，最后讨论假设态的可持续性。这样就可以证明系统在第一次出现状态突变之前一直是稳定的，也可以导出何时出现第一次状态突变。

5 结语

本文通过讨论三个有关“加速度奇点”的例题，得出了“加速度奇点”可能产生的三个反常物理效果，最终给出了相应的应对方法，可以指导“加速度奇点”问题的建模与计算。未来的研究可进一步探索含有“加速度奇点”的柔软无弹性轻绳在运动状态突变后的行为，例如绳落钉问题中绳在跃起后的运动轨迹。

参考文献

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