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一种多策略改进鲸鱼优化算法的混沌系统参数辨识

2024-04-09潘悦悦吴立飞杨晓忠

智能系统学报 2024年1期
关键词:测试函数鲸鱼计算结果

潘悦悦,吴立飞,杨晓忠

(1.华北电力大学 控制与计算机工程学院, 北京 102206; 2.华北电力大学 数理学院信息与计算研究所, 北京 102206)

在非线性科学领域,混沌系统的控制与同步是研究热点,其在信息科学、保密通信等方面应用广泛[1-2],准确的混沌系统模型是实现同步控制的基础。然而,实际应用中,混沌系统结构复杂,部分参数不可知,因此精确辨识混沌系统参数具有重要的现实意义[3-4]。

近年来,许多学者开始关注和研究混沌系统参数辨识问题,并应用智能优化算法辨识系统参数。Chen等(2019年)[5]使用改进花授粉算法估计混沌和超混沌系统参数。数值模拟证明了新算法的有效性和鲁棒性。Ahandani等(2020年)[6]提出一种混洗复杂进化算法解决混沌系统参数估计问题,数值结果表明改进算法提高了参数估计的收敛速度和精度。Turgut等(2021年)[7]使用单元拓扑改进鲸鱼算法和正余弦算法,辨识混沌系统参数,测试结果证明,新算法成功地解决了参数识别问题。Ebrahimi等(2021年)[8]提出了一种改进洛兹映射混沌优化算法,数值结果表明,改进算法能够高效、准确地估计混沌系统参数。

鲸鱼优化算法(whale optimization algorithm,WOA)是一种新型群智能算法[9],具有搜索能力强、计算稳定等特点,在最优控制、光伏系统等方面应用广泛[10-11]。然而WOA存在全局和局部搜索不平衡,易陷入局部最优等问题,因此国内外学者对WOA进行了有效的改进。Chen等(2020年)[12]提出一种准对立混沌WOA(whale optimization algorithm with chaos mechanism based on quasi-opposition, OBCWOA),数值仿真结果证明了改进算法的全局搜索能力。Chen等(2020年)[13]为提高WOA的收敛精度和速度,提出一种双自适应随机备用增强WOA(reinforced whale optimization algorithm, RDWOA)。仿真结果验证了RDWOA的有效性。Chakraborty等(2021年)[14]为解决高维问题,结合多种策略,提出一种增强WOA(enhanced whale optimization algorithm, eWOA),测试结果表明所提算法能有效解决高维问题。Shen等(2023年)[15]提出一种多策略进化WOA(whale optimization algorithm based on multi-population evolution,MEWOA),试验结果证明了MEWOA求解优化问题的有效性。Deng等(2023年)[16]提出了一种具有多策略混合算法的改进WOA(improved whale optimization algorithm, IWOA),仿真结果表明,IWOA有较好的收敛速度和稳定性。

以上改进算法虽然有一定提升,但在收敛精度和速度方面仍有待提高,本文在已有工作的基础上,以WOA为基础,使用Chebyshev混沌映射产生均匀分布种群,增加初始种群多样性。将收敛因子非线性化,增加自适应权重,兼顾全局搜索和局部挖掘。动态选择自适应t分布或蚁狮优化算法[17-18],跳出局部最优。通过对10个基准函数和高维测试函数进行仿真试验,验证了MIWOA的优越性。将MIWOA应用于Ro¨ssler和Lu¨混沌系统参数辨识,仿真结果证明了MIWOA辨识混沌系统参数的有效性。

1 多策略改进鲸鱼优化算法的建立

1.1 基本WOA

WOA模拟了鲸鱼捕食行为,其仿生学原理描述如下:

1) 包围捕食阶段。

鲸鱼寻找食物时,当前鲸鱼根据最佳鲸鱼位置更新自身位置,公式为

式中:a=2-2t/T,t和T分别为当前迭代次数和最大迭代次数,X*(t)和X(t)分别为最佳鲸鱼位置和当前位置,r1、r2为[0,1]的随机数。

2) 螺旋更新阶段。

在螺旋更新位置时,鲸鱼通过螺旋向上的方式,靠近群体中最优位置,更新公式为

式中:D′为第i只鲸鱼和猎物之间的距离,b为改变螺旋形状的常数,l为[-1,1]中的随机数。

在鲸鱼搜索猎物时,收缩包围和螺旋更新同步进行,位置更新公式为

式中p为[0,1]之间的随机数。

3) 随机搜寻阶段。

鲸鱼通过|A|大小,选择随机搜寻或者包围捕食。当|A|>1时,鲸鱼在包围圈外,通过随机搜寻获得猎物信息,位置更新公式为

式中Xrand为当前的一个随机鲸鱼位置。

1.2 WOA的改进

WOA初始化种群时采用随机搜索策略,全局搜索能力弱。包围捕食和螺旋更新阶段,收敛因子线性递减不能平衡全局和局部搜索。算法后期容易陷入局部最优。针对以上缺点,本文通过Chebyshev混沌映射初始化种群。包围捕食和螺旋更新阶段,非线性化收敛因子,加入自适应权重。算法后期,动态使用自适应t分布或蚁狮优化算法更新鲸鱼位置,对WOA进行改进。

1) Chebyshev混沌映射。

Chebyshev混沌映射对初值敏感[19],可产生大量无周期实值序列。本文采用Chebyshev混沌映射对WOA进行种群初始化,迭代方式为

式中k为阶次。Chebyshev映射迭代1 000次的分布如图1所示。

图1 Chebyshev映射分布Fig.1 Chebyshev map distribution

由图1可知,映射值分布于[-1,1],Chebyshev混沌映射能更均衡地选取初始种群。将Chebyshev混沌序列映射到WOA解空间中,规定鲸鱼种群数为N,随机产生第1只鲸鱼个体向量,Y=(y1,y2,···,yd)。使用式(10)对Y的各维进行n-1次迭代,产生其余的n-1只鲸鱼。映射生成n只鲸鱼个体为

式中:ud和ld分别为搜索空间第d维的上下界,yid和xid分别为第d维的第i只鲸鱼和第i只鲸鱼的坐标值。

2) 非线性收敛因子和自适应权重。

WOA中,参数A∈[-a,a]调节全局搜索和局部挖掘。当|A|≥1时,算法进行全局搜索,当|A|<1时,算法进行局部挖掘。随着迭代的进行,a=2-2t/T线性递减不能体现实际优化过程,因此改进收敛因子,公式为[20]

式中:u为大于零的常数,调节a的衰减程度。T=500时,图2为a随u的变化曲线。

图2 a的衰减曲线Fig.2 Attenuation curves of a

如图2,与WOA相比,u越大,a>1所占的迭代次数比例越大,算法全局搜索能力越强,局部挖掘能力越弱。反之,u越小,a<1所占的比例越大,算法局部挖掘能力越强,全局搜索能力越弱。所以a的变化趋势很大程度地影响优化求解。由于本文提出的Chebyshev混沌映射初始化种群策略,可以有效提高算法全局搜索能力,故选取u=0.6,增强局部挖掘能力,加快收敛速度,提高精度。

针对WOA后期局部挖掘时,权重固定,不利于算法寻优,本文提出一种自适应权重策略,公式为

3) 自适应t分布。

t分布又称学生分布,概率密度函数为[17]

图3 函数分布对比Fig.3 Function distribution comparison

由图3可知,t分布的自由度n越小,曲线的双尾翘越高,中间峰值越小,整体越平滑。反之,自由度n越大,中间峰值越大,整体越陡峭。自适应t分布对鲸鱼位置的更新为

式中:xti为更新后的鲸鱼位置,n和t(n)分别为迭代次数和以迭代次数为自由度的t分布函数。

4) 蚁狮优化算法。

在蚁狮优化算法中,蚂蚁通过随机游走更新位置,公式为[18]

式中:cumsum为蚂蚁游走位置累加和,T为最大迭代次数,t为当前迭代次数,r(t)为0或1的随机数。蚂蚁随机游走公式的标准化形式为

式中:ai和bi分别为第i个变量的最小值和最大值,和分别为第t代第i个变量的最小值和最大值。

2 混沌系统参数辨识的MIWOA

2.1 混沌系统的参数辨识原理

混沌系统参数辨识原理如图4所示。

图4 混沌系统参数辨识原理Fig.4 Principle of parameter identification for chaotic system

考虑如下n维混沌动力学系统:

式中:x=[x1x2···xn]T∈Rn为系统的n维状态变量,x0为初始状态量,θ0=[θ10θ20···θm0]T为参数真实值。当辨识系统参数时,假设结构为

式中:y=[y1y2···yn]T∈Rn为辨识系统的状态变量,θ=[θ1θ2···θm]T为参数估计值。系统参数辨识是寻找一组最优未知参数,使系统真值x和估计值y的误差值最小:

式中:xk和yk分别为k时刻的系统真值和估计值,m为参数辨识状态变量序列的长度。目标泛函J(θ)的值越小,参数辨识的精度越高。MIWOA流程如图5所示。

图5 MIWOA流程Fig.5 Flow chart of MIWOA

2.2 MIWOA的时间复杂度分析

设种群规模为N,搜索空间维度为D,最大迭代次数为T,WOA的时间复杂度为O(NDT)。本文MIWOA以WOA为基础进行改进,Chebyshev混沌映射初始化种群的时间复杂度为O(ND),非线性收敛因子和自适应权重未在基本WOA基础上增加循环嵌套,时间复杂度为O(NDT),动态选择自适应t分布或蚁狮优化算法的时间为t1,则其时间复杂度为O(NDT+t1),虽然MIWOA的时间复杂度相对WOA有所增加,但在可接受范围内,下面通过数值试验说明MIWOA的卓越性。

3 MIWOA性能测试与分析

3.1 测试函数的选取

仿真试验基于AMD Ryzen R7 5700U CPU@1.80 GHz,在Matlab R2019a 环境下运行。为了验证MIWOA有更好的寻优性能,选取表1的10个基准函数进行测试,ε表示绝对误差精度。f1~f7为单峰函数,f8~f10为多峰函数,10个测试函数的最优值均为0。

表1 基准函数Table 1 Benchmark functions

3.2 MIWOA与其他智能算法对比

采用10个基准函数检验MIWOA的性能,与WOA、粒子群算法(particleswarmoptimization,PSO)[21]、人工蜂群算法(artificialbee colonyalgorithm,ABC)[22]、灰狼算法(greywolf optimizer,GWO)[23]和哈里斯鹰算法(harris hawksoptimization,HHO)[24]进行测试结果比较。令N=30,D=30,T=1000,运行30次,表2为6种算法的最优值、最差值、平均值和标准差(黑色粗体为最优结果)。

表2 测试函数优化结果Table 2 Test function optimization results

由表2数据可知,对于单峰函数f1、f2,MIWOA的寻优结果均为0, WOA的计算结果优于PSO、ABC和GWO算法。在f3、f4测试函数上,MIWOA的计算结果优于HHO,可取得理论最小值。对于f5~f7函数,虽然MIWOA没有达到最小值,但优于WOA。对于多峰函数f8~f10,MIWOA可收敛到最优值附近,其中f9函数可收敛到最优值,说明MIWOA相对于其他算法有更好的收敛精度和稳定性。

基准测试函数的收敛曲线可以清晰地展现算法的收敛速度,图6(a)~(d)和(e)~(f)分别为单峰和多峰函数的平均收敛曲线。由图6可以看出,对于6个测试函数,在收敛精度相同的情况下,MIWOA收敛速度更快,说明Chebyshev混沌映射初始化种群策略提高了种群中高质量个体的比例,非线性收敛因子和自适应权重平衡了全局和局部搜索,加速收敛。MIWOA收敛曲线波动下降,说明自适应t分布或蚁狮优化算法的动态选择策略有助于算法跳出局部最优,提高收敛精度。

图6 30维测试函数的平均收敛曲线Fig.6 Average convergence curves of 30 dimensional test functions

3.3 Wilcoxon秩和检验

Wilcoxon秩和检验能够检测更为复杂的数据分布,并与算法多次运行的数据对比,公平地体现MIWOA的优越性[24]。实验设定显著性差异为5% ,当p<5%判定两算法有明显差异,反之无明显差异。符号“+”“-”和“=”分别表示MIWOA的性能优于、劣于和相当于对比算法,N/A表示无法进行显著性判断。选取MIWOA在10个测试函数的运行结果与WOA、PSO、ABC、GWO以及HHO运行结果进行Wilcoxon秩和检验,计算p值。表3结果显示大部分p<5%,说明MIWOA的寻优能力优于5种对比算法。

表3 Wilcoxon秩和检验结果Table 3 Results of Wilcoxon rank sum test

3.4 MIWOA不同改进策略的有效性分析

为比较3种改进策略对MIWOA性能的影响,令N=30,D=30,T=500,对f1~f10进行寻优计算,将MIWOA与WOA、WOA1(采用Chebyshev混沌映射)、WOA2(采用非线性收敛因子和自适应权重)和WOA3(采用自适应t分布或蚁狮优化算法)比较,计算结果如表4。

表4 不同改进策略算法性能对比Table 4 Performance comparison of algorithms for different improved strategies

由表4可知,3种改进策略对WOA均有不同程度的提升,WOA3的改进效果最好,WOA2次之,WOA1的计算结果低于其他2种算法的计算结果,但对WOA仍有明显的改进效果。将3种改进策略相结合时,算法搜索最精确,明显优于WOA1、WOA2和WOA3,表明3种改进策略是有效的。

3.5 MIWOA与不同策略改进WOA对比

为了对比MIWOA与其他改进WOA的改进效果,令N=30,D=500,T=500,引用3种算法(OBCWOA[12]、eWOA[14]和MEWOA[15])的数据,在相同测试条件下,对f1~f10测试,结果如表5。

表5 MIWOA与其他改进WOA性能对比Table 5 Performance comparison between MIWOA and other improved WOAs

表5结果显示,对于函数f1~f4,MIWOA与MEWOA可以在有限次迭代收敛到最优值,而OBCWOA和eWOA相对收敛精度较低。对于函数f5~f10,MIWOA可以使用更少的迭代次数收敛到最优值,说明MIWOA比其他改进WOA寻优效果更好。

平均绝对误差(meanabsoluteerror, MAE)是评价算法有效可行的重要指标,计算公式为[23]

式中:mi为算法求解结果平均值,oi为各测试函数理论值,Nf为测试函数个数。表6为除理论值非零的f8函数外,4种算法的MAE排序,由计算结果可知,MIWOA的MAE值最小,排名第1,证明了本文改进策略的有效性。

表6 4种改进WOA的MAE排名Table 6 MAE ranking of four improved WOAs

3.6 MIWOA求解高维函数的实验分析

由上述计算结果可知,对于低维测试函数,本文MIWOA寻优效果良好,但实际应用中高维大规模问题普遍存在,为了检验MIWOA求解高维问题的可行性,将其在10个基准函数,N=30,T=500,D=200、500、1000情况下,运行30次取平均值,根据文献[25]求解算法寻优成功率。绝对误差精度如表1所示,计算结果如表7。

表7 高维测试函数优化对比Table 7 High dimensional test functions optimization comparison

从表7可以看出,两算法在求解高维测试函数时,寻优精度比求低维函数略有下降,但整体仍可达到较高精度,获得理想结果。MIWOA在7个基准函数上寻优成功率达到了100%,相同维度下,MIWOA的寻优效果比WOA更好,说明MIWOA对于求解高维优化问题具有较高的计算精度和稳定性。

3.7 MIWOA平均运行时间分析

为了验证MIWOA的计算速度,将其与PSO、ABC、GWO、HHO、WOA、WOA1、WOA2、WOA3运行30次的平均时间对比,N=30,D=1000,T=500,计算结果如表8。

表8 基准函数寻优平均时间对比Table 8 Comparison of average time for optimization of benchmark functions

由表8可知,对于元启发式算法,WOA与ABC、HHO运行时间相近,可以快速收敛到最优值。对于改进算法,WOA、WOA1和WOA2的平均时长相当,说明WOA1和WOA2的改进策略未增加WOA运行时间。由于算法后期动态选择自适应t分布或蚁狮优化算法,增加了循环嵌套,WOA3耗时多于WOA。融合多种改进策略的MIWOA搜索范围变广,寻优时间增加,但均在合理范围内,与理论分析相符。

4 MIWOA辨识混沌系统参数

4.1 MIWOA对Ro¨ssler 混沌系统的参数辨识

Ro¨ssler 系统具有简单、非对称吸引子结构,在保密通信中承担非常重要的作用。以典型Ro¨ssler混沌系统为例,验证MIWOA可以精确辨识混沌系统参数。Ro¨ssler系统表达式为[7]

当参数a=0.2,b=0.2,c=5.7时,系统为混沌状态,其演化过程如图7所示。令初值向量为[-101]T,步长h=0.01,使用四阶Runge-Kutta法解式(21),利用前100个解及PSO、WOA、MIWOA辨识待定参数[abc]T,各算法独立运行20次。

图7 Ro¨ssler 混沌系统动力学轨迹Fig.7 Dynamic track of Ro¨ssler chaotic system

首先测试3种算法在具有一个未知参数的Ro¨ssler系统参数辨识中的搜索性能,即每次只辨识a、b、c3个参数中的一个,测试结果如表9。由表中数据可知,对于参数a,MIWOA可收敛到理论最优值,其最差值优于其他2种算法的最优值。对于参数b,WOA和MIWOA均可达到理论最优值,但MIWOA寻优效果更好。对于参数c,MIWOA的适应度值小于PSO和WOA的适应度值,估计值很接近真实值,说明MIWOA具有良好的全局搜索能力和计算鲁棒性。

表9 不同算法的一维参数估计结果比较Table 9 Comparison of one-dimensional parameter estimation results for different algorithms

然后测试各算法在具有2个未知参数的混沌系统参数辨识中的搜索性能,计算结果如表10。从表10估计a和b可以看出,各算法搜索精度相似,相对于一个未知参数的情况,搜索精度略有下降,但MIWOA的计算结果仍优于PSO和WOA。另外2种情况也得出同样的结论,验证了MIWOA辨识2个未知参数Ro¨ssler系统的可行性。

表10 不同算法的二维参数估计结果比较Table 10 Comparison of two-dimensional parameter estimation results for different algorithms

最后,使用3种算法辨识具有3个未知参数的混沌系统,表11为各算法运行20次的统计结果。由表11中数据可知,各算法的搜索精度下降,但MIWOA的最差值优于PSO和WOA的最优值,在3种算法中搜索精度最高,表明MIWOA对Ro¨ssler混沌系统参数辨识更具有效性。

表11 不同算法的三维参数估计结果比较Table 11 Comparison of three-dimensional parameter estimation results for different algorithms

图8和图9分别是WOA和MIWOA对Ro¨ssler混沌系统的参数辨识曲线和适应度值曲线,从图中可以看到MIWOA的参数估计值可以快速收敛到真实值,适应度值迅速逼近0,表明MIWOA高效的全局搜索能力和快速收敛速度。

图8 WOA和MIWOA参数辨识曲线Fig.8 Parameter identification curves of WOA and MIWOA

图9 WOA和MIWOA适应度值曲线Fig.9 Fitness value curves of WOA and MIWOA

4.2 MIWOA对Lu¨ 混沌系统的参数辨识

为了验证MIWOA对混沌系统参数辨识的普适性,以Lu¨系统为例进行仿真,表达式为[26]

其中,系统参数真实值为a=30,b=22.2,c=8.8/3时,系统为混沌状态,其演化过程如图10所示。

图10 Lu¨混沌系统动力学轨迹Fig.10 Dynamic track of Lu¨ chaotic system

令初值向量为[-101]T,使用PSO、WOA和MIWOA辨识Lu¨混沌系统3个参数未知时的情况,3种算法独立运行20次,辨识结果如表12所示。

表12 各算法的三维参数估计结果比较Table 12 Comparison of three-dimensional parameter estimation results for each algorithm

由表12中数据可知,除了MIWOA的最优适应度值大于WOA的最优适应度值,MIWOA的计算结果均优于其他2种算法,说明MIWOA辨识混沌系统具有普适性。

5 结束语

本文以WOA为基础,提出一种MIWOA。通过分析初始种群分布,使用Chebyshev混沌映射提高了初始种群质量。采用非线性收敛因子和自适应权重,提高了算法全局和局部搜索能力。动态选择自适应t分布或蚁狮优化算法更新鲸鱼位置,避免过早收敛。通过对10个基准函数和高维测试函数进行测试,以及Wilcoxon秩和检验,证明了MIWOA的优越性。

将MIWOA应用于Ro¨ssler和Lu¨ 混沌系统的参数辨识,仿真结果优于PSO和WOA,验证了MIWOA辨识混沌系统参数的高效性。今后将继续研究WOA的优化策略,将其应用到混沌系统控制与同步等其他领域。

致谢本文作者衷心感谢德国阿尔弗雷德韦格纳研究所 Sergey Danilov 教授和王强博士在写作过程中提出的宝贵建议和意见!

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