一道2023年中国北方奥林匹克竞赛试题的解法探究及其推广

贵州师范大学数学科学学院 (550025) 文 帅 梁明端 袁兴菊

1.试题呈现

分析:这是2023年第十八届中国北方奥林匹克竞赛试题的一道不等式证明题,其中已知条件是以循环和的形式呈现,求证的不等式为根式的最值问题,形式上具有数学的美感.本文对该题进行解法探究,并对其进行变式和推广,与大家一起分享.

2.解法探究

评注:此证法借助了柯西不等式.

评注:此证法借助了基本不等式的推广与柯西不等式.

评注:此证法利用函数的凹凸性与琴生不等式,将不等式问题转化为求函数最值问题.

评注:此证法利用切线的性质,将不等式问题转化为求函数最值问题.

评注:此证法是从不等式本身进行分析,借助于均值不等式使问题得以证明.

3.试题变式

变式1与变式2在试题的基础上改变不等式结构以及题设条件而得到的,证明方法与证法1类似,此处不再叙述.

4.试题推广

分析:上述推广是在试题的基础上改变不等式结构以及题设条件而得到的,下面列举推广3和推广4的证明过程,其它推广的证明过程不再叙述.

推广,对于数学学习、数学竞赛和数学研究有着十分重要的意义.在数学学习中,推广可以加强观察、分析、比较、综合、概括、归纳、类比和发现的能力,拓展不同的解题思路,提升创造性的思维.在数学竞赛中,推广可以激发学习兴趣与求知欲,引领新的发现[1]. 在数学研究中,推广可以产生新问题与新方法,加深自身对问题的认识与理解[1].