混合区间删失下逆指数瑞利分布的可靠性分析

盛会尧 蔡静 何瑞 周莎莎

DOI：10.19850/j.cnki.2096-4706.2024.01.007

收稿日期：2023-05-22

基金项目：国家自然科学基金项目（11901134）

摘  要：基于混合区间删失试验样本数据，研究逆指数瑞利分布的可靠性分析问题。首先，运用极大似然估计法给出混合区间删失试验下逆指数瑞利分布参数及可靠性指标的极大似然估计；其次，运用渐近正态理论给出参数及可靠性指标的渐近置信区间。最后，运用蒙特卡洛方法模拟样本计算给出参数及可靠性指标的平均相对误差（ARE）、均方误差（MSE）和平均区间长度（AL），并讨论不同样本量下混合区间删失试验参数估计值与定时截尾试验参数估计值对精度的影响。

关键词：逆指数瑞利分布；混合区间删失；EM算法；渐近置信区间

中图分类号：TP301.6；O213.2    文献标识码：A  文章编号：2096-4706（2024）01-0032-07

Reliability Analysis of Inverted Exponentiated Rayleigh Distribution under Hybrid Interval Censoring

SHENG Huiyao， CAI Jing， HE Rui， ZHOU Shasha

（School of Data Science and Information Engineering， Guizhou Minzu University， Guiyang  550025， China）

Abstract： Based on the hybrid interval censoring test sample data， the reliability analysis problem of inverted exponential Rayleigh distribution is studied. Firstly， the maximum likelihood estimation method is used to give the maximum likelihood estimation of inverted exponential Rayleigh distribution parameters and reliability index under the hybrid interval censoring test. Secondly， it uses asymptotic normal theory to provide Asymptotic Confidence Intervals for parameters and reliability index. Finally， the Monte Carlo method is used to simulate sample calculations to obtain ARE， MSE and AL of parameters and reliability index. The impact of hybrid interval censoring test parameter estimates and timed truncation test parameter estimates on accuracy under different sample sizes is discussed.

Keywords： inverted exponential Rayleigh distribution; hybrid interval censoring; EM algorithm; Asymptotic Confidence Interval

0  引  言

可靠性工程中，逆指數瑞利分布是一种重要的寿命分布。近几年受到很多国内外学者的关注，对于逆指数瑞利分布的可靠性分析，文献中已有一些研究。文献[1]基于删失样本研究逆指数瑞利分布参数的极大似然估计与贝叶斯估计问题。文献[2]在混合删失下研究逆指数瑞利分布的参数估计和预测问题。文献[3]基于逐步II型删失下研究逆指数瑞利分布参数的贝叶斯估计问题。文献[4]基于自适应逐步II型混合截尾样本研究了逆指数瑞利分布的参数估计问题。文献[5]关于逐步截尾下研究逆指数瑞利分布参数的极大似然估计和在伽马先验分布下针对不同的损失函数得出未知参数的贝叶斯估计问题。文献[6]在不同竞争风险逐步删失方案下研究逆指数瑞利分布的参数极大似然估计和贝叶斯估计问题。在可靠性试验中混合区间删失试验是一种新型的试验形式，但是，在混合区间删失下研究逆指数瑞利分布的可靠性还尚未发现。由于逆指数瑞利分布的失效率不是单调的，因此，当观测数据是混合区间删失时，运用逆指数瑞利分布效果更好。鉴于此，本文在混合区间删失下研究逆指数瑞利分布的可靠性用来评估产品的使用寿命情况。

定时截尾试验方案在可靠性研究中具有重要的作用，许多学者研究了在定时截尾下产品寿命问题的可靠性问题[7-12]。定时截尾试验是把一批被测试产品从0时刻开始连续跟踪观测到预设时间t0，将其余未失效的产品全部撤离试验，从而得到时刻t0之前失效产品的具体失效时间和在（t0，+∞）区间内产品的失效数。如果产品在预设时间t0前失效数量过多或过少，从而会对实验结果的精度产生很大影响。所以，恰当的选取终止测试时间是有必要的。针对定时截尾试验的这一弊端，在条件允许的情况下可以先进行连续的跟踪观测，在进行定期观测。也就是从0时刻开始进行连续的跟踪观测到t0，在t0之后进行定期观测得到每个区间内的失效产品数量，此试验称为定时区间删失试验。文献[13，14]是此试验下的研究成果，龙兵等[15]结合这两种试验方法提出了一种新的寿命试验方案，将定时截尾试验与定时区间删失试验相结合的试验方案，称为混合区间删失试验并且研究了瑞利分布在此试验下的可靠性。万宇等[16]研究基于混合区间删失下指数分布的可靠性并对定时截尾样本与混合区间删失样本得到的估计值进行比较。基于此，本篇文章基于混合区间删失下研究逆指数瑞利分布的可靠性，将测试时间t0以及观测区间设为随机选取更具有随机性。

1  极大似然估计

逆指数瑞利分布的分布函数（CDF）为：

（1）

其中α为形状参数，β为比例参数。其概率密度函数（PDF）为：

（2）

其可靠度函数和失效率函数分别为：

（3）

（4）

混合区间删失试验方案如下：有一批服从逆指数瑞利分布的产品，从中随机选择n个产品从0时刻开始进行寿命试验。确定观测时刻0＜t0＜t1…＜tk-1＜tk=+∞，对n个测试产品进行跟踪观测到t0时刻，且能观测到m个测试产品的失效时刻为，x1≤x2≤…≤xm其中m为随机变量。对于给定的n和p（0＜p＜1），分为两种情况：

情形1：如果m≥[np]，则试验终止，所有未失效的产品全部撤出试验，即为定时截尾试验，这样在时刻t0之前获得具体的观测数据，在时刻t0之后获得一个区间删失数据。

情形2：如果m＜[np]，在t0之后每隔一段时间进行1次观测，在观测时刻tj得到dj个产品在区间[tj-1，tj）（ j = 1，2，…，k）内失效。这样，在t0之前获得具体的观测数据，在t0之后获得k个区间删失数据。

情形1中，根据观测样本得到似然函数为：

（5）

将式（1）、式（2）代入式（5）中，得到：

（6）

对式（6）两边取对数得到：

（7）

根据式（7）对α求导数并且令等式等于0，得到：

（8）

根据式（7）对β求导数并且令等式等于0，得到：

（9）

由式（8）可得参数α的MLE为：

（10）

由式（9）可得：

（11）

将式（10）代入式（11）中，得到参数β的MLE为：

（12）

运用Newton Iteration法可以得到β的估计值。同时，利用MLE的不变性，可以得出可靠度函数R1（t）和失效率函数h1（t）分别为：

（13）

（14）

情形2中，根据观测样本得到似然函数为：

对数似然函数为：

将式（15）对α求导数并且令等式等于0，得到：

将式（16）对β求导数并且令等式等于0，得到：

参数α，β的MLE需要通过式（16）和式（17）求解得到，但无法获得解析表达式，采用EM算法对参数α，β进行估计。

EM算法（Expectation-Maximization Algor-ithm）是一种用于估计含有隐变量的概率模型参数的算法。其基本思想是通过迭代的方式，依次进行“期望（Expectation）”和“最大化（Maxi-mization）”两个步骤，直到收敛为止，是处理缺失数据的一种较好的方法，具有收敛速度快与迭代初值无关的特点。可以按照以下步骤进行：

1）确定模型的参数和隐变量；

2）给定观测数据，初始化参数的值；

3）迭代进行“期望”和“最大化”两个步骤，直到收敛为止；

4）根据收敛后的参数值，计算模型的概率分布或分类结果。

本文运用EM算法对参数α，β进行估计。

情形2下，记Y = （Y1，Y2，…，Yk），Yj = （Yj1，Yj2，…，），且  为产品在[tj-1，tj）内产品失效时刻构成的向量。

由條件密度公式可以得到  的概率密度函数（PDF）为：

令 ，，则有：

令U = （x1，x2，…，xm），将U和Y结合得到W = （U，Y），其中W是伪完全数据，基于W的似然函数为：

对数似然函数为：

E步：对ln Lc （w，α，β）求期望得：

其中：

M步：极大化Q（w，α，β），对Q（w，α，β）分别关于α和β求一阶偏导数，令等式等于0，得到：

由式（18）、式（19）分别得到：

因此，得到：

由式（22）可以得到参数α的迭代公式为：

其中α（s）为α的第s次迭代值，经过多次迭代可以得到参数α的最终估计值，记为  根据式（23）可以得到β的迭代公式为：

利用式（25），经过多次迭代可以得到参数β的最终估计值，记为 。其可靠度函数R2（t）和失效率函数h2（t）分别为：

2   渐近置信区间

令参数θ = （α，β）由式（8）和式（9）给出θ的Fisher信息矩阵I（θ）为：

情形1：

（26）

矩阵中的元素为：

由于式（26）的期望很难求解，所以我们在计算中使用观测Fisher信息矩阵（OFI），获得  为：

则观测Fisher信息矩阵的逆就是参数MLE的方差-协方差矩阵  为：

情形2：

在观测区间[tj-1，tj）由式（16）和式（17）计算给出θ的Fisher信息矩阵为：

矩阵中的元素为：

由于极大似然估计  渐进服从正态分布，期望为θ，方差-协方差矩阵为 ，其中  为  的逆矩阵，得到：

因此，参数θ的置信度为100（1-ε）%的渐近置信区间为：

区间长度为：

（27）

其中  是标准正态分布的  上分位数。

3  模拟分析

为了研究样本量和截尾方式对参数估计精度的影响，首先给定样本量n，参数α = 1，β = 2，生成混合区间删失逆指数Rayleigh分布数据步骤如下：

1）给定n = 60，80，100，120，160，200。

2）从均匀分布U（0，1）中，生成n个独立同分布样本，记为U1，U2，…，Un。

3）令 其中（x1，x2，…，xn）为逆指数瑞利分布的样本。

4）给定观测点t0 = 1.8，t1 = 2.8，t2 = 3.4，t3 = 4.2，t4=+∞得到t0之前的观测样本为x1，x2，…，xm及在区间（t0，t1]，（t1，t2]，（t2，t3]，（t3，t4]内的失效数分别为d1，d2，d3，d4，运用Matlab模拟得到混合区间删失样本。

5）根据生成的样本利用式（10）、式（24）、式（27）求得参数α，β的极大似然估计值和置信区间长度。

6）将上述步骤模拟1 000次，在不同的样本量n下，分别计算平均相对误差（ARE）、均方误差（MSE），模拟数值如表1所示，其中：

当α = 1，β = 2时，取t = 2.8，利用式（3）计算得到R（2.8） = 0.225 2。根据上述样本计算出可靠度估计值的平均值  以及可靠度的相对偏差（ARE）如表1所示，其中：

当失效概率设定为p = 0.5时，95%以上的是定时截尾样本，当失效概率设定为p = 0.8时，90%以上的是混合区间删失样本，当样本量n保持不变时，从参数α，β的均方误差、平均相对偏差、平均区间长度看出，基于混合区间删失样本所得到的参数α，β估计值都要小于定时截尾样本下参数α，β的估计值，说明在样本量n一样的情况下选择合适的混合区间删失试验方案能够提高参数的估计精度。在给定不同的样本量n时，随着样本量n的增加，参数α，β的均方误差、平均相对偏差、区间长度在不断的变小，说明样本量越大估计的精度越高同时估计量具有大样本性质。

4  结  论

当产品寿命服从逆指数瑞利分布时，讨论了基于混合区间删失试验得到的参数估计和可靠度估计。结果表明：随着样本量的逐渐增加，混合区间删失的平均误差变小，均方误差逐渐变小，区间长度变短，说明混合区间删失试验的效果更优越。从而，在混合区间删失方案下对逆指数瑞利分布进行可靠性估计能够提高结果的精确度。

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作者简介：盛会尧（1997—），男，汉族，辽宁丹东人，

硕士研究生在读，研究方向：可靠性试验；通讯作者：蔡静（1980—），女，汉族，山东潍坊人，教授，博士，研究方向：可靠性试验、应用统计；何瑞（1995—），女，穿青人，贵州毕节人，

硕士研究生在读，研究方向：可靠性试验；周莎莎（1997—），女，汉族，贵州都匀人，本科在读，研究方向：可靠性试验。