单排弹性实心桩对SH波的散射求解问题

刘晶磊 吴浩 张冲冲 曹晋源 李秀欣

摘要：采用波函数展开法结合格拉夫加法定理分析单排实心弹性桩的SH波散射问题，通过改变单一变量，分析桩土剪切模量之比、桩体个数等因素对排桩隔振的影响效果，得到如下结论：当无量纲频率为低频和中频时，排桩后无量纲位移曲线在无限远处趋于0，随着桩体根数的增加隔振效果逐渐提高；在排桩后0～70a（a为桩径）范围内无量纲位移之比变化幅度较大，且不稳定，隔振效果较差；当桩土剪切模量之比小于500时，在250a～380a范围内减隔振效果较好；当桩土剪切模量之比大于或等于500时，隔振效果并不会随着其增加而大幅增加，即此时可将桩体认为是刚性桩体。当无量纲频率为中频时，在100a～120a范围内隔振效果较好，之后此范围内无量纲位移之比先骤升后逐渐下降，但当无量纲频率上升为高频时，各桩体根数下排桩隔振效果相差不大，且会在距离排桩更近处就已经达到很好的隔振效果。

关键词：波函数展开法; 格拉夫加法定理; 隔振效果

中图分类号： TU435      文献标志码：A   文章编号： 1000-0844（2024）01-0059-07

DOI：10.20000/j.1000-0844.20220704001

An approach for solving the scattering of SH waves by elastic solid piles in one row

Abstract： The scattering issue of shear horizontal （SH） waves from solid elastic piles in a single row was analyzed using the wave function expansion technique and Graf's addition theorem. By changing a single variable， we analyzed the effects of the pile-soil shear modulus ratio and the number of piles on the vibration isolation capabilities of row piles. Our results show that when dimensionless frequency is low to medium， the dimensionless displacement curve beyond the row piles tends to zero at infinity. As the number of piles increases， the vibration isolation effect also gradually improves. However， the ratio of dimensionless displacement changes greatly in the range of 0-70a following the piles， leading to unstable and poor vibration isolation performance. When the pile-soil shear modulus ratio is less than 500， the vibration isolation effect within the range of 250a-380a proves to be satisfactory. Conversely， when the pile-soil shear modulus ratio is equal to or exceeds 500， there is no substantial increase in the vibration isolation effect. This suggests that the pile can be regarded as a rigid pile at this time. In instances of medium dimensionless frequency， the vibration isolation effect performs well within the 100a-120a range. The ratio of dimensionless displacement in this range experiences a sudden increase before gradually decreasing. However， as the dimensionless frequency escalates to high frequencies， the vibration isolation effect shows minor variation with different numbers and exhibits good performance close to the row piles.

Keywords：wave function expansion method; Graf's addition theorem; vibration isolation effect

0 引言

列車运行引起振动造成的危害不仅会给社会发展造成严重的经济损失，还会使人产生一系列心理和生理的健康问题。因此，减弱或者消除振动造成的影响成为亟待解决的问题。目前，被动隔振领域具有较多的研究成果，其中连续型隔振屏障，例如空沟、填充沟、地下连续墙等隔振措施在实际工程中应用较广泛。非连续型隔振屏障，例如单排桩、多排桩等隔振措施因为施工成本较高，导致其应用发展受到了限制。但由于非连续型隔振屏障具有简便、维护成本较低，且能够应用于地质条件较差的地区，在加强地基承载力的同时能够保持自身强度，因此非连续型隔振屏障仍有其研究价值。

振动波的散射作用在非连续型隔振屏障的隔振机理中起着决定性作用，国内外学者对其展开了多方面的研究。Avilés等［1］采用波动理论，得出了均质弹性土体中单排弹性实心桩屏障对平面SV波的阻隔效果，以及单排刚性实心桩屏障对平面SV波、P波和SH波阻隔效果的精确解。徐平等［2］采用波函数展开法，得到了非连续弹性圆柱实心桩屏障对入射平面P波和SH波散射系数的理论解。夏唐代等［3］和孙苗苗［4］运用多重散射理论，分析任意布置的排桩屏障对弹性波的散射问题并进行了解析求解。Pu等［5］采用毕奥特理论和Floquet-Bloch理论简化分析桩-土系统，发现瑞利波衰减的频率范围和屏蔽能力分别与理论衰减区和衰减系数相吻合。蔡袁强等［6］基于饱和土弹性波动方程，考虑土体和水耦合作用的影响，分析了全空间均质饱和土中弹性排桩对入射平面S波的散射问题。侯键等［7］对于平面SH波入射下刚性桩隔振屏障的散射问题提出多重散射求解法，求得了SH波入射下任意排列、任意半径固定刚性桩多重散射的精确解。Ren等［8］基于Bornitz方程，提出了层状均质介质的衰减模型，并用其估算软土区域高等级公路的典型路基和地基中不同深度的垂直振动水平。章敏等［9］研究了双层非饱和地基中Rayleigh波的传播特性问题，发现Rayleigh波波速随着饱和度的增加呈线性下降趋势，对于上软下硬地层，上覆层厚度的增加会导致波速减小，并逐渐趋向于上覆土本身的Rayleigh波速。时刚等［10］以薄层法（TLM）基本解作为动力Green函数的饱和土半解析边界元法，有效地分析了饱和半空间的土-结构动力相互作用问题。陈炜昀等［11］分析了非饱和地基表面不透水（气）和透水（气）两类条件下Rayleigh波的弥散特性。刘中宪等［12］运用一种高精度的间接边界积分方程法，对P波、SV波下二维排桩的隔振效果进行了宽频带计算分析。

上述研究多采用单重散射求解排桩散射问题，而实际散射作用是经过无限重散射综合得出的结果。本文采用波函数展开法结合格拉夫（Graf）加法定理分析单排实心弹性桩的SH波散射问题，将三维矢量波问题简化为二维标量波问题，将波函数按Fourier-Bessel级数展开，依据边界条件求解出级数展开式中的系数，最终得到平面直角坐标系下的总波场位移公式;通过改变单一变量，研究桩土剪切模量之比、桩体个数两因素对排桩隔振的影响效果，并给出实际工程的参考数值。

1 公式模型

假设单排圆柱弹性实心桩位于各向同性半无限均质弹性地基中，入射SH波的偏振方向与桩轴一致，因此不会与其他体波（P波、SV波等）中的波传播和散射问题产生耦合效应；同时假定桩身长度远大于直径，将繁琐的三维数学散射求解问题简化为较为简单的二维平面问题。

设入射SH波入射角为Ψ，整体直角坐标系（x，y）对应的极坐标系为（r，θ），排桩沿x轴横向布置，y轴为桩体排列的法线方向，桩体标号记为j（1≤j≤N），任意桩体j都有独立的直角坐标系（xj，yj）和极坐标系（rj，θj），以桩体圆心为坐标原点Oj，半径为a，沿x轴等间距排列，桩间距为b。土体材料性质由其拉梅常数λ1、μ1及质量密度ρ1确定;桩体材料性质由其拉梅常数λ2、μ2及质量密度ρ2确定;土体中相应的波速为c1，桩体中相应的波速为c2。

如图1所示，选取一个桩体单元为研究对象，设该桩体为l号桩体，采用波函数展开法设立该桩体在（rl，θl）坐标系下的散射波场，并应用Graf加法定理将其余桩体的散射波场在（rl，θl）坐标系下表示，叠加入射波场和所有桩体在土体区域中的散射波场后，结合桩体域中的透射波场，根据桩土位移边界条件和应力求解待定系数，从而得到单排分布桩体模型的解析结果。

入射平面SH简谐体波应当满足Helmholtz方程［13］：

利用桩体的分布特性，l号桩体的散射波场与1号桩体的散射波场相位差为exp（ik1d1lcosΨ），满足上述方程的入射SH波在坐标系（xl，yl）下可表示为：

ωinc1（xl，yl）=ω0exp（ik1d1lcosΨ）exp［ik1（xlcosΨ+ylsinΨ）］（2）

式中：ωinc1為土体中入射波场位移;ω0为入射平面SH波的位移幅值;k1为土体中SH波的波数;i表示虚数单位;d1l为l号桩距l号桩的间距。为简化书写，式中的时间因子exp（-iωt）已略去。

根据波函数展开法，入射平面SH波的位移在极坐标系（rl，θl）下的Fourier-Bessel级数形式为：

式中：Jm（·）为第一类Bessel函数;εm为Neumamm因子，εm=1（m=0），εm=2（m≠0）;m为入射波展开式级数截断项。

土体中由于桩体的存在，任意j号桩体都会对入射平面SH波产生散射作用而形成散射波，同时由于散射位移场不是关于x轴对称的，散射波场sin（nθj）的系数不为0，结合波函数展开法可将散射位移场表达为：

式中：上标sc表示散射;H（1）n（·）为第一类Hankel函数;Ajn、Bjn均为散射待定系数;n为散射波展开时级数截断项。

首先为实现所有桩体散射波场的叠加，应用Graf加法定理［14］，将所有非“l”号桩体的散射波场统一转换为极坐标系（rl，θl）下的表示，即：

其中：

然后，将入射波场式（3）和桩体的散射波场式（4）叠加，可得土体中在（rl，θl）坐标系下的总波场位移ω1（rl，θl）：

同理根据式（4），l号桩体内的透射波场位移ω2（rl，θl）可表示为：

式中：Cln、Dln为桩体中透射波场的待定系数;k2为桩体中SH波的波数。

根据桩体-土边界的应力和位移连续条件，在rl=a处，有：

将式（3）～（6）代入式（7）可得到（rl，θl）坐标系下的总波场位移：

将式（7）和式（8）代入式（9）可得到：

将Aln、Bln的系数解代入到式（10），即可得到在（rl，θl）坐标系下的总波场ω1。

对位移场的频率进行归一化处理，设土体中的无量纲频率η为：

式中：λ1为土体中SH波的波长;c1为土体中平面SH波波速。

2 有效性验证

模拟试验地基选在室内，尺寸为4 m（长）×4 m（宽）×1.4 m（高），上层为深0.4 m的匀质黏土层，下层为深1 m的匀质砂层，如图2所示。土体参数列于表1，试验所用混凝土桩强度等级为C30，密度ρ=2 374 kg/m3，剪切模量G=12.78×103 MPa，桩径为10 cm（长）×10 cm（宽）的实心方桩，以单倍桩距沿中线横向布置，如图3所示。

试验采用WS-Z30振动台控制系统，主要包括激振器、信号发生器和核心部件三部分，其中核心部件包括电荷放大器、功率放大器、数据采集控制器、加速度计放大器及加速度传感器等。各部分及其连接详见图3。

理论分析模型与模型试验变量参数均取7根桩，桩径a取10 cm，桩间距b取2倍的桩径，均用ω/ω0表示归一化后的无量纲位移，其中ω为平面SH波入射下自由场和散射场的总位移，ω0为平面SH波入射下位移幅值，通过比较两种结果（表2），并得出曲线图（图4）。结果表明，本算例与模拟试验结果变化趋势一致，从而验证了本算例的正确性。

3 结果分析

3.1 桩土剪切模量对排桩隔振效果的影响

桩间距是影响入射波、散射波与透射波在同一介质点合相位大小的重要因素。为了分析桩土剪切模量对排桩隔振效果的影响，桩径a取1，桩间距b分别取1a、2a、3a、5a，其余变量参数取值与有效性验证部分一致，绘制出不同桩土剪切模量之比下排桩后的无量纲位移曲线（图5）。由图5可知，随着桩间距b的增加，排桩隔振效果逐渐变好，但当桩间距b由3a增加至5a时，排桩隔振效果明显变差；在排桩后0～70a范围内，无量纲位移之比变化幅度较大，且尚不稳定，隔振效果较差；之后无量纲位移之比逐渐下降至稳定值。当桩土剪切模量之比小于500时，排桩后无量纲位移曲线在250a～380a范围内出现最低点，后又呈现上升趋势；当桩土剪切模量之比大于或等于500时，排桩后无量纲位移无最低点且几乎无变化，此时可将桩体认为是刚性桩体。

3.2 桩体根数对排桩隔振效果的影响

为了分析桩体根数对排桩隔振效果的影响，桩间距b取3a，桩土剪切模量之比取500，其余变量参数取值与2.1节一致，绘制出不用桩体根数下排桩后的无量纲位移曲线（图6）。由图6可以看出，当无量纲频率为0.4时，排桩后无量纲位移曲线与以上规律一致，在无限远处趋于0，同时随着桩体根数的增加无量纲位移之比降低。当无量纲频率为1.5时，0～90a范围内无量纲位移之比变化较大，且在100a～120a范围内隔振效果较好，之后该范围内无量纲位移之比先骤升后逐渐下降至1。当无量纲频率为3.0时，各桩体根数下排桩隔振效果相差不大，排桩后无量纲位移在20a处下降至1以下，与之前两个无量纲频率相比，排桩在更靠前的位置达到更好的隔振效果。

4 結论

本文采用波函数展开法结合格拉夫加法定理分析单排实心弹性桩的SH波散射问题，通过改变单一变量，研究桩土剪切模量之比、桩体个数因素对排桩隔振的影响效果，并结合实际工程的参考数值，得到如下结论：

（1） 在排桩后0～70a范围内，无量纲位移之比变化幅度较大，且不稳定，隔振效果较差。当桩土剪切模量之比小于500时，在250a～380a范围内隔振效果较好;当桩土剪切模量之比大于等于500时，随着桩土剪切模量之比增加，隔振效果并不会大幅增加，即此时可将桩体认为是刚性桩体。

（2） 当无量纲频率为0.4时，排桩后无量纲位移曲线在无限远处趋于0，随着桩体根数的增加，隔振效果逐渐提高。当无量纲频率为1.5时，0～90a范围内无量纲位移之比变化较大，在100a～120a范围内隔振效果较好，之后此范围内无量纲位移之比先骤升后逐渐下降至1。当无量纲频率为3.0时，各桩体根数下排桩隔振效果相差较小，排桩后无量纲位移在20a处就已经下降至1以下，与之前两个无量纲频率相比，可在更靠前的位置达到良好隔振效果。

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