多次弹性正碰的全过程中速度交换的分析

肖星星 郭安良 陈 杨

(重庆市第八中学校 重庆 400030)

学科核心素养是学科育人的价值体现,是学生通过学科学习而逐步形成的正确价值观、必备品格和关键能力.物理学科核心素养中的科学思维主要包括模型的构建、科学推理、科学论证、质疑创新等要素[1].在物理学中两粒子或物体经过极短时间的相互作用,导致碰撞前后参与物的速度、动量或者能量发生变化,按碰撞过程中机械能是否守恒分为弹性碰撞和非弹性碰撞两种,如果碰撞过程中没有机械能的损失称为弹性碰撞,有机械能的损耗称为非弹性碰撞,本文重点讨论弹性碰撞过程中速度交换问题.

1 弹性碰撞

1.1 双守恒方程

两物体P和Q质量分别为m1、m2,碰前两物体的速度分别为v10、v20,碰后的速度为v1、v2,由弹性碰撞动量、机械能守恒得

m1v10+m2v20=m1v1+m2v2

(1)

(2)

由式(1)得

m1(v10-v1)=m2(v2-v20)

(3)

由式(2)得

m1(v10+v1)(v10-v1)=
m2(v2+v20)(v2-v20)

(4)

由式(4)除以式(3)得

v10+v1=v2+v20

(5)

式(4)、(5)联立解得

1.2 恢复系数

将两物体碰撞后的分离速度(v2-v1)与碰撞前两物体的接近速度(v10-v20)比值叫恢复系数,用公式表示为

e由两物体的材料性质决定,与两物体的质量无关.对于弹性碰撞e=1[上面的式(5)],完全非弹性碰撞e=0,一般碰撞0

2 速度交换

2.1 一次弹性碰撞过程中的速率交换

由上面的推导可以看出,如果m2=m1,则v1=v20,v2=v10,即碰后两物体速度交换.

2.2 多次弹性碰撞过程中的速度交换

2.2.1 模型的建立

如图1所示,在粗糙的水平地面左边有一固定弹性挡板(弹性挡板也可以换成固定光滑斜面或凹槽),地面上有P、Q两个物体,质量分别为m、M,且m

图1 多次弹性碰撞的物体

2.2.2 模型分析

由于弹性碰撞,满足双守恒方程,设第一次碰撞后P、Q的速度大小分别为v11和v21,由上面的推导可得

Q以v21的速度向前滑行直到速度减为零,P碰后速度反向,与弹性挡板碰撞后原速反弹,又以v11速率去碰静止的Q物体,依次循环.相当于P物体以碰后的速度在弹性挡板的作用下不停地朝着同一方向撞击Q物体,弹性挡板的作用相当于控制P、Q两物体在两次碰撞过程中的时间差.由于每次碰后P物体速度大小会减小,最终两物体都会停止运动.由上面的分析可得第二次碰后的速度大小为

第三次碰后的速度大小为

第n次碰后的速度大小为

2.2.3 模型结论

P物体在多次弹性碰撞过程中减小的速度等于Q物体在整个碰撞过程中增加的速度,即速度交换.为了证明此模型结论的正确性,从两个角度进行证明.

(1)直接求解

根据每次碰撞后的情况直接算出Q物体最终获得的速度总和v2

即P物体在与弹性挡板和Q物体的多次弹性碰撞过程中,最终将速度全部传给了Q物体,速度交换,结论成立.

(2)利用恢复系数

由于碰前Q物体停止运动

则

v2n=v1n-1-v1n

即在每次的碰撞过程中,P物体的速度减小量等于Q物体的速度增加量,其中v1(n-1)为P物体第n次碰撞前的速度大小,v1n、v2n为P、Q两物体n次碰撞后的速度大小.

第一次碰撞后P、Q的速度大小分别为v11和v21,可得

v21=v10-v11

同理可求得第二次碰后的速度大小关系为

v22=v11-v12

第三次碰后的速度大小关系为

v23=v12-v13

第n次碰后的速度大小关系为

v2n=v1(n-1)-v1n

最终解物体Q获得的速度总和

v2=v21+v22+…+v2n=(v10-v11)+

(v11-v12)+…+[v1(n-1)-v1n]=v10

结果发现,每次P物体与静止的Q物体发生弹性碰撞,P物体的速度减小量等于Q物体的速度增加量,即-Δv1=Δv2.多次碰撞后,P、Q两物体最终都停止运动,那么P物体总的速度减小量等于Q物体总的速度增加量,结论成立.

3 模型的局限性

多次弹性碰撞过程中速度交换模型的条件:

(1)每次碰撞都是弹性碰撞,且都是小物体去碰静止的大物体.

(2)由于弹性挡板(斜面或凹槽)的作用,每次碰前小物体的速度大小都是上一次碰后的速度大小.

4 模型的适应性

由于模型条件的限制,主要有两个考查方向.

4.1 求时间

4.2 求位移

在图1的情景中,将地面换成U型光滑金属导轨,垂直于导轨方向有匀强磁场,将P、Q物体换成金属杆和绝缘杆,相当于将Q物体所受的摩擦阻力换成电磁阻力,就变成了2023年重庆高三二诊物理第15题.

4.2.1 原题呈现

图2 原题题图

4.2.2 例题分析

试题有3问,这里去掉了(1)、(2)问,重点分析第(3)问.仔细研读题目,发现M杆第一次运动停止后的运动情况与这里讨论的速度交换模型一模一样.因此,由模型可知:M杆在碰撞过程中获得的速度之和为N杆第一次碰后的速度v,相当于M杆仅在安培力作用下由速度v减为零,对于M杆,由动量定理列方程

其中x=vΔt,然后全过程累加有

求得

由题目分析可知

代入,得

再加上M杆第一次碰后运动到停止的位移

就求出了M杆的总位移

题目也就很快得到解决.

5 结束语

动量、能量在物理学中的地位非常重要,也是物理学习的重点和难点,两者经常结合在一起考查,思维难度特别大,对物理的学科素养要求比较高.通过对弹性碰撞进行深度解读,建立一个多次弹性碰撞过程中的速度交换模型,并对该模型进行有效性论证、局限性讨论和适用范围进行解读,最后通过2023年重庆高三二诊物理15题验证了此模型的正确性.