电偶极子电场的数值分析

郑世燕 施妍汐 谢超俊 漆昌祥

【摘   要】   应用电场及电势叠加原理求解电偶极子周围空间电场的解析解，并在此基础上验证电偶极子延长线以及中垂线上的电场强度与已有结论是否一致。基于Matlab软件对其进行数值分析，通过控制变量法比较不同r、[θ]情况下的电场分布。结果表明：电场强度E随着距离r的增大而减小，随着[θ]的变化存在一极小值。在电偶极子中垂线上的电场最弱，而延长线的电场最强。此法能较直观地帮助学习者理解和掌握电偶极子电场的相关知识点。

【关键词】   电偶极子；叠加原理；电场强度；Matlab

Numerical Analysis of Electric Field Produced by an Electric Dipole

Zheng Shiyan， Shi Yanxi， Xie Chaojun， Qi Changxiang

（Quanzhou Normal University， Quanzhou 362000， China）

【Abstract】    The analytical solution of the electric field around an electric dipole is obtained by using the superposition principle of electric field and potential， and the electric field intensity on the extended line and the perpendicular bisector of the electric dipole is verified to be consistent with the conclusions in the existing textbooks and literatures. Furthermore， the numerical analysis is carried out based on Matlab software， and the electric field distribution under different r、 [θ] is compared through the control variable method. The numerical results show that the electric field intensity E decreases with the increase of the distance r， and there is a minimum value with the change of [θ]. In particular， the electric field is the weakest on the perpendicular to the electric dipole， and the electric field is the strongest on the extension. This method can help learners to understand and master the relevant knowledge of electric field of electric dipole more intuitively.

【Key words】     electric dipole; superposition principle; electric field intensity; Matlab

〔中图分类号〕 O441                 〔文献标识码〕  A              〔文章编号〕 1674 - 3229（2024）01- 0054 - 04

0     引言

电偶极子是由相距为l（l远小于观察点的距离，即l << r）等量异号的两个点电荷构成［1-4］，如图1所示。它是电介质理论［5］和原子物理学［6］的重要理论模型，在研究电介质的极化、原子实的极化以及电磁波的发射与吸收等问题时都要用到电偶极子的概念。

在大学物理［3］及电介质物理［5］教材中都涉及计算电偶极子轴线的延长线以及中垂线上任一点的场强。一般选择电偶极子的中心位置为坐标原点，如图1所示。考虑到r >> l，再根据场强叠加原理求得电偶极子轴线延长线上任一点的电场强度为

[E=ql2πε0r3]                       （1）

同理，电偶极子中垂线上任一点的电场强度为

[E=-ql4πε0r3]                      （2）

而在电磁场与电磁波［1-2］及电磁学［4］教材中往往需要计算更为一般的情况，即计算电偶极子周围空间任一点的场强。此时由于场点所在位置与正负点电荷位置未形成特定的几何对称性，因此需要建立适当的坐标系进行解答。

为此，本文围绕电偶极子周围空间的电场进行相关讨论。首先应用电场及电势叠加原理等方法计算电偶极子在周围空间产生的电场，并在此基础上讨论电偶极子轴线延长线和中垂线上的场强。鉴于电偶极子是物理学中的一个经典模型，从公式层面无法直观地获得电场与空间坐标间的可视化效果。故本文使用Matlab仿真軟件［7］对所获得的电偶极子电场公式作进一步数值分析。

1     电场叠加原理巧解电偶极子产生的电场

如图1所示，以电偶极子的中心为坐标原点，并使电偶极子[l]沿着z轴方向，正负电荷量分别为[+q]和[-q]，以此模型来计算电偶极子周围空间任一点P的场强。

根据对称性，该模型在球坐标系下的空间电场与[φ]无关，为了便于计算，取[φ=π2]。

假设电偶极子[+q]和[-q]在P点形成的电场强度分别是[E+]、[E-]；[r+][（r-）]的方向是从[+q][（-q）]指向场点P，大小是二者之间的距离；[r]是坐标原点到场点P的位置矢量；[θ]是球坐标系中的仰角。

根据点电荷的电场公式，得

[E+=14πε0qr+3r+]                    （3）

[E-=14πε0qr-3r-]                    （4）

再由矢量运算三角形法则

[r+=r-l2，r-=r+l2]                 （5）

考虑到r >> l，则

[r+≈r-l2cosθ，r-≈r+l2cosθ]   （6）                              联立公式（3）～（6），求得

[E=q4πε0r（r3--r3+）-l2（r3-+r3+）r+3r-3]       （7）

取近似

[r3--r3+≈2（l2cosθ）3+6r2l2cosθr3-+r3+≈2r3+6r（l2cosθ）2，r3-r3+≈r6] （8）

则：[E≈q4πε03r2lcosθer-lr3]         （9）

在球坐标系中，当[φ=π2]时

[l=lcosθer-lsinθeθ]           （10）

则：[E=ql4πε0r3（2cosθer+sinθeθ）]         （11）

式（11）即为电偶极子在r >> l情况下周围空间场强的解析表达式，其中[ε0]为真空介电常数（又称电容率）。

此法只需学习者熟悉矢量加减运算法则即可求得结果式（11）。它较直观易懂，对于不熟悉球坐标系中的梯度公式但熟悉矢量加减运算的学习者而言，不失为一种好的解题方法。

2     电势叠加原理巧解电偶极子产生的电场

由图1可知，该电偶极子在场点P处产生的电势等于两个点电荷在该點的电势之和，即

[φ（r）=q4πε0r+-q4πε0r-]             （12）

当r >> l时，可以得到电偶极子的电势表达式

[φ（r）=q4πε0r--r+r+r-≈p?er4πε0r2]        （13）

其中[p=ql]为电偶极矩。

再根据电场强度等于电势的负梯度，即

[E=-?φ=-14πε0?p?rr3=ql4πε0r3（2cosθer+sinθeθ）                               （14）]  3     以负电荷为坐标原点再解电偶极子产生的电场

前面讨论了电偶极子的中点位于坐标系原点的情况，为了便于计算，还可以将坐标原点移到负电荷所在位置，相较于前面的方法，消除了一个变量[r-]，从而大大减少计算过程。

如图2所示，令负点电荷[-q]位于坐标原点，至场点P的距离为r。再令正点电荷[+q]位于z =l处，至场点P的距离为r+，则

[r+=r-l]                       （15）

根据场强及电势叠加原理，电偶极子在场点P产生的电场及电势分别为

[E=q4πε0（r+r3+-rr3）]                 （16）

[φ（r）=q4πε0r+-q4πε0r]                （17）

考虑到r >> l，则

[r+≈r-lcosθ ]                   （18）

[E=q4πε0（r+r3+-rr3）=q4πε0（r3r+-r3+rr3+r3）    ≈q4πε0r3（r-l）-（r-lcosθ）3r（r-lcosθ）3r3    ≈ql4πε0r3（2cosθ er+sinθ eθ）]     （19）

[φ（r）=q4πε0r-r+r+r=qlcosθ4πε0r2]        （20）

同理，利用球坐标系中的梯度公式，即可求出电场强度为

[E=-??   =-q4πε0?（1r+lr2cosθ）-?（1r）   =ql4πε0r32cosθer+sinθeθ]    （21）

至此，我们通过3种方法获得了电偶极子周围空间的电场分布，对比式（11）（14）（19）及（21）可得，应用不同方法所得结果都一致。在解题过程中学习者可根据自身学习掌握能力运用相应的方法求解，有利于提高学习者的解题能力。

式（11）（14）（19）及（21）即为最终结果。此时令式（11）（14）（19）及（21）中的[θ=0° 或 180°]，则[E=±ql2πε0r3 er=ql2πε0r3]同式（1），即为电偶极子轴线延长线上离电偶极子甚远处（即r >> l）任一点的场强；若令式（11）（14）（19）及（21）中的[θ=90°]，则[E=ql4πε0r3eθ=-ql4πε0r3]同式（2），即为电偶极子中垂线上离电偶极子甚远处（即r >> l）任一点的场强。

4     电偶极子电场的数值求法

根据上述计算方法求解得到的电偶极子周围场强公式（11）（14）（19）及（21）可知电场强度E与[q]、[l]、r及[θ]有关。从解析解获知电场强度的大小E与[q]、[l]成正比，而与r3成反比。由于E与[θ]的关系不易从解析解直接获得，下面采用Matlab软件对其进行数值求法，重点讨论E随r以及[θ]的变化关系。

先将式（11）（14）（19）及（21）场强公式进行坐标变换，即将球坐标系变换为直角坐标系，当[φ=π2]时

[er=sinθey+cosθez]              （22）

[eθ=cosθey-sinθez]              （23）

将式（22）（23）代入式（11）（14）（19）及（21）中，可得

[E=ql4πε0r3[3cosθsinθey+（3cos2θ-1）ez]]  （24）

下面将对式（24）运用Matlab软件作E-[r]-[θ]、E-[r]和E-[θ]曲线。为了研究方便，将参数设置为[q=1.6×10-19 C]、[l=0.05 m]、[ε0=8.854×10-12 F/m]，当考察的对象是某个特征参数时，其余的参数均保持原来设定的值不变［8-10］，此外圖3、图4以及图5中的E、r及[θ]的单位分别为：V/m、m及rad。

4.1   E-[r]-[θ]三维曲线关系图

E-[r]-[θ]三维曲线如图3可知，当[θ]相同时，电场强度E随着r的增大而减小，与解析解的结果一致；当r相同时，场强E随着[θ]的变化存在一极小值（[θ=π2]），具体见表1。

为了更直观地了解r和[θ]对E的影响，下文将作E-[r]和E-[θ]曲线对其分别进一步讨论分析，即当[θ]不变时，E随r的变化关系；当r不变时，E随[θ]的变化关系。

4.2   电场强度E随r的变化关系

本文为考察r 对电场强度E的影响，考虑到不同变量存在的差异，首先控制电荷量q不变，将r的取值范围设置为3～7 m，观察[θ]角不变对E-r曲线的影响。由图4及表1可获得以下结论：

（1）电场强度E与r成反比关系。这是库仑定律的基本结论之一，表示电荷之间相互作用的强度随着它们之间的距离增加而减弱［11］。

（2）当[θ]一定时，曲线斜率的绝对值随着r增大而逐渐减小。

（3）[θ=][π4]和[θ=][3π4]这两组E-r曲线重合（图4中的b曲线），[θ=0]和[θ=π]（图4中的a曲线）亦如此，由此表明，E-[θ]曲线关于[θ=][π2]对称，且[θ=][π2]时场强E取极小值。

4.3   电场强度E随[θ]的变化关系

研究[θ]对电场强度E的影响，同样保持上述条件不变。由图5以及表1可获得以下结论：

（1）曲线关于[θ=][π2]对称，且[θ=][π2]时场强E取极小值。由此说明在一定条件下，电偶极子电场强度E的分布具有对称性。

（2）[θ∈（0，π2）]或[θ∈（π2，π）]时，r越小对应曲线斜率的绝对值越大。

5     结语

本文基于 Matlab软件对电偶极子电场进行数值模拟，以r、[θ]为变量，对其电场进行分析并得出以下结论：当[θ]相同时，电场强度E随着r的增大而减小；当r相同时，电场强度E随着[θ]的变化存在一极小值（[θ=π2]）。特别是电偶极子中垂线上的电场最弱，而延长线的电场最强。这些结论将电偶极子的数值模拟作可视化展示，对研究电偶极子电场的分布情况以及教学中突破传统理论教学模式有很好的借鉴作用。

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