次线性期望空间下独立同分布序列的一个强大数定律

2024-04-12王宝珍吴群英

应用数学 2024年1期

王宝珍,吴群英

(桂林理工大学理学院,广西桂林 541004)

1.引言

极限定理在概率研究中有着深远的意义,强大数定律在极限定理的发展中起着重要的作用,到目前为止有许多学者都对其进行了研究,在模型确定性的情况下得到了很多优秀的成果.然而,这种模型确定性在许多应用领域中是不现实的,因为许多不确定的现象不能用模型确定性很好地建模.彭实戈院士[1]创造性地提出了次线性期望空间理论,并给出了次线性期望理论的完整公理体系,引起了业内学者的广泛关注,近几年来强大数定律已经得到了大量的研究[2-6].本文在现有次线性期望空间的研究理论的基础上,将文[7]中的定理1.1从概率空间扩展到次线性期望空间中,并给出与其类似的结论.

2.预备知识

在本文中,我们使用彭实戈院士[1]所构建的次线性期望空间的基本概念和框架,假设(Ω,F)是给定的可测度空间,H是定义在(Ω,F)上由实函数构成的线性空间,若X1,···,Xn ∈H,则对∀φ ∈Cl,Lip(Rn),有φ(X1,···,Xn)∈H,其中Cl,Lip(Rn)表示在线性空间的局部Lipschitz函数,即对任意φ ∈Cl,Lip(Rn),存在常数c>0,m ∈N取决于φ,使得对任意x,y∈Rn都有:

也称H是由随机变量所构成的空间,并记X ∈H.

从定义得出,对于所有的X,Y ∈H,则有:

定义2.2[1]令G ⊂F,一个函数V:G →[0,1]称为容度,如果:

1)V(∅)=0,V(Ω)=1;

2) 对任意A ⊆B,A,B ∈G,则V(A)≤V(B).

如果对于所有的A,B ∈G,有V(A ∪B)≤V(A)+V(B),则称V具有次可加性.

在(Ω,H,)中可产生对应的上容度和下容度(V,V),定义如下:

其中,I(·)为示性函数,Ac为A的补集.根据定义,则有:

如果I(A)∈H,则有:

对任意f ≤I(A)≤g,f,g ∈H,则有:

定义2.3[1]定义Choquet积分为:

其中,V可由上容度V和下容度V替换.

3) 独立同分布随机序列: 若对∀i ≥1,有XiX1,且Xi+1与{X1,X2,···,Xi}独立,则称随机变量序列{Xn,n ≥1}为独立同分布的.

在本文后面,符号c表示与n无关的常数,在不同的地方可以取不同的值;符号∼表示等价;an ≪bn表示存在一个常数c>0,使得充分大的n,都有an ≤cbn成立.

为证本文的结论,本文需要用到以下引理:

3.主要结果及其证明

注3.1定理3.1是将文[7]的定理1.1从概率空间推广到次线性期望空间.

注3.3当l(x)=1时,推论3.1就是Marcinkiewicz强大数律.

定理3.1的证明容易证明(3.1)式与下列式子是等价的,

{X,Xn;n ≥1}是次线性期望空间(Ω,H,)下的独立同分布序列,对其进行截尾.

所以为了证明(3.2)式成立,我们只需要证明Ii →0,a.s.V,其中i=1,2.

值得注意的是,在传统的概率空间中,我们知道EI(|X|≤a)=P(|X|≤a)这个式子是成立的.然而,在次线性期望空间中,是通过Cl,Lip的连续函数来定义的,示性函数I(|X|≤a)不一定满足连续性.因此,(|X|≤a)这种表达式不一定有定义,我们需要在次线性期望空间中创建一个新的属于Cl,Lip的连续函数来代替概率空间的示性函数,具体定义如下:

对0<µ<1,设函数g(x)∈Cl,Lip(R)是一个偶函数,并且在(0,∞)下是单调下降的,使得∀x ∈R,0≤g(x)≤1;且当|x|≤µ,g(x)=1,当|x|>1,g(x)=0.则有

由(2.3),(3.3),(3.5)可得:

根据Borel-Cantelli引理,我们可以得到V(Zk=0,i.o.)=0,其中V是可数次可加的.又因为0

令gj(x)∈Cl,Lip(R),j ≥1,使得对∀x ∈R,0≤gj(x)≤1.且当c2j-1<|x|≤c2j时,gj(x)=1;当|x|≤µc2j-1或|x|>(1+µ)c2j时,gj(x)=0.则

当满足条件1)时,可得

根据(2.3)和(3.5),可得

根据(3.4),(3.8),(3.9)和g(x)在(0,∞)↓,有

结合(3.3)和(3.10)可以得到

当满足条件2)时,可得

结合(3.3)和(3.15)可以得到

由定理3.1中的条件

根据(2.3)和(3.5)可得: