破解分数应用题的三把“密钥”

□周清丽

孩子数学交“白卷”为哪般

期末测评，五年级的犇犇数学又挂了“红灯”。爸爸拿过试卷后发现，凡是分数应用题，试卷上全是空白。爸爸的火气腾一下就上来了：“这些题为什么都没有做？”

犇：“不会！”

爸：“为什么不会？”

犇：“不会就是不会，要知道为什么不就会了？”

爸：“你还犟嘴，考前给你讲了那么多分数应用题，你就一点儿渣没挂住？”

犇：“挂住了，但是你讲的那些题一道都没考，试卷上这些题一道没做过。”

爸：“没做过，你不会用脑子想一想？”

犇：“想了，还是不会。”

爸：……

犇犇这种情况并非个例。这样的孩子之所以交“白卷”，是因为平时不动脑筋，遇到难题就等大人辅导，给出现成答案。到了考场上遇见“熟脸题”，他们会凭借记忆列式，倘若碰见“生脸题”，只能束手无策，像犇犇一样“交白卷”了。

辅导，顾名思义就是辅助引导。孩子是作业的主体，家长辅导的意义，不在于“鱼”——给孩子现成答案，让他们“听明白”，而在于“渔”——从方向、方法上引导孩子动脑，让他们自己“想明白”。

破解分数应用题的三把“密钥”

分数应用题是小学数学应用题的一大难点。但难点都是相对的，有三把“密钥”可以破解。家长辅导时，只要让孩子握住这三把“密钥”，再难的分数应用题也会“迎刃而解”。

密钥一：建模型。什么是模型？简单地说，模型就是一类事物的模样。比如，牛马羊是动物的模型，自行车、汽车、火车是车的模型。模型在现实中并不存在，是人抽象思维的结果。就小学数学而言，数学模型就是依据事物中的数量关系建立起来的数学关系式，“可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径。”比如，行程问题的模型：距离=速度×时间；工程问题模型：工程量=工作效率×时间。分数应用题模型：分数=部分/整体，或写成：分数=部分÷整体。

有人说，这不就是一个公式吗？对，公式就是人们俗称的数学模型。之所以叫模型，是因为这个公式中的两个量——“部分”与“整体”，不是现成的，需要人运用数学思维进行数学抽象才能得来。

例1：小红从图书馆借了一本书共200 页，第一天看了80页，占全书的2/5。

在这个问题中，整体是全书共200页，部分是第一天读了80页，分数是80÷200=2/5。

例2：光明畜牧场养了900 头肉牛，养了3600 头奶牛，肉牛占奶牛的1/4。

在这个问题中，整体是奶牛的数量3600 头，部分则成了肉牛的数量900 头，分数是肉牛数量占奶牛数量的比例900÷3600=1/4。

由例1 和例2 不难看出，数学里的“部分”和“整体”，可以指一个事物，也可以指两个或多个事物，但最终的“分数”，不是比较事物本身，而是事物背后的数量。

小结：解分数应用题，脑中首先要抽象出哪些是“整体”，哪些是“部分”，这是解决问题的前提。

密钥二：定类型。由分数模型：分数=部分÷整体，我们可以得出两个变式模型：部分=整体×分数；整体=部分÷分数。

现实中，不管问题有多么复杂，都可以归结为以下这三种基本类型。

一是求分数：求一个数是另一个数的几分之几，用除法。

二是求部分：求一个数的几分之几是多少，用乘法。

三是求整体：已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法。

例3：五年级有男生20 人，女生25 人，男生人数是女生人数的几分之几？

分析：已知“部分”是男生20 人，“整体”是女生25人，求分数，用除法。

解：分数=部分÷整体=20/25=4/5。

例4：小红从图书馆借了一本书共200 页，第一天看了全书的2/5，看了多少页？

分析：已知“整体”是全书共200 页，“分数”是2/5，求部分，用乘法。

解：部分=整体×分数=200×2/5=80（页）。

例5：光明畜牧场养了900 头肉牛，是奶牛数量的1/4，奶牛有多少头？

分析：已知“部分”是奶牛900 头，“分数”是1/4，求整体，用除法。

解：整体=部分÷分数=900÷1/4=3600（头）。

小结：不管多复杂的分数应用题，都是在这三种基本类型上发展或综合而成的。“整体”“部分”“分数”三个量，给出其中两个，求其中一个，只要弄清楚三个量分别指的是什么，已知什么，然后就可以套公式了。

密钥三：找分数。通过对前面的例题进行分析，我们不难看出，分数模型中，分数的分子和分母分别对应着“部分”和“整体”，也就是整体平均分成了几份（分母），部分占几份（分子）。这样，在比较复杂的分数应用题中，找出对应分数，就成为解题的关键。

例6：小红从图书馆借了一本书，第一天看了全书的2/5,还剩120页，这本书共多少页？

分析：已知“部分”剩余120页，已经看过的分数是2/5，求整体。

在这个问题中，如果直接套用模型，整体=部分÷分数=120÷2/5=300，那就错了。因为这里的2/5 是看过的，而120 页是剩下的，二者并不对应。所以，要找出与“120页部分”相对应的分数才行。根据分数的意义，我们知道“整体1”就是整本书的页数，看过了2/5，剩下没看的当然就是1-2/5=3/5 了。这时我们再套用模型公式就可以了。

解：整体=部分÷分数=120÷3/5=200（页）。

列成综合算式就是：120÷（1-2/5）=120÷3/5=200（页）。

小结：“部分”与“分数”一定要对应才行，如果不对应，就利用“整体1”找出对应部分。

如果问题比较复杂，可以借助线段图找出对应分数。

例7：果园里有枣树280 棵，比梨树棵数的3/5 多10 棵，两种树一共有多少棵?

分析：第一层，要求两种树一共多棵，先要知道两种树各自有多少，现在已知枣树280棵，只要再求出梨树有多少就行了。第二层，这个题就转向了求梨树的数量，转成了分数应用题——使用密钥一：建模型。第三层次，部分是枣树，整体是梨树，这个问题就转成了知道部分求整体——使用密钥二：定类型。现在只要使用密钥三，找出对应分数就行了。

枣树280 棵，枣树比梨树的3/5 多10 棵。这个分数比较复杂，我们可以借助线段图来寻找。

第1 步：先画出一条线段当作“整体梨树”，将“整体1”平均分成5份。第2步：比照着梨树的分数画出3份枣树，因为枣树比这3份还多10棵，然后再向后延伸一小段，当作10棵。这样，数量关系就一目了然了：

3/5表示的“部分”是280-10=270（棵）。

这样，梨树棵树（整体）=270÷3/5=450（棵），最后，两种树的棵树=280+450=730（棵）。

列成总合算式就是：280+（280-10）÷3/5=730（棵）。

家长辅导孩子解分数应用题，不是列出式子给他们“讲明白”，而是要引领他们手握“建模型”“定类型”“找分数”这三把密钥自己去打开数学思维的大门，借助线段图，明析数量的整体和部分，找出和分数对应的“部分”，就可以用“不变”的分数应用题模型，解决“万变”的分数应用题。