混联机器人关节间隙误差建模及其定位精度可靠性分析

郭天宇 张德权 吴锦辉 周鹏飞 孟原

摘要：机器人末端定位精度可靠性是衡量其精度性能的重要指标，关节间隙是影响机器人定位精度的主要因素之一，建立准确的机器人定位精度误差模型是进行可靠性分析的前提。为探究空间关节间隙的随机不确定性对含有闭链机构混联机器人定位误差的影响规律，本文运用旋量理论和D-H参数法，提出一种考虑关节间隙的混联机器人定位精度误差模型；根据关节间隙模型参数的约束条件，量化间隙模型参数的不确定性，建立混联机器人定位精度的可靠性模型；采用双变量降维方法和鞍点近似方法，拟合机器人单坐标定位误差的概率密度函数，实现混联机器人定位精度高效可靠性分析。以含有平行四边形闭链机构的建筑机器人为例，验证所提模型的准确性和工程适用性，结果表明所提方法对比于传统的蒙特卡洛方法极大地提高了效率。

关键词：混联机器人；定位精度；关节间隙；不确定性；可靠性分析

中图分类号：TP242文献标识码：ADOI：10.3969/j.issn.1007-791X.2024.01.0030

引言

机器人末端执行器的位置精度是机器人重要的性能指标之一，定义为末端执行器实际位置与期望位置的偏差[1]。产生偏差的主要原因是机器人存在潜在不确定性，如加工误差[2-3]、装配误差[4]、关节间隙[5]等。其中关节间隙作为不可避免的不确定性因素严重影响机器人末端定位精度。

关节间隙模型依据工作空间可分为平面关节间隙模型[6-7]和空间关节间隙模型[8]。针对平面关节间隙模型，Ting等[6]利用虚拟杆件法求解四连杆机构误差边界，分析含转动关节和移动关节的连杆机构间隙叠加对其输出位置的影响。Chen和Gao[9]提出考虑具有转动间隙的多杆机构动态精度可靠度建模与计算方法，研究驱动速度、间隙值和间隙处摩擦系数在不同变化范围内对机构动态精度可靠性的影响。Zhan等[10]将关节间隙参数设为区间变量，将其他参数设为随机变量，针对具有区间变量和随机变量的机械臂，提出一种新的混合可靠性分析方法。由于多环闭链机构存在闭环耦合和结构复杂等不利因素，赵强强等[11]提出一种用于多环闭链机构的建模方法，该方法通过分析精度模型和误差源概率分布类型，实现了多环闭链机构误差空间分析。上述间隙模型都基于平面模型，但机器人在工作过程中由于磨损等因素可能会产生径向间隙，故需要分析空间关节间隙模型。

对于空间关节间隙模型，区间分析和优化技术是常用的分析工具。Briot和Bonev[8]将区间分析方法应用于三自由度平面并联机器人的精度分析。Zhao等[12]提出一种计算并联机构误差空间的封闭式方法，将关节间隙、输入不确定性和制造缺陷引起的局部位姿偏差定义为运动群上的高斯分布，能够快速预测末端执行器位姿误差分布的协方差和均值。侯雨雷等[13]考虑运动副间隙和杆件柔性对3PSS/S并联机构进行轨迹仿真，采用模糊神经网络综合误差预估模型进行误差预估。Frisoli等[14]提出一种基于旋量理论的带转动关节间隙空间并联机器人位置精度分析方法，利用优化技术来搜索最大偏差。Wu等[15]利用传统的线性正微分运动学对3PPR并联机器人进行误差建模，然后通过优化得到关节间隙方面的误差矢量最大幅值。Meng和Ze[16]基于旋量理论提出一种并联机器人误差分析的通用方法，通过将误差计算转化为优化问题能够有效求得误差最大值。然而，由于不同参数不确定性和包裹效应的相互作用[17]，区间分析方法在本质上高估了误差范围，求解可靠性不准确。对于优化方法，一旦约束条件变得不规则，很难寻求全局最优解，即使得到了最优结果，也只是提供了最大的位置和方向偏差，而误差分布类型未知，无法分析可靠性。

矩方法[18]是一种可以同时得到目标函数概率分布和可靠度的方法，不需计算设计点和功能函数的导数，因此受到很多学者关注。Zhang和Han[1]将机器人连杆尺寸和关节转角考虑为正态分布不确定性变量，并基于鞍点近似分析机器人的单点定位精度可靠性。Wu等[19]利用点估计方法对工业机器人定位精度可靠性进行有效评估。上述可靠性分析方法虽然效率和精度较高，但没有对空间关节间隙进行具体分析。

根据上述问题，针对由空间关节间隙引起的混联机器人末端定位精度误差，结合可靠性分析方法，开展串联机器人误差模型和闭链机构误差模型的研究；通过对模型进行不确定性度量，提出关节间隙模型参数新分布；考虑关节处全方向误差，通过降维积分方法计算定位误差的前四阶矩，通过鞍点近似方法分析定位精度的可靠性。

1基本理論

1.1关节间隙模型

空间转动关节间隙如图1所示，关节间隙的存在使得关节处产生微小误差，关节间隙在关节处引起误差如下[20]：

式中，ei（i=1，2，…，5）表示除绕转动副轴线外其余五个方向运动的基向量，δσ1、δσ2和δσ3表示沿x、y和z轴的位移误差，δσ4和δσ5表示绕x和y轴的转动误差。

由于关节间隙结构的约束，当机构在关节处产生微小位移时，在销轴轴向方向的位移需要小于等于εa，径向方向需要小于等于εr，即

1.2D-H参数法与旋量理论

D-H参数法[19]过程简单且便于理解，旋量理论[22]可直观描述刚体运动的几何特点，故本文采用D-H参数进行机器人运动学分析，采用旋量理论分析关节间隙模型参数对机器人末端定位精度的影响。值得注意的是分析各关节微小误差对机器人末端定位精度影响时，要在每个关节处都建立惯性坐标系，机器人末端位姿在关节处惯性坐标系上可表示为

式中，Ti0为第i个关节处的惯性坐标系到D-H参数坐标系的变换矩阵。

刚体空间位置的变化可表示为绕某直线的转动加平行于该直线的移动。设动坐标系为B，静坐标系为A，刚体在A系上的位姿变换矩阵可表示为[22]

式中，SE（3）为位姿变换的特殊欧式群；R为姿态变换矩阵；SO（3）为三维旋转矩阵构成的特殊正交群；P为位置矢量；R3为三维向量空间。

若刚体绕轴线ω=［ωx，ωy，ωz］T∈R3转动θ角度，则刚体转动的矩阵指数表示为

在纯转动情况下，刚体旋转可用矩阵指数表示为

伴随变换是指李代数的一个刚体平移，对于给定变换g=（P，R）∈SE（3），g的伴随矩阵为

上文介绍了空间关节间隙模型、D-H参数法和旋量理论基础；后续结合上述理论建立在关节间隙影响下含有闭链机构的混联机器人末端定位误差模型，并对模型中的参数进行不确定性度量。

2混联机器人关节间隙误差建模

2.1串联机构间隙误差

如图3所示，设机器人末端的坐标为（x，y，z），由关节间隙引起机器人末端定位误差为

式中，δE1、δE2和δE3表示机器人末端沿x、y和z轴的平移误差；δE4、δE5和δE6表示关节间隙引起的机器人末端绕x、y和z轴的转动误差。

转动关节轴线与基础坐标系的z轴不共线时，利用旋量理论计算局部坐标系的伴随变换矩阵，可分析任意关节处微小误差对末端的影响。如图4所示，转动副绕基础坐标系x轴转动，建立基础坐标系g（x，y，z）和局部坐标系g0（x0，y0，z0）。在给定局部坐标系的位姿后，由于其转动轴线过原点，因此q=000T，转动副的轴线方向ω=100T，该转动副相对应的运动旋量为

局部坐标系到基础坐标系的位姿转换矩阵为

根据式（7）和（8）可得g对应的伴随矩阵为

基础坐标系下机器人末端位置坐标为（x， y， z），由式（19）可知，基础坐标系下的关节间隙对机器人末端的影响可由下式求解：

当已知伴随变换矩阵和机器人末端位置坐标，则关节间隙对机器人末端定位精度的影响矩阵可表示为

M=U·Adg，（14）

则单个关节间隙导致的机器人末端定位误差为

式中，串联机器人关节受电机驱动，绕转动副转动的转动误差为0，即δσ6=0。

在工程实践中，若已知关节转动副轴线方向和局部坐标系的转换矩阵，可求解伴随变换矩阵，然后根据本文提出的影响矩阵M分析任意关节间隙对机器人末端位置误差的影响。

2.2闭链机构间隙误差

相比于串联机器人，闭链机构中关节更多，关節间隙对机构精度影响更复杂。本节以平行四边形闭链机构为例，分析关节间隙对闭链机构的影响。平行四边形机构坐标系建模如图5所示，与串联机器人不同，平行四边形共有4个关节，其中R11为主动关节，其余都为被动关节，需要获得R12、R21和R22绕转动副轴线的转动误差。如图6所示，平行四边形机构可看作由两个串联机构组成的闭链机构。

设Mg11、Mg12、Mg21和Mg22分别为R11、R12、R21和R22处关节间隙对机器人定位精度的影响矩阵，则关节处间隙模型可表示为

式中，δσij为第i条支链的第j个关节的间隙模型。设Bij为第i条支链的第j个关节所对应的变换矩阵，

δrij为第i条支链的第j个关节间隙模型对应的前5个关节参数，

被动关节绕转动副轴线的旋转误差设为δΘ1=δσ126和δΘ2=δσ216δσ226T，可计算平行四边形两条支链的误差为

δEi=Bi·dri+Ji·δΘi（i=1，2）。    （21）

由几何约束可知，关节间隙引起的两条支链交点的误差需相等，联立方程可得

通过式（24）可求解R12沿运动副轴线转动的旋转误差为

当机器人含有闭链机构时，可通过上述方法分析该机构中被动关节绕转动副轴线的转动误差，进而获得关节间隙对含有平行四边形机构的混联机器人末端定位精度误差模型。

2.3关节间隙参数不确定性度量

由1.1节可知，关节间隙模型各参数的上下界如式（3）所示，设εr=1mm，εa=0.5mm，各参数的统计信息如表1所示。

由于关节间隙的存在，参数之间应满足式（2）的约束方程。对模型中参数进行不确定性度量，以表1中均值和标准差生成样本点代入约束方程，将符合约束条件的样本点提取出来，提取后样本点的统计信息如表2所示。本文采用3种蒙特卡洛模拟法（Monte Carlo Simulation， MCS），分别是新分布的MCS、原始分布的MCS和考虑约束的MCS。其中新分布的MCS为以约束后均值和约束后标准差生成样本；原始分布的MCS以原始均值和原始标准差生成样本；考虑约束的MCS为将服从约束的样本点为样本。

在实际工程中，关节参数模型中各个参数应满足约束方程，因此将考虑约束MCS的计算结果作为参考结果。根据式（15）可得单个关节对机器人末端定位误差，将x轴方向的误差作为功能函数，其中式（26）小于0时定义为失效。

式中，x=y=z=200 mm，θ=π/3，r为阈值。为了方便理解，考虑单关节影响并以x方向为例，采用上述三种方法计算不同阈值下的机器人末端定位精度失效概率和可靠性指标，其中阈值r从0.1 mm变化到1.4 mm，计算结果如表3所示。表中失效概率表示式（26）x方向定位误差小于等于阈值r的概率，可靠性指标与失效概率在数学上存在如下对应关系[23]：

Pf=Φ（-β）=1-Φ（β），    （27）

式中，Pf表示失效概率，β表示可靠性指标，Φ（·）表示标准正态分布的累计分布函数。由式（27）可见，当失效概率大于0.5时，可靠性指标为负数。为了更直观地比较三种方法，将表3中的数据绘制成曲线如图7所示。

图7中横坐标表示阈值，纵坐标表示功能函数的失效概率。MCS与考虑约束的MCS结果差距很大，新分布的MCS与考虑约束的MCS的结果更为接近，说明新分布能够包含约束方程的信息，因此在分析关节间隙对机器人末端精度可靠性的影响时，关节间隙中各个参数应符合本节所采用的分布。

3工程实例

3.1幕墙安装机器人误差模型

图8和图9分别为高空幕墙安装机器人的实物图[24]和结构简图，该建筑机器人在构型上包含两个平行四边形机构。以此类建筑机器人为例，采用提出的方法对该机器人末端单点定位精度进行分析。首先，分析D点和H点处被动关节绕转动副轴线的转动误差，具体流程见2.2节，结果如式（25）所示。设BC长度为D1，DG长度为D2，则D点和H点绕转动副轴线的转动误差为

根据销轴与杆件是否固连，铰链连接可分为两种[11]：第一种为销轴固连在杆件上，如图10（a）所示，两个杆件之间含有一个关节间隙；第二种为销轴不连接在杆件上，如图10（b）所示，此时铰链连接处含有两个关节间隙。高空幕墙安装机器人除了D点的关节采用图10（b）所示的连接方式，其余关节都为图10（a）所示的连接方式。当已知被动关节绕转动副轴线的转动误差后，便可将机器人看作含有7个关节的串联机器人，具体坐标系建模方式如图11所示。在每个关节建立两个坐标系gi和gi0，其中gi为关节处的基础坐标系，gi0为关节间隙模型坐标系也称局部坐标系。由于高空幕墙安装机器人含有两个平行四边形机构，因此连杆DE会始终保持水平状态，第三轴角度θ4由θ2和θ3耦合而成，进一步分析可得θ4=-（θ2+θ3）。高空幕墙安装机器人D-H参数如表4所示。

如图11所示，关节间隙引起的高空幕墙安装机器人末端定位误差可视为由8个关节间隙（D处含有两个关节间隙）引起误差，通过2.1节和2.2节建模方法可得最终误差如下

δE=M1·σ10+M2·σ20+M3σ310+M3·σ320+M4·σ40+M5·σ50+M6·σ60+M7·σ70，    （30）

式中，Mi为第i个关节处关节间隙机器人末端定位精度的影响矩阵；σi0表示第i个关节的模型参数。其中关节3处对应图9中D点的位置，为图10（b）的铰链接触类型，在求解关节3处间隙对机器人末端定位精度的影响时需考虑两个关节间隙，因此σ310表示关节3处第一个关节间隙模型在关节3处引起的误差，σ320表示第二个关节间隙模型在关节3处引起的误差。

3.2基于降维积分的可靠性分析方法

為准确评估关节间隙对机器人末端精度的影响，考虑关节间隙处全方向误差，MCS需要大量计算，无法满足实际工程需求。基于降维积分方法的可靠性分析方法能够在保证精度的同时减少功能函数的调用次数。其中采用双变量降维方法准确求解功能函数的前四阶矩；然后采用鞍点近似方法构建机器人误差的概率密度函数（probability density function， PDF）进而分析可靠性。

3.2.1双变量降维法

由于机器人关节较多，功能函数公式复杂，求解功能函数的前四阶矩容易造成“维数灾难”，在保证精度的同时需要通过降维方法避免直接求解高维积分。假定结构的功能函数为[25]

双变量降维（bivariate dimension-reduction method， BDRM）需要将随机变量转换特定分布的正态变量，输入随机变量Xi（i=1，2，…，n）转换到Ui～N（0，0.5）转换公式为

利用高斯-埃尔米特积分求解式（38）中一维积分和二维积分，得到目标函数的整数原点矩。

3.2.2鞍点近似

获得功能函数的前四阶矩后，可采用鞍点近似（saddle point approximation， SPA）方法拟合功能函数响应的概率分布。根据SPA方法，Y的累积量生成函数（cumulant generating function， CGF）定义为[25]

式中，sgn（·）表示符号函数。

3.3定位精度可靠性分析结果

关节间隙引起的机器人定位误差由式（30）所示，设转角θ1=0、θ2=π/3、θ3=2π/3、θ5=0、θ6=4π/9、θ7=0。设机器人x、y和z轴方向的定位误差分别为ex、ey和ez。当定位误差小于一定阈值后表示机器人定位失效。采用考虑约束的MCS、新分布的MCS、BDRM和单变量降维（univariate dimension-reduction method，UDRM）四种方法计算ex、ey和ez的前四阶矩分别如表5～7示。

通过表5～7可以看出BDRM前四阶矩与考虑约束的MCS结果十分接近，而UDRM中第四阶矩误差较大。这是由于UDRM不能很好解决误差模型中参数之间相互耦合问题。因此本文采用BDRM准确求解前四阶矩。

如图12和图13所示，已知功能函数的前四阶矩，可通过鞍点近似方法拟合定位误差概率密度函数并求解不同阈值下的定位精度可靠度，将拟合曲线与考虑约束的MCS的拟合曲线进行对比。

考虑约束的MCS功能函数调用次数为106，双变量降维方法和鞍点近似方法对ex、ey和ez三个功能函数的调用次数分别为1 459次，3 043次和2 889次。通过图12和图13可知，双变量降维方法和鞍点近似方法相比于MCS调用功能函数次数较少，并且能准确分析由空间关节间隙引起的混联机器人定位精度可靠性。

4结论

针对空间关节间隙对混联机器人定位精度的影响，本文提出了一种混联机器人误差建模方法，并对关节模型参数进行了不确定性度量，最后采用双变量降维方法和鞍点近似方法分析定位精度可靠性。

1） 研究空间关节间隙的随机不确定性对含有闭链机构混联机器人定位精度的影响规律。提出了一种基于旋量理论的混联机器人定位精度误差模型，该模型能够合理分析空间关节间隙不确定性对机器人末端定位精度的影响。

2） 考虑空间转动关节间隙引起的误差需满足一定约束条件，对间隙模型参数的不确定性进行度量，获得混联机器人考虑关节间隙的定位精度可靠性模型。

3） 采用双变量降维方法计算混联机器人定位误差的统计矩，运用鞍点近似方法拟合其定位误差的概率密度函数，分析机器人x轴、y轴和z轴的定位精度可靠性。其中MCS方法需要调用功能函数106次，本文方法计算机器人x轴、y轴和z轴的定位精度可靠性分别需要1 459次，3 043次和2 889次。

此外，本文方法可以与D-H参数法和旋量理论等机器人运动学分析方法相结合，形成更为系统性的可靠性分析方法，用以评估不同误差来源对机器人定位精度的综合影响。

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Joint clearance error modeling and positioning

accuracy reliability analysis of hybrid robot

GUO Tianyu1， 2， ZHANG Dequan1， 2， WU Jinhui1， 2， ZHOU Pengfei1， 2， MENG Yuan1， 2

（1.State Key Laboratory of Reliability and Intelligence of Electrical Equipment，Hebei University of Technology，Tianjin 300401，China;

2.School of Mechanical Engineering，Hebei University of Technology，Tianjin 300401，China）

Abstract：The reliability of robot end positioning accuracy is an important index to measure its accuracy performance.Joint clearance is one of the main factors affecting robot positioning accuracy，and establishing an accurate robot positioning accuracy error model is a prerequisite for reliability analysis.In order to investigate the influence of the random uncertainty of the spatial joint clearance on the positioning error of a hybrid robot containing a closed chain mechanism.A hybrid robot positioning accuracy error model considering joint gaps is proposed using spinor theory and the D-H parameter method.To quantify the uncertainty of the gap model parameters according to the constraints of the joint gap model parameters and to establish a reliability model for the positioning accuracy of the hybrid robot.The bivariate dimensionality reduction method and saddlepoint approximation method are used to fit the probability density function of the robot′s uni-coordinate positioning error to achieve hybrid robot positioning accuracy reliability analysis.The accuracy and engineering applicability of the proposed model are verified by taking a construction robot containing a parallelogram closed-chain mechanism as an example，and the results show that the proposed method greatly improves the efficiency compared with the traditional Monte Carlo method.

Keywords： hybrid robot;positioning accuracy;joint clearance;uncertainty;reliability analysis